以學生為中心的線性代數課程設計

（杭州師范大學理學院 浙江·杭州 311121）

線性代數是數學分支中應用最為廣泛的數學學科之一，在計算機科學，統計學，數據分析，經濟學等領域都有重要的模型需要以線性代數為手段和工具。線性代數不僅是一種工具，而且是一種思維模式；不僅是一種知識，而且是一種素養。隨著大數據、人工智能等技術的發展，當代大學生的線性代數素養也隨之亟待提高。

但是由于一些客觀原因，學生學習線性代數的效果并不好。以我們杭州師范大學為例，課程結束時，部分學生分不清行列式和矩陣；在4階矩陣求逆時一些學生會采用伴隨矩陣的方法等等。作為典型的代數課程，線性代數雖然是一個邏輯嚴密的系統學科，但是國內比較流行的教材往往會過于注重體系的建立，沒有從學生的角度出發，內容編寫枯燥乏味，體系安排不合理，使得課程學習成本較高，從而很難達到預定的教學目標。譬如國內比較流行的教材，絕大部分都是從行列式開始的，然后講矩陣的基本理論，進而是線性方程組和向量組的線性關系，最后是特征值與特征向量。一上來就講行列式顯得有些抽象，有“勸退”的效果。雖然一類線性方程組的解可以用行列式簡潔地表示出來（Cramer's Rule），但是這種方式和中學（初中）求解二、三元一次方程組的消元法沒有很強的繼承關系，學習成本很高。MIT教授Gilbert Strang的線性代數公開課廣受好評，他在其著作《Introduction to Linear Algebra》的序中談到“眾所周知，（在超級計算機上）行列式的運算速度很慢，線性代數課程不應該以n階矩陣的行列式的公式作為出發點。這些公式有用，但是不是第一位的。”有更激進的作者，其線性代數教材全篇避免使用行列式的概念，如Sheldon Axler在其著作《Linear Algebra Done Right》的序中寫到“行列式是困難的，非直觀的，在很多教科書里沒有給出合適的導入動機。”同時課程往往缺少應用實例的支撐，學生不知道線性代數有什么用處，自然提不起對于學習的興趣。學生在中學期間養成的應試學習方式會使他們陷于做題，忽略對于數學基本概念的理解，缺乏思維模式的培養和數學文化的熏陶，這很難培養創新型人才。這些在很大程度上降低了學生對于學習線性代數的興趣，阻礙了創新思維的開發和實際應用能力的培養。因此，我們迫切需要對于線性代數課程的教學進行改革。

我們在任教線性代數課程過程中，體會到上述問題，也在教學過程中嘗試一些調整，針對杭州師范大學本科多層次的學生實際情況，秉承以學生為中心的思想設計教案，采用一些可行的手段，從各方面、多角度進行線性代數教學的探索與嘗試，在激發學生學習主動性、興趣的同時，降低了學習成本，也取得了一定的教學效果。

1 充分了解學生學情

學生的學情決定了學習的起點，掌握好學生已具備的數學、科學等素養，可以幫助我們做到有的放矢。為此，我們對浙江省的初高中的數學、物理、化學等學科的教材進行了梳理，找出了與線性代數課程有聯系的內容，并加以分析。例如，與線性方程組有關的內容有初中七年級二元一次方程組和三元一次方程組。初中課程對于二元一次方程組求解采用的雖然也是消元法，但是不是標準化操作，操作起來也不輕便，我們需要讓學生抓住消元法的本質，同時體會到以前操作的繁瑣性，這樣才體現出矩陣向量形式的簡化是非常自然的。

2 合理安排符合學生水平的知識體系

根據教學大綱，結合主流的教材，會形成以下的知識體系：用線性方程組作為一個引子，以導出行列式的概念，然后討論矩陣的一般運算理論，再用線性相關性討論線性方程組解的結構，接著討論特征值、特征線和矩陣相似對角化，如果是要求較高的專業，最后會選擇性地討論二次型。這樣的體系以線性方程組為開端，用消元法推導行列式定義為目的，但是行列式的定義比較抽象，學習成本較高，以此作為開門內容會給學生一個錯覺，整門課程都會很難很抽象，進而也容易對這整門課程產生恐懼與排斥，起到“勸退”效應。我們設計的是先借由線性方程組直接發展出基于初等行變換的矩陣形式的高斯消元法。這個和學生已有的線性方程組知識是一脈相承的，同時在第一章就介紹了貫穿整個課程的基本方法——高斯消元法，可以起到一個先入為主的作用，防止學生后續通常會出現的用伴隨矩陣求逆矩陣的現象。緊接著討論矩陣的基本運算，特別是乘法，又給出線性方程組的矩陣表示，給學生以“驀然回首”的效果。此后可以介紹線性相關性和線性方程組解的結構，作為線性方程組的完結篇，使知識結構富有層次性，從計算，到表示，再到結構探討。此后我們安排加入行列式，作為對方矩可逆的特征判斷，也為特征理論提供一個工具。特征理論相對陌生，但是學生在高中數列中采用過特征方法（未了解原理），我們以此為抓手導入特征理論。最后聯系高中圓錐曲線導入二次型。這樣安排的教學體系，在執行中也得到了學生的歡迎。

3 合理采用符合學生水平的概念體系

線性代數作為一個典型的代數課程，概念多，且往往有不少等價的概念。我們會根據學生理解難易的角度來選擇概念的形式。例如，通常行列式都是以完全展開的形式來介紹，這樣做法的好處在于方便理論體系的論證；而我們的課程面向非數學專業的學生，需以計算為主，這行列式的定義不方便計算。我們選擇采用按一行（或一列）展開的歸納方式來定義方陣的行列式，因為這樣的方法是計算行列式的最主要手段之一，非常實用且易于上手。又如，一般教材中討論矩陣的秩是在基于行列式的、用子式的方式來介紹，這也是出于理論體系的需求。我們的體系弱化行列式的作用，強化了高斯消元法的作用，在課程開頭便以階梯形矩陣非零行的行數作為矩陣秩的定義。采用這種方式定義秩，既有可操作性，又方便敘述方程解的存在性定理，更利于學生理解消元法的本質。

4 增加知識的應用案例

在我們學校，線性代數是一門公共課，課程面對的專業非常多元：物理、化學、經濟金融、電商、計算機類等。一方面為培養學生學習的興趣，另一方面也展示線性代數的重要性，我們會在課程中加入很多應用性的案例，例如在線性方程組的應用中，我們會采用電路、化學方程組、物物交換定價等案例展示線性方程組的作用；又如在討論矩陣乘法時，財務表格的計算也可以采用矩陣的乘法，搜索引擎的原理也是矩陣的乘法。

5 建立課程的在線學習資源

為了幫助學生課后學習，我們也錄制了線性代數課程視頻。除了系統的課程內容，根據多年的經驗積累，我們針對于學生的思維誤區、概念理解的難點、易錯的問題單獨錄短視頻，使得課程視頻更有指向性。例如，我們就針對于矩陣的求逆錄制一個短視頻，把初等變換法和伴隨矩陣求逆法做了比較，使得學生可以體會到2階逆兩種方法都可以，對于3階及以上，初等變換法計算相對簡潔。這也使得期末考試中不再出現使用伴隨矩陣求4階逆矩陣的現象。

6 構建多維度的課后交流機制

課堂時間非常有限，除了精心設計我們的課堂教學，我們需要給學生課后以表達的平臺。我們會有固定時間固定地點的線下答疑，開通網上如釘釘、微信、QQ等APP的全天候的線上答疑。在交流過程中，我們不僅會解決問題，也幫助學生培養合理的學習習慣和學習方法。特別是疫情期間，為保證課程的有序進行，線性代數課程除了在線授課之外，學生的作業都是在線提交，教師在線批改，快速反饋，及時發現學生的問題，及時指正，同時也及時調整課堂的不足。釘釘等APP支持進行會議模式，直接交流學習，提高學習效率。

以上的改革策略是我們基于在杭州師范大學教學過程中的嘗試，不一定會適合于兄弟學校的具體情形，我們只是提供一種思考。當然我們還會在后續的教學工作中不斷改進完善，使得線性代數這門課程可以取得更好的效果。