自旋軌道耦合二維費米氣體的熱力學性質

梁成功,張云波

(山西大學理論物理研究所,太原030006)

超冷原子氣體由于其相互作用的高度可調控性,為建立和研究各種物理模型提供了重要平臺[1-3].基于超冷原子氣體研究各種量子系統的新奇熱力學性質是當前物理學研究的熱點和前沿課題[4-6].各種可觀測的熱力學參量如密度、壓強、等溫壓縮系數等為研究量子多體系統的各種新奇量子相以及量子相變提供了重要的觀測手段.例如:在液體和固體中等溫壓縮系數用于探測其流動性和剛度;在超冷原子氣體中,已經廣泛用于探測從正常相到玻色愛因斯坦凝聚、超流到固體相如超固和Mott絕緣的轉變;在光晶格超冷原子系統中,用于探測Mott絕緣相變[7-10]、劃分超流相和正常相的相邊界[11]、觀察超導體中的各種拓撲量子相變[12]、判斷二維Hubbard模型中相分離和條紋相的形成[13-14].

最近超冷原子氣體研究領域的突破性進展是人造自旋軌道耦合的實驗實現[15-19].人造自旋軌道耦合是繼Feshbach共振技術調節原子間的相互作用[20-21]、光晶格技術實現各種凝聚態物理模型[22-24]之后,超冷原子體系的又一重要調控手段,極大地拓展了超冷原子的模擬范圍,為發現新物態和各種奇異量子現象鋪平了道路[25-29].先前的研究已經表明,自旋軌道耦合從根本上改變了超冷費米原子系統的熱力學性質[30-31].例如由于自旋軌道耦合和塞曼場的共同作用,在玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensate,BEC)-BCS(Bardeen,Cooper and Schrieffer)渡越區域等溫壓縮系數和壓強隨相互作用強度的變化表現出反常行為,在某一特定的散射長度附近,等溫壓縮系數出現了急劇增大的共振峰值,壓強指數相應地急劇減小.對于連續系統,這一等溫壓縮系數和壓強的反常行為只能出現在無能隙的相[30].而對于晶格系統該反常行為既可以出現在無能隙的相也可以出現在有能隙的相[31].由于上述結果都是針對的三維費米系統,一個重要的問題是對于自旋軌道耦合的二維費米系統,等溫壓縮系數等熱力學參量是否會出現類似的反常行為,等溫壓縮系數、壓強、熱力學熵等熱力學量在自旋軌道耦合的二維系統中是否會表現出不同于三維系統的新規律.

關于二維費米系統的研究有助于加深對Berezinskii-Kosterlitz-Thouless相變[32]、非傳統超導體[33]、石墨烯[34]、拓撲絕緣體材料[35]、拓撲超導和Majorana零模[37-40]等重要前沿科學問題的理解.因而,研究二維自旋軌道耦合費米氣體的熱力學性質具有非常重要的意義.本文我們將研究二維自旋軌道耦合的均勻費米原子氣體的熱力學性質.在平均場近似下,通過求解能隙方程和粒子數方程,討論了自旋軌道耦合和外加塞曼場對等溫壓縮系數、壓強等熱力學參量的影響.研究結果表明,在自旋軌道耦合和外加塞曼場的共同作用下,系統的等溫壓縮系數在BEC-BCS渡越區域表現出類似于三維系統中隨相互作用急劇變化的反常行為.跟三維系統明顯不同的是,在BEC極限下,二維系統中等溫壓縮系數基本不隨相互作用變化;而三維系統中等溫壓縮系數隨相互作用增強而線性增大.在BEC極限下,我們發現壓強基本不隨相互作用變化,這跟三維系統中壓強跟散射長度成正比有明顯不同.對于強自旋軌道耦合的系統,在BEC-BCS渡越區域,我們還觀察到壓強隨塞曼場增大而減小的不同于BCS極限的反常行為.此外,我們還討論了有限溫度下,超流序參、熱力學熵隨溫度的變化規律.一個重要的發現是在超流相超流序參數隨自旋軌道耦合強度變化的非單調行為.與此同時,系統的熱力學熵在自旋軌道耦合和塞曼場共同作用下,在正常相和超流相表現出完全相反的變化行為.

1 理論模型

均勻的具有Rashba自旋軌道耦合的二維費米氣體,其單粒子的哈密頓量為

式中:g<0為有效吸引相互作用常數;A=L2,為2D費米氣體的面積;對k=(kx,ky)的求和為全空間求和.為避免發散,在2D費米氣體中有

應用平均場理論定義序參量,在Nambu-Gorkov自旋基下,其Bogoliubov-de-Genes(Bd G)形式的有效哈密頓量為

式中,Bd G算符的形式為

其中γk=α(ky+i kx).做幺正變換使矩陣對角化,可得有效哈密頓量為

基態能量為

式中,β=1/kBT,kB為玻爾茲曼常數.由??/??=0,N=???/?μ,可得能隙方程和粒子數方程為

選定費米能EF=(2m)為能量單位,其中二維費米動量=n為原子密度,m為原子質量,這樣粒子數密度就為確定量,做無量綱化處理,q=k/kF,求和化積分,在計算中將 q在[?100,100]截斷. 通過數值求解方程(10)和方程(11)可以得到超流序參?和化學勢μ,在此基礎上可以進一步計算所有熱力學量.

2 等溫壓縮系數和壓強

考慮自旋軌道耦合和塞曼場對等溫壓縮系數的影響.根據Gibbs-Duhem方程和Maxwell關系,等溫壓縮系數重新定義為

將方程(10)代入式(12),可得二維費米氣體的等溫壓縮系數

對于無自旋軌道耦合的情況,理論和實驗研究已經表明二維費米氣體與三維相比表現出了完全不同的熱力學性質[36].通過自洽求解能隙方程和粒子數方程,可以發現自旋軌道耦合和塞曼場對系統的等溫壓縮系數有重要影響.

在沒有塞曼場的情況下,自旋軌道耦合對二維費米氣體等溫壓縮系數的影響如圖1所示.可以看出:當相互作用較弱時(在BCS極限下),隨著自旋軌道耦合的增強,等溫壓縮系數明顯增大;當相互作用較強時(在BEC極限下),二維費米系統中的等溫壓縮系數基本不隨相互作用變化.這與三維系統的情況明顯不同,因為在三維連續系統中,BEC極限下等溫壓縮系數隨相互作用的增強而線性增大;而在三維光晶格系統中,BEC極限下等溫壓縮系數隨相互作用的增強而線性減小.

在有塞曼場的情況下,通過合適地選擇自旋軌道耦合強度和塞曼場的強度,在二維費米系統中觀察到先前在三維系統中發現的等溫壓縮系數隨相互作用急劇變化的共振峰[30,31],如圖2(a),(b)和(d)所示.可以看出:共振峰的位置主要受塞曼場強度的影響,而基本不隨自旋軌道耦合強度改變;而共振峰的振幅受自旋軌道耦合和塞曼場的共同影響.同時,可以發現塞曼場和自旋軌道耦合對共振峰的振幅具有完全相反的效應,即增大塞曼場可以增強共振峰振幅,但增大自旋軌道耦合卻可以抑制共振峰振幅,如圖2(a)和(d)所示.同樣,當自旋軌道耦合強度較弱時,在遠離共振峰的位置,等溫壓縮系數基本不受自旋軌道耦合強度變化的影響,如圖2(a)和(d)所示.當自旋軌道耦合強度較強時,等溫壓縮系數隨相互作用變化的共振峰消失,如圖2(c)所示.與無塞曼場情況類似,當自旋軌道耦合足夠大(相對塞曼場),BCS極限下等溫壓縮系數隨自旋軌道耦合的增強而明顯增大,如圖2(f)所示.另外,具有塞曼場的自旋軌道耦合系統和無塞曼場的自旋軌道耦合系統,在等溫壓縮系數方面的另外一個明顯不同的特征是,中間強度的自旋軌道耦合(如αkF～1)在BCS極限會使系統的等溫壓縮系數明顯減小,而不是增大(對比圖2(a),(b)中hz=0.6).由圖2(b)和(c)還可以看出,在存在自旋軌道耦合的情況下,塞曼場在BEC和BCS極限下對等溫壓縮系數的影響正好相反.在BEC極限下,等溫壓縮系數隨著塞曼場的增強而增大;而在BCS極限下,等溫壓縮系數隨著塞曼場的增強而減小.

圖1 自旋軌道耦合對二維費米氣體等溫壓縮系數的影響(h z=0)Fig.1 Isothermal compressibility as a function of the interatomic interaction strength Eb with the spin-orbit coupling(h z=0)

接下來,討論在自旋軌道耦合和塞曼場對統計物理中另外一個重要物理量壓強的影響.根據壓強跟巨熱力學勢的關系?=?PA,通過式(8),可以得到二維費米氣體的壓強為

圖2 自旋軌道耦合和塞曼場作用下等溫壓縮系數隨原子間相互作用的變化Fig.2 Isothermal compressibility as a function of the interatomic interaction strength with the presence of both spin-orbit coupling and Zeeman field

圖3 自旋軌道耦合和塞曼場作用下壓強隨原子間相互作用的變化Fig.3 Pressure as a function of the interatomic interaction strength with the presence of spin-orbit coupling and Zeeman field

由上式可知,系統的壓強與二維費米氣體的面積成反比,并依賴于序參數?和化學勢μ.仍然考慮平均場近似,在零溫極限條件下通過求解能隙方程和粒子數方程得到系統的序參數?和化學勢μ,代入等式(13),可以數值計算系統的壓強.在自旋軌道耦合和外加塞曼場共同作用下,壓強隨原子間相互作用強度的變化如圖3所示.可以發現:對于二維費米氣體,當存在自旋軌道耦合和外加塞曼場時,在相互作用很強的BEC極限下,系統的壓強基本不隨相互作用強度的改變而改變.這與三維系統中在BEC極限下,壓強與散射長度成正比有明顯不同[30].與在BEC極限下的情況明顯不同的是,由于自旋軌道和塞曼場的影響,在BCS極限下系統的壓強敏感地依賴于系統的相互作用.同時,可以發現增大自旋軌道耦合可以減小壓強,如圖3(d),(e)和(f)所示.固定自旋軌道耦合強度和原子間相互作用,可以發現在BCS極限下壓強隨外加塞曼場強度的增加而增大,如圖3(a)和(b)所示.對于強自旋軌道耦合的系統,在BEC-BCS渡越區域,還可以觀察到壓強隨塞曼場增大而減小,這是不同于BCS極限的反常行為,如圖3(c)所示.

3 熱力學熵

眾所周知,隨著溫度的增加,系統會在某一臨界溫度(超流轉變溫度TC)時發生從超流相到正常相的轉變[18],這一相變現象可以通過超流序參數的變化來刻畫.當序參數不為0時,系統處于超流相;當序參數為0時,系統處于正常相.圖4給出了在自旋軌道耦合和塞曼場作用下,系統的超流序參數隨溫度的變化關系.由圖4(a)可以看出,當固定塞曼場強度時,超流轉變溫度隨著自旋軌道耦合強度的增大而增大.另外一個重要的發現是,在超流相可以觀察到超流序參數隨自旋軌道耦合強度變化的非單調行為,即當溫度非常小時,在有塞曼場存在的情況下,隨著自旋軌道耦合強度從0逐漸增大,超流序參數先減小后增大(見圖4(a)).這表明較弱的自旋軌道耦不足以克服塞曼場對超流的抑制作用,整體表現為抑制.當自旋軌道耦合足夠大時,自旋軌道耦合的作用占主導,會促進了系統的超流形成.當固定自旋軌道耦合強度時,可以發現超流轉變溫度隨著塞曼場的增大而減小(見圖4(b)),這再次表明塞曼場和自旋軌道耦合對超流轉變溫度的影響正好相反.

當給定系統的化學勢、超流序參數和相互作用等參量時,可以計算系統的熱力學熵.接下來主要研究在固定相互作用Eb=1.0的情況下,熵隨溫度和自旋軌道耦合強度以及塞曼場強度的變化規律.從圖4可以看出:在超流轉變溫度處,熵的一階導數不連續;在超流相,熵隨溫度的變化是非線性的,而在正常相,熵隨溫度的變化是線性的.因此,熵也可以用來表征從正常相到超流相的相變.同時,可以觀察到熱力學熵在自旋軌道耦合作用下表現出的一些有趣的行為.當自旋軌道耦合較弱時,在某一自旋軌道耦合強度范圍內(αkF<0.5)正常相的熵并不隨自旋軌道耦合強度的變化而變化(見圖4(c));但在相變點附近,由于自旋軌道增強而引起轉變溫度升高,系統進入超流相,系統突然變得更有序,因而熵隨自旋軌道耦合增大而減小.當系統完全處于超流相時,熱力學熵隨自旋軌道耦合強度的增大而減小,表現出跟正常相完全相反的變化規律(見圖4(c)).另外,我們發現當存在自旋軌道耦合時,熱力學熵隨塞曼場的改變在正常相和超流相也表現出完全相反的變化規律.在正常相,熵隨塞曼場的增強而減小;在超流相,熵隨塞曼場的增強而增大.這與自旋軌道耦合對熵的影響恰好相反,如圖4(d)所示.

4 結束語

本工作應用平均場理論研究了連續系統中自旋軌道耦合和塞曼場共同作用下二維費米氣體的熱力學性質,并基于平均場理論,通過求解能隙方程和粒子數方程,計算了系統的等溫壓縮系數、壓強、超流序參數和熱力學熵.我們發現這些熱力學量在自旋軌道耦合和塞曼場作用下,表現出一系列不同于三維系統的新性質:①熱力學參量在BEC極限和BCS極限下、在超流相和正常相區域所表現出的對自旋軌道耦合和塞曼場完全不同的依賴關系;②在合適的參數區域各個熱力學量隨自旋軌道耦合和塞曼場強度的非單調變化行為.所有這些發現為深入理解自旋軌道耦合系統的熱力學性質提供了理論依據.需要強調的是,本工作所討論的熱力學量隨自旋軌道耦合和塞曼場的變化規律僅限于平均場理論,只適用于溫度較低的情況.當溫度較高時,尤其對于二維系統由于漲落等因素的影響,本工作所使用的平均理論將不能很好地描述系統真實的熱力學性質,需要借助蒙特卡洛數值模擬計算等方法在超越平均場水平上進行研究.

圖4 自旋軌道耦合和塞曼場共同作用下序參和熵隨溫度的變化規律Fig.4 Order parameter and entropy as a function of temperature in the presence of spin-orbit coupling and Zeeman field