可用度約束條件下的設備不完美預防維修策略

林 數，呂文元

(上海理工大學，上海 200093)

0 引 言

為了保證生產的連續性，即在兩個設備之間加入一個庫存緩沖區，即2M1B生產系統，如圖1所示。緩沖區是應對因設備故障而導致的生產中斷，這種設備—緩沖區—設備的生產系統可大大降低因設備隨機故障導致的生產停滯。制定合理、有效的設備維修計劃，設置緩沖區的大小，能有效提高生產系統的穩定性。

圖1 2M1B生產系統的基本構成

2M1B生產系統能夠有效地應對因設備隨機故障導致的生產線的中斷，具有一定的應用價值。因此，許多學者在這一方面展開了深入的研究。如Wijngaard提出在兩機設備之間加入緩沖區，將設備狀態分為m+1個階段，第0個階段表示設備為全新的狀態，第m個階段表示設備發生隨機故障需要進行維修的狀態，并運用隨機模型對設備的可靠性進行研究，評估了緩沖區庫存對生產系統產量的作用及影響[1]。van der Duyn Schouten等提出一個新的模型，即上游設備生產原材料或半成品輸送給下游設備，兩個設備之間設有一個緩沖區庫存，其作用是應對上游設備發生隨機故障帶來的生產停滯，緩沖區最大庫存水平有限，該模型運用馬爾可夫決策理論來確定最優的維護策略[2]。Salameh和Ghattas針對帶緩沖區的二級生產系統進行定期的預防性維修，建立的模型中包括庫存的持有成本和缺貨成本，通過求解模型得到了系統的最優預防維修周期以及最佳的緩沖區庫存量[3]。Chelbi等假設設備速率固定和設備故障完美維護的前提下，建立了故障設備的等周期預防性維護策略，同時決策設備之間緩沖區的大小[4]。陸志強等考慮帶緩沖區的可修復設備，假設預防性維護行為是完美維護，設備維修后將回到最初全新的狀態，建立以單位時間總維修成本最小和系統設備可用度最大的多目標預防性維護決策模型，運用模糊加權理論求解出系統最優預防性維護周期以及最佳緩沖區庫存量[5]。周炳海和高忠順針對帶緩沖區的生產系統，以預防維護時刻點作為隨機變量建立周期內期望成本模型，通過構造算法求解出系統最優預防性維護時刻點[6]。Liao通過假設設備故障完美維修，研究了不同的維護條件對于系統運作成本的影響，同時建立了相應的成本模型來確定最優維護周期[7]。余佳迪和周炳海針對帶緩沖區的串行生產系統，同時考慮在上下游設備故障的情況下建立周期內預防性維護成本模型，在保證系統產能不下降的前提下以周期內總維護成本最小化為目標，通過迭代演化算法求解出最優預防性維護周期和最優緩沖量[8]。Dahane等針對兩機系統的生產計劃產量，同時考慮了設備的維護計劃，提出了最大緩沖建模方法，但沒有考慮缺貨成本[9]。Zequeira等考慮系統中設備隨時間的劣化所產品質量缺陷和緩沖區庫存的缺貨成本問題，建立了設備維護周期以及最佳緩沖區庫存量聯合優化模型[10]。Nursanti等針對批量生產系統進行不完美預防性維修，同時滿足系統可靠性的前提下得到了系統最佳預防維修間隔期[11]。Mabrouk等針對租賃設備運用不完美維修的(p,q)法則來建立預防周期內的總成本模型，最后獲得最優維修周期策略[12]。

目前研究大多數是假設對設備進行完美維修，并且沒有考慮系統可用度的要求，文中將同時考慮對故障設備進行不完美維修和滿足系統最低可用度水平下，制定具體的維修策略。

1 模型描述

文中研究的對象是2M1B生產系統，如圖1所示，上游設備為下游設備提供原材料或半成品，兩設備之間有一個庫存緩沖區，防止因上游設備故障而導致的生產線停滯。上游設備以最大的生產速率Umax來積累庫存S，直至達到目標庫存量，達到目標庫存量后上游設備的生產速率恢復至d。該目標庫存量是為了應對上游設備進行預防維修或故障維修時滿足下游設備的正常需求，下游設備始終以速率d從緩沖區獲取半成品或原材料，從而保證整條生產線持續運行。設備在每次預防維修結束后，都以概率p修復如新，以概率q修復如舊，即維修后設備以p的概率恢復至全新狀態，以q的概率恢復至故障前的狀態。文中將相鄰兩次成功預防維修之間的時間間隔定義為一個生產周期。系統內設備若發生隨機故障則對設備進行事后維修，維修后設備狀態比維修前的設備以固定的比例a(0

為了更清晰地描述所研究的問題，結合實際生產情況，做出如下基本假設：

(1)設備M2不會發生故障，其一直處于正常運行生產狀態；

(2)設備M1發生故障后可以馬上進行事后維修，因維修需要的等待時間忽略不計；

(3)在建立緩沖區目標庫存量之前設備不會發生故障，且維修后設備可以立刻進行生產；

(4)允許設備有足夠的生產能力，以速度Umax快速生產出大小為S的緩沖庫存；

(5)設備壽命、預防性維修和故障維修的概率密度函數是已知的，且執行維護操作所需的所有資源都可以在適當的時間獲得；

(6)該系統是一個隨著時間不斷劣化的系統，設備的故障次數越多，設備的故障率就越高。

針對文中構建的不完美預防性維修模型，給出如下符號定義，如表1所示。

表1 符號定義

續表1

2 模型構建

2.1 設備故障次數的計算

在系統生產周期內設備發生隨機故障次數是不確定的，由設備維修理論可知，系統內設備發生隨機故障的次數不僅與故障設備的壽命分布規律和更新因子a有關，而且和設備預防維修成功概率p有關。系統內設備隨機故障次數會根據a和p的改變而改變[13-14]。伽瑪分布在設備故障規律方面具有很強的普遍性和適用性，所以經常被用于生產設備的故障率表達。伽瑪分布的故障率函數為：

(1)

因此假設系統內設備故障率服從伽瑪分布Gamma(γ,δ)，根據準更新過程理論[15]，設備在時間間隔[0,t]內隨機故障次數的表達式為：

(2)

其中，參數γ為形狀參數，影響伽瑪分布曲線的形狀；δ為尺度參數，影響伽瑪分布曲線的比例尺寸的大小；c為截斷值(常數)。

首先觀察式2可知，它是在無限實數范圍內，系統設備故障概率分布函數的和，其中式2的每一項表示可修復設備在[0,t]間隔內，對設備進行n次不完美維修的概率。所以明顯可得，當n越大時，設備概率分布函數值就越小；當n趨于無窮時，設備概率分布函數值趨向零。很顯然這個截斷值c與系統生產周期的時間間隔大小有關。為了驗證假設的合理性，通過一個數值模擬來說明。假設設備發生隨機故障的時間服從γ=3，δ=3的伽瑪分布，更新因子a=0.8，圖2所示的是當c=3和5時，Q(t)中的每個求和項的分布函數曲線和總和Q(t)分布函數的曲線。

圖2 截斷值c=3和5時不同時刻t下設備隨機故障次數

從圖2左圖可知，當系統預防維修周期t在[0,40]時，式2可以滿足條件的截斷值c=3。由此可知，在一定條件下對于截斷值c的變化趨勢有一定規律，即系統預防維修周期t與截斷值c成正比關系。若t增大則c增大，反之若t減小則c減小。如圖2右圖所示，當系統預防維修周期t小于等于50時，式2可以滿足條件的截斷值c=5。

2.2 維修成本費用

系統周期內的設備維修成本由設備故障維修成本和設備預防維修成本組成。關于設備維修成本的建模問題，主要的難點是對于周期內設備的隨機故障次數的表達，根據準更新過程理論對設備隨機故障次數進行了描述與分析，因此可得周期內維修總成本為：

Cm=c1Q(iT)+ic2

(3)

其中，Q(iT)表示在i個預防維修周期內設備的隨機故障次數，i為預防維修的次數。

2.3 緩沖區庫存費用

構建緩沖區的目的是防止上游設備的隨機故障對整個系統產能的影響，緩沖區中放置的是原材料或者在制品，因此緩沖區內庫存過多，會增加企業的庫存持有成本，不利于資金的流動；緩沖區庫存過少時，則不能保證系統正常生產的最低庫存量，一旦缺貨會造成嚴重的生產損失。因此構建合理的緩沖庫存量對于企業也至關重要。圖3是周期內緩沖區庫存的變化軌跡。

圖3 周期內緩沖庫存的變化軌跡

系統緩沖區成本包括緩沖區內半成品的持有成本以及當對上游設備進行預防維護時，下游設備不斷從緩沖區內獲取半成品，預防維修時間大于緩沖庫存供給時間導致的缺貨成本。若上游設備的預防維修時間小于緩沖庫存的供給時間，此時的緩沖區成本即為庫存的持有成本。在模型中假定單位時間內每單位庫存的持有成本c3是固定已知的。

所以，通過圖3周期內庫存變化軌跡可以得到緩沖區庫存持有成本Cs的表達式為：

(4)

對任意的Si有：

Si=Si-1-Qi(T)·MTTR·d-Tp·d

因此可以推出：

S1+…+Si-1=(i-1)·S-[Q1(T)+Q2(T)+…+Qi-1(T)]·MTTR·d-(i-1)Tp·d=

(i-1)·S-Q((i-1)T)·MTTR·d-(i-1)Tp·d

Si-1-Qi(T)·MTTR·d=S-Q(iT)·MTTR·d-(i-1)Tp·d

其中，Q(iT)·MTTR·d表示系統周期內設備隨機故障維修時間的平均庫存消耗量。

當構建的緩沖區庫存小于設備停機維修時間內下游設備消耗的庫存量時，則會造成庫存缺貨，從而導致生產線中斷，造成嚴重的生產損失；企業追求的生產連續性是保證產品產量的基礎，一旦生產線中斷，則會影響產品的交貨期，從而對企業造成不可忽略的影響。在周期內緩沖區庫存缺貨成本Cp可表示為：

(5)

其中，R=S-Q(iT)·MTTR·d+(i-1)Tp·d表示系統周期內緩沖區剩余的庫存量。

2.4 系統可用度

文中提出的不完美預防維修策略模型要求系統可用度滿足系統最低可用度水平，基于可用度的定義，將設備可用度表達如下：

(6)

其中，P(T)表示一個生產周期，見式7；L(T)表示一個周期內設備停機的總平均時間，見式8。

(7)

(8)

文中提出的不完美預防維修模型的系統中設備只有兩種狀態：正常運行和停機。所以系統周期內的設備停機時間是設備故障維修時間與設備預防維修時間之和，即有：

其中有：

(10)

將式10帶入式9可得：

(11)

其中，Q1(T)表示系統周期內第一個定期預防性維修間隔期間T內，系統中設備發生隨機故障的次數；Q(iT)表示在i個定期預防維修時間間隔期間iT內，系統中設備發生隨機故障的總次數。

2.5 預防維修策略模型

以2M1B生產系統為研究對象，實際生產維修中，對設備的維修不可能達到完美維修的理想狀態，即“修復如新”。因此文中從實際生產角度出發，對設備進行不完美維修。首先利用準更新過程對周期內設備故障次數進行表達；其次分析了緩沖區庫存對總成本的影響，建立了設備不完美預防維修策略模型，該模型包括故障維修成本、預防維修成本、緩沖區庫存持有成本以及缺貨成本；然后對系統可用度進行了描述，以滿足系統最低要求的可用度水平A0為約束條件，建立了可用度約束條件下設備不完美預防維修策略模型，即：

(12)

由式12可知，目標函數中含有自變量緩沖區庫存S和預防維修周期T，在單位時間維修總成本最小前提下，同時滿足系統最低要求的可用度水平，求得最佳緩沖區庫存S和最優預防維修周期T。

3 模型求解

文中提出的可用度約束條件下設備不完美預防維修策略模型，是以預防維修周期及緩沖區庫存量為自變量，以單位時間內總成本最小為優化目標。主要思想是求出當滿足系統最低可用度A0時的時間間隔[T1,T2]，在此時間間隔內把T代入目標函數，可以計算出最佳的緩沖區庫存量和周期內單位時間最小生產總成本，然后比較每一個預防維修周期下對應的最小生產總成本，找出最小值，從而確定最佳緩沖區庫存和最優預防維修周期。模型的求解工作用R軟件編程實現。算法流程如圖4所示。

4 算例分析

結合生產中對設備維修情況的實際因素，模型所需要的數據如下：

圖4 算法流程

(1)因為伽瑪分布能夠反映設備故障率的變化規律，且適應性比較強，所以這里假設系統中設備的故障率服從如下參數的伽瑪分布：

(2)在實際設備維修中，由于預防性維修周期遠遠大于故障維修時間，所以假設：

f1(t)服從伽瑪分布，其中形狀參數和尺度參數分別為2和2；

f2(t)為服從均值為0.005天的指數分布；

f3(t)為服從均值為0.04天的指數分布。

(3)c1=250元/次，c2=100元/次，c3=1個/天，c4=2個/天，Umax=7 200個/天，d=28 800個/天。

(4)不完美預防維修的概率p=0.8，更新因子a=0.8。

(5)要求系統最低可用度水平：A0=94.8%。

要確定設備在周期內的故障次數，首先要確定截斷值c，接下來確定在不同的T值、不同p和不同a下對應的截斷值c的大小。通過R軟件編程求解的結果如表2所示。

表2 不同更新因子下，設備在不同預防維修周期下的隨機故障次數

由表2可知，更新因子a越小，在相同預防維修周期內設備在周期內發生隨機故障次數越多。同理，當預防維修成功率p越小時，系統中設備在周期內的故障次數也越多，同時從表中可知，周期內設備隨機故障次數最大為1 500，所以截斷值取1 500。

在確定截斷值后，根據不同的預防維修周期T值、p和a，通過R語言編程可繪制設備的隨機故障次數坐標圖，如圖5所示。從圖5可以看出，隨著設備預防維修周期的增加，設備在周期內的隨機故障次數也隨之增加；隨著更新因子a和預防維修成功率p的不斷減小，設備在周期內的隨機故障次數也隨之增加；此規律也與不完美預防維修模型的假定相符合。

圖5 不同T值、p和a下設備隨機故障次數變化規律

由R軟件編程可得，在滿足系統94.8%最低可用度要求的預防維修周期T的區間為[5,8]，如圖6所示。所以接下來在此區間內尋找單位時間內總維修成本最小的最優預防維修周期T與最佳緩沖區庫存量S。表3為在滿足系統94.8%可用度要求下的預防維修周期區間內對應的具體計算結果。圖7是在滿足系統94.8%可用度要求下的預防維修周期區間內對應的三維坐標圖。

從表3可知，當T=5.6，S=1 833時，系統在周期內單位時間總維修成本最小，最小成本為3 314。同時也可知，當T值過小或過大時都會導致總維修成本增加。當T值減小時，設備在周期內執行預防維修次數逐漸增加，使得維修成本增加和停機損失增加。當T值增加時，設備在周期內發生隨機故障次數逐漸增加，增加維修成本以及停機損失成本。文中構建的不完美預防維修模型的數值分析結果與企業實際的維修情況比較符合，所以該不完美預防維修模型是有效且可行的，可幫助制造企業制訂高效的設備維修優化方案。

圖6 不同預防維修周期下的系統可用度

表3 不同T值下最佳庫存及最小生產成本

圖7 不同T、h下的單位時間維修總成本

5 結束語

針對2M1B生產系統，考慮實際維修不可能對設備“修復如新”，構建了一個可用度約束條件下的設備不完美預防維修模型。通過準更新過程，描述了設備在周期內的隨機故障次數。在此基礎上，分析了緩沖區內庫存變化對總成本的影響，構建了周期內單位時間總成本模型，其中總成本包括設備故障維修成本、預防維修成本、緩沖庫存的持有成本和缺貨成本。以滿足系統最低可用度水平為約束條件，以周期內單位時間總成本最小為優化目標，通過模型的優化求解思路獲得最優預防維修周期以及在此周期下的最佳緩沖區庫存，并通過一個算例分析驗證了模型的有效性。