一道2020年新高考Ⅱ卷圓錐曲線解答題的探究及探源

羅文軍

2020年新高考Ⅱ卷解答題的21題是一道圓錐曲線試題，考查了橢圓的定義、幾何性質、直線與橢圓的位置關系和橢圓的定值問題，考查了函數與方程思想、數形結合思想，考查了運算求解能力和推理論證能力，旨在考查數學運算、邏輯推理和直觀想象的數學學科核心素養，兩問之間具有很好的梯度性，第（1）問較簡單，第（2）問難度較大，具有很好的區分度，便于高校選拔優秀人才. 以下對這道試題進行解法探究、變式探究和源頭探究.

一、真題再現

21. 已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）過點M（2， 3），點A為其左頂點，且AM的斜率為■，

（1）求C的方程;

（2）點N為橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值.

二、解法探究

【分析】（1）由題意分別求得a， b的值即可確定橢圓方程.

【解析】（1）由題意可知直線AM的方程為：y-3=■（x-2），即x-2y=-4.

當y=0時，解得x=-4，所以a=4，

橢圓C：■+■=1（a>b>0）過點M（2， 3），可得■+■=1，

解得b2 =12.

所以C的方程：■+■=1.

（2）【分析1】首先利用幾何關系找到三角形面積最大時點N的位置，然后聯立直線方程與橢圓方程，結合判別式確定點N到直線AM的距離即可求得三角形面積的最大值.

【解法1】設與直線AM平行的直線方程為：x-2y= m，

如圖所示，當直線與橢圓相切時，與AM距離比較遠的直線與橢圓的切點為N，此時△AMN的面積取得最大值.

聯立直線方程x-2y= m與橢圓方程■+■=1，

可得：3（m+2y）2 +4y2 =48，

化簡可得：16y2+12my+3m2 -48=0.

所以？駐=144m2 -4×16（3m2 -48）=0，即m2=64，解得m=±8，

與AM距離比較遠的直線方程：x-2y= 8，

直線AM方程為：x-2y= -4，

點N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，

利用平行線之間的距離公式可得：d=■+■，

由兩點之間距離公式可得 |AM|=■=3■.

所以△AMN的面積的最大值：■×3■×■=18.

【分析2】借助橢圓■+■=1（a>b>0）的參數方程x=acos？漬y=bsin？漬（其中？漬為參數），設出點N的坐標，化為三角函數最值問題，利用輔助角公式求橢圓上的點N到橢圓的弦AM的最大距離.

【解法2】由第（1）問解答過程可知直線AM的方程為x-2y+4=0，橢圓■+■=1的參數方程為x=4cos？琢，y=2■sin？琢（其中？琢為參數），

設點N的坐標為（4cos？茲， 2■sin？茲），由點到直線距離公式可得，

點N到直線AM的距離為d=■=

=■=■，當cos（？茲+■）=1時，即？茲=■時，

d取得最大值dmax=■，

由（1）可知N（-4， 0），由兩點間距離公式可得|AM|=3■，

所以△AMN的面積最大值為（S△AMN）max=■|AM|dmax=■×? 3■×■=18.

【分析3】利用伸縮變換？漬：x′=？姿·x（x>0）y′=？滋·y（y>0）的性質解答，在變化？漬下，n邊形A1A2A3…An（n≥3且n∈N？鄢）變為n邊形A1′A2′A3′…An′（n≥3且n∈N？鄢），變換前后圖形的面積之比為■=■.

【解法3】在伸縮變換？漬：x′=■x，y′=■y下，橢圓C：■+■=1對應圓O′：x′2+y′2=1，橢圓C上的點A，M，N分別對應圓O′上的點A′，M′，N′，

因為直線AM的方程為x-2y+4=0，所以直線A′M′的方程為x′-■y′+1=0，

圓心O′到直線A′M′的距離為d=■=■，

圓上O′的點N′到圓O′的弦A′M′的最大距離為h=d+r=■+1=■，

|A′M′|=2■=2■=■，

所以△A′M′N′的最大面積為（S△A′M′N′）max=■|A′M′|d=■×■×■=■，

由伸縮變換性質可得，△AMN的最大面積為（S△AMN）max=■=■=18.

【評注】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：

（1）注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件;

（2）強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.

（3）涉及橢圓的圓錐曲線問題，可以考慮參數方程法和極坐標法.

三、變式探究

變式1 已知△ABC為橢圓■+■=1的內接三角形，且AB過點P（1， 0），則△ABC的面積的最大值為____________.

【解析】經過伸縮變換x′=■，y′=■，得△A′B′C′內接于單位圓x′2+y′2=1，A′B′過點P′（■， 0），

S△ABC=6S△A′B′C′，設坐標原點O′（0， 0）距A′B′的距離為t，則0≤t≤■，|A′B′|=2■，

S△A′B′C′≤■·（1+t），當t=■時，S△A′B′C′有最大值為■，所以S△ABC的最大值為■.

【評注】本題也是求橢圓的內接三角形的面積的最值問題，運用伸縮變換法，結合伸縮變換的性質，將橢圓的內接△ABC的面積的最大值問題化歸為單位圓的內接△A′B′C′的面積的最大值問題.

變式2. 已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的一個頂點為A（2， 0），離心率為■. 直線y= k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點M，N.

（1）求橢圓C的方程;

（2）求△AMN面積的最大值.

【解析】（1）由題意得，a=2，■=■a2=b2+c2，，解得b=■，

所以橢圓C的方程為■+■=1.

（2）解法1：由y= k（x-1），■+■=1聯立消去y可得，

（1+2k2）x2-4k2x+2k2-4=0，

△=16k4-4（1+2k2）（2k2-4）=24k2+16>0，

設M（x1， y1），N（x2， y2），由根與系數關系可得，

x1+x2=■，x1x2=■，

由弦長公式可得，|MN|=■

=■=■，

由點到直線距離公式可得，點A（2， 0）到直線y= k（x-1）的距離d=■，

所以△AMN的面積為S=■|MN|d=■=■，

設t=1+2k2，則k2=■，

則S（t）=■，（t≥1），

S（t）=■=■，（0< t ≤1），

所以當■=1時，S取得最大值■.

【評注】本題與前面真題相比，第（2）問也是求與橢圓有關的三角形的面積的最值問題，不同點在本題最后運用了換元法，利用了二次函數的性質求出了△AMN的面積的最值.

變式3. 平面直角坐標系xOy中，過橢圓C：■+■=1（a>b>0）的左焦點的直線x+y+■= 0交于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為■.

（1）求C的方程;

（2）M，N為C上的兩點，若四邊形AMBN的對角線MN⊥AB，求四邊形AMBN面積的最大值.

【解析】（1）設A（x1， y1），B（x2， y2），P（x0 ， y0），

則■+■=1，■+■=1，■=-1，

由此可得■=-■=1，

因為x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，■=■，

所以a2=2b2，

又由題意知，C的左焦點為（-■， 0），故a2-b2=2，所以a2=4，b2=2，

所以的方程為■+■=1.

（2）由x+y+■= 0，■+■=1聯立可得，3x2+4■x=0，

解得x1=- ■，y1=■，x2= 0，y2=-■，

因此 |AB|=■，

由題意可設直線MN的方程為y=x+t，

因為點A，B在直線MN的兩側，所以（- ■-■+t）（■+t）<0，

所以-■< t <■，設M（x3， y3），N（x4， y4），

由y=x+t，■+■=1，消去y可得，3x2+4tx+2t2-4=0，

x3， 4=■，

由弦長公式可得，|MN|=■|x3-x4|=■|■|=■■，

由已知四邊形AMBN的面積S=■|MN||AB|=■■，

當t=0時，S取得最大值，最大值為■，

所以四邊形AMBN的面積的最大值為■.

【評注】與前文真題相比較，本題第（2）也是橢圓的最值問題，不同在于本題第（2）問是橢圓的對角線互相垂直的內接四邊形面積最值問題，最后運用了二次函數值域求出了四邊形AMBN的面積的最大值.

變式4. 已知橢圓？祝：■+■=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，橢圓？祝的四個頂點恰好構成了一個邊長■為且面積為2■的菱形.

（1）求橢圓？祝的標準方程;

（2）已知直線l1，l2 均過點F2，且直線l1，l2 的斜率的乘積為-■，設直線l1，l2 與橢圓？祝分別交于點A，B和點C，D，線段AB的中點為M，線段CD的中點為N，求△OMN（O為坐標原點）面積的最大值.

【解析】（1）因為橢圓？祝的四個頂點恰好構成了一個邊長為■且面積為2■的菱形，

所以■×2a×2a=2■，a2+b2=（■）2，解得a= ■，b=1，（2分）

所以橢圓？祝的標準方程為■+y2=1.（4分）

（2）設直線l1的方程為y=k（x-1），A（x1， y1），B（x2， y2），

將y=k（x-1）代入■+y2=1，消去y可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，所以x1+x2=■，

因為線段AB的中點為M，所以xM =■=■，yM =■，（6分）

因為直線l1，l2的斜率的乘積為-■，所以直線l2的方程為y=-■（x-1），（7分）

同理可得xN =■，yN =■，

所以M（■， ■），N（■， ■），（9分）

設線段MN的中點為T，則T（■， 0），

所以S△OMN=■|OT||yM-yN |=■|■|=■×■=■×■≤■，（11分）

當且僅當2|k|=■，即k=±■時取等號，

所以△OMN面積的最大值為■.

【評注】本題第（2）問也涉及到橢圓中的三角形面積最值問題，最后把△OMN的面積用k表示，再運用基本不等式可得求解.

三、源頭探究

以下對前文真題進行源頭探究.

2020年新高考Ⅱ卷解答題的21題可以看成改編自2014年全國Ⅰ卷理科第20題：已知點A（2， 0），橢圓E：■+■=1（a>b>0）的離心率為■，F是橢圓的焦點，直線AF的斜率為■，O為坐標原點.

（1）求E的方程;

（2）設過點A的直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程.

四、備考建議

在高三一輪復習和二輪復習中，要打破畫地為牢，將坐標系與參數方程部分和圓與圓錐曲線部分的復習放在一起作為一個體系. 考生要嘗試運用一題多解，例如運用坐標系與參數方程中的參數方程法和伸縮變化法破解橢圓的最值、定值和定點問題，將極坐標方程化為直角坐標方程解答，將參數方程消參后化為普通方程解答，通過伸縮變化將橢圓問題化為關于圓的問題.通過這部分復習，要熟練運用函數與方程思想、化歸與轉化思想和數形結合思想，提高運算求解能力和推理論證能力，提升數學運算、邏輯推理和直觀想象的數學學科核心素養.

責任編輯 徐國堅