p-子群的局部性質(zhì)與有限群的p-冪零性

韓玲玲,郭秀云

(上海大學(xué)理學(xué)院,上海200444)

有限群論中,人們經(jīng)常應(yīng)用子群的性質(zhì)研究有限群的結(jié)構(gòu).實(shí)際上,通過(guò)p-子群可以得到有限群為p-冪零群的判別條件[1-4],例如Frobenius定理[5].從Frobenius定理出發(fā),人們從各個(gè)不同的角度希望應(yīng)用較少數(shù)的p-子群給出有限群為p-冪零群的判別條件,例如Thompson定理[5].近年來(lái),人們將原來(lái)考慮有限群的Sylow子群改變?yōu)閮H僅考慮Sylow子群的某個(gè)真子群,例如焦點(diǎn)子群、p-模子群[6]等.本工作將繼續(xù)這一思想,通過(guò)考慮有限群G的一個(gè)特殊的p-子群?(P∩Op(G))在G中的某種交換性及其自身的交換性等,給出有限群為p-冪零群的充分條件.如先特別說(shuō)明,本工作中的群皆為有限群,基本的概念與記號(hào)見文獻(xiàn)[5,7-8].

1 基本引理

如果一個(gè)p0-群H作用在p-群P上,且H固定P的每一個(gè)p階元素,特別地,當(dāng)p=2時(shí),還固定P中每個(gè)4階元素,則H平凡地作用在P上.2010年,Isaacs等[9]采用較弱的條件(p=2時(shí))獲得了類似的結(jié)果.

引理1[9]設(shè)P是一個(gè)p-群,K是一個(gè)作用在P上的p0-群,并且固定P中所有的p階元素,且當(dāng)p=2時(shí),K還固定P中的所有4階實(shí)元素,則K在P上作用平凡.元素x∈G是G的實(shí)元素,是指存在g∈G,使得xg=x?1.

引理2[8]設(shè)G是內(nèi)p-冪零群,則G有下列性質(zhì):

(1)|G|=paqb,其中p,q為素?cái)?shù)且pq,a,b均為正整數(shù);

(3)G的Sylow q-子群是循環(huán)群.

引理3設(shè)G是一個(gè)群,P∈Sylp(G),則下列敘述等價(jià):

(1)G是p-冪零群;

(2)對(duì)于P∩Op(G)的所有的不為1的子群U,NG(U)是p-冪零群;

(3)對(duì)于P∩Op(G)的所有的不為1的子群U,NG(U)/CG(U)是p-群.

證明 (1)?(2).由p-冪零群的子群遺傳性顯然可得.

設(shè)G是極小階反例,則由假設(shè)條件的子群遺傳性及G的極小性可知,G是內(nèi)p-冪零群,由引理2可知,PG.又因G不是p-冪零群,則在G中存在p階元x,有x∈Op(G),故6 P∩Op(G).因?yàn)镻∩Op(G)G,所以P∩Op(G).此時(shí)由假設(shè)條件可知=為p-群,故Op(G)若

2 主要結(jié)果

利用上述3個(gè)引理,我們可以得到如下定理.

定理1設(shè)G是一個(gè)群,P∈Sylp(G),

則下列敘述等價(jià):

(1)G是p-冪零群;

(2)?(P∩Op(G))的所有的不為1的子群U,NG(U)是p-冪零群;

(3)?(P∩Op(G))的所有的不為1的子群U,NG(U)/CG(U)是p-群.

注:下文中的?(P∩Op(G))均按定理1中的定義.

定理2設(shè)G是一個(gè)群,P∈Sylp(G),若?(P∩Op(G))Z(NG(P)),則G是p-冪零群.

證明 設(shè)G是極小階反例,則G非p-冪零.由定理1可知,存在1U?(P∩Op(G))以及p0-群KNG(U),有[U,K]1.根據(jù)假設(shè)條件,有UZ(NG(P)),特別地,有PCG(U),令E=NG(U),由Frattini論斷可得

如果NE(P)

定理3設(shè)G是一個(gè)群,P∈Sylp(G),如果P∩Op(G)中的任意p階元素(當(dāng)p=2時(shí),再加其中任意的4階實(shí)元素),x均滿足xG∩P=xP,則G是p-冪零群.

由定理2可知,假設(shè)?(P∩Op(G))Z(NG(P)),則G是p-冪零群.接下來(lái)考慮將?(P∩Op(G))在群G中的交換性進(jìn)一步減弱來(lái)討論群G的p-冪零性.假設(shè)?(P∩Op(G))本身是交換群,此時(shí)群G顯然不能再保證是p-冪零群,例如3次對(duì)稱群S3.因此在這個(gè)假設(shè)條件下,通過(guò)添加適當(dāng)?shù)臈l件給出群G是p-冪零群的一個(gè)充分條件.

定義1[10]設(shè)G是一個(gè)群,H 6 G,K 6 G,稱群G對(duì)(H,K)滿足n階Engel條件,如果對(duì)于任意的h∈H,k∈K有En(h,k)=1,其中

引理4[8]設(shè)π0-群H作用在交換π-群G上,則有G=CG(H)×[G,H].

定理4設(shè)G是一個(gè)群,P∈Sylp(G),若?(P∩Op(G))是交換群,且存在正整數(shù)n,使得G對(duì)(Op(G),?(P∩Op(G)))滿足n階的Engel條件,則G是p-冪零群.

證明 首先證明定理假設(shè)條件對(duì)子群遺傳.對(duì)G的任意子群D,設(shè)P1∈Sylp(D),不妨設(shè)P1P,因Op(D)Op(G),故有?(P1∩Op(D))?(P∩Op(G)),所以?(P1∩Op(D))是交換群.另根據(jù)定理假設(shè)條件,存在正整數(shù)n,使得G對(duì)(Op(G),?(P∩Op(G)))滿足n階的Engel條件,而由Op(D)Op(G),?(P1∩Op(D))?(P∩Op(G))以及定義1可知,對(duì)任意的x∈Op(D),y∈?(P1∩Op(D))有

設(shè)G是極小階反例,由條件的子群遺傳性可知,G是內(nèi)p-冪零群.根據(jù)內(nèi)p-冪零群的構(gòu)造(引理2),可設(shè)G=PQ,其中P∈Sylp(G),Q∈Sylq(G),且Q是循環(huán)群.又因G是非p-冪零群,由定理1可知,存在1U?(P∩Op(G))以及p0-群K 6 NG(U)(不妨設(shè)KQ),有[U,K]61.設(shè)U的階最小,考慮p0-群K作用在p-群U上,則U=[U,K].若[U,K]

步驟1 U無(wú)K-不變真子群.

由假設(shè)條件?(P∩Op(G))是交換群,U 6?(P∩Op(G)),故U也交換.由引理4可知,U=CU(K)×[U,K],而因U=[U,K],所以CU(K)=1.若U有K-不變真子群A,則由U階的最小性可知[A,K]=1,此時(shí)1ACU(K)=1,矛盾.

步驟3 最后矛盾.

其中a∈Op(G),u∈?(P∩Op(G)).根據(jù)定理假設(shè)條件,存在正整數(shù)n,使得

矛盾.定理得證.

關(guān)于Burnside定理,存在一個(gè)經(jīng)典應(yīng)用.設(shè)G是一個(gè)群,p是|G|的最小素因子,P∈Sylp(G)且P是循環(huán)群,則G是p-冪零群.受這一結(jié)果的啟發(fā),假設(shè)P∩Op(G)是循環(huán)群,得到p-冪零群的一個(gè)充分條件.

定理5設(shè)G是一個(gè)群,P∈Sylp(G),如果滿足如下條件:

(1)P∩Op(G)是循環(huán)群;

(2)P∩Op(G)中的元素與NG(P)中的q-元素可換,其中q|p?1,則G是p-冪零群.

證明 設(shè)G是極小階反例,則G非p-冪零.首先證NG(P)非p-冪零.由P∩Op(G)是循環(huán)群,可知P∩Op(G)中沒有4階實(shí)元素,且?(P∩Op(G))是p階循環(huán)群.又?(P∩Op(G))charP∩Op(G)P,故?(P∩Op(G))Z(P),如果NG(P)p-冪零,則有?(P∩Op(G))Z(NG(P)).由定理2可知,G是p-冪零群,矛盾.故NG(P)非p-冪零.

取NG(P)的內(nèi)p-冪零子群A,由內(nèi)p-冪零群的構(gòu)造(引理2)可設(shè)A=P1Q1,其中P1∈Sylp(A),Q1∈Sylq(A),Q1是循環(huán)群.另因A非p-冪零,由定理1可知,存在1U?(P1∩Op(A)),p0-群KNA(U),有[U,K]1.

(2)不妨設(shè)P1P,因U=?(P∩Op(G))Z(P),故UZ(P1),因此P1CA(U);

綜上可得,K是由NG(P)中的q-元素生成的循環(huán)群,且q|p?1.由定理假設(shè)條件可知,U與K元素可換,故而[U,K]=1,矛盾.定理得證.

根據(jù)?(P∩Op(G))的定義,事實(shí)上定理5中只需假設(shè)?(P∩Op(G))是循環(huán)群,就可保證P∩Op(G)是循環(huán)群.此外,基于定理5,可以得到如下推論,其中推論1與2的證明由定理5容易得到,故不再贅述.

推論1設(shè)G是一個(gè)群,P∈Sylp(G),如果P∩Op(G)是循環(huán)群且(p?1,|G|)=1,則G是p-冪零群.

推論2設(shè)G是一個(gè)群,P∈Sylp(G),如果P∩Op(G)是循環(huán)群且p是|G|之最小素因子,則G是p-冪零群.

推論3設(shè)G是一個(gè)群,如果對(duì)于任意的p||G|,P∈Sylp(G)都有P∩Op(G)是循環(huán)群,則G是超可解群.

證明 設(shè)|G|的所有素因子按照從小到大的順序依次是p1,p2,···,pr,對(duì)于任意的{1,2,···,r},Pi∈Sylpi(G),則由假設(shè)條件(P1∩Op1(G))是循環(huán)群與推論2可知,群G是p1-冪零群.設(shè)G=P1K1(其中K1是G的正規(guī)p1-補(bǔ)),因?yàn)?|P1|,|K1|)=1,所以事實(shí)上K1charG.又因?yàn)閜2是|K1|的最小素因子,由假設(shè)條件與推論2可知,群K1是p2-冪零群,設(shè)K1=P2K2(其中K2是K1的正規(guī)p2-補(bǔ)),同樣的有K2charK1,于是K2charG.如此下去,可以找到

組成群G的超可解型的Sylow-塔.

為了書寫方便,設(shè)r=pr是|G|的最大素因子,不防設(shè)r2.由群G有超可解型的Sylow-塔可知,若R∩Or(G)=1,則G是r-冪零群,所以G有r階的正規(guī)子群S.考慮商群且容易驗(yàn)證G/S滿足定理假設(shè)條件.由歸納可知,G/S是超可解群,又S是循環(huán)群,故而G是超可解群.若此時(shí)容易驗(yàn)證對(duì)也滿足定理假設(shè)條件,由歸納可知G/(R∩Or(G))是超可解群.根據(jù)假設(shè)條件R∩Or(G)是循環(huán)群,故而G是超可解群.推論得證.