淺談數學學科核心素養視角下的AP微積分教學策略

胡祝齊

【摘要】AP課程是給高中生開設的、供學有余力的高中生選修的大學課程.通過國內高中數學教材與AP微積分教材相應內容的對比，明確AP微積分側重的教學理念與知識點.嘗試以發展數學學科核心素養為目標，改進教學策略，優化教學設計，逐步形成課前學情測試、課中注重策略和課后加強反思的系統的教學模式.

【關鍵詞】核心素養;微積分;教學策略

【基金項目】本文系江西省2019年基礎教育研究課題之重點課題《基于數學學科核心素養發展的AP微積分教學實踐研究（課題編號：NCSXZD2019-066）》階段成果之一

AP微積分是美國大學先修課程中的一門.筆者在近六年的微積分教學實踐中，發現AP微積分的美方教材中較注重知識的廣度，但深度略有不足.學生通過學習可以掌握微積分的各類基礎知識，但是對知識的理解與數學抽象的水平沒有進行相匹配的發展.美方教材的課后習題以基礎知識的舉一反三和基礎的應用問題為主體，深層次的問題較少.本文嘗試對比美國AP微積分與國內高中教材相應的教學內容，嘗試從中國學科核心素養中，找到一些抓手，進而促進學生的思維發展.

一、美國AP課程簡介

AP課程（美國大學先修課程）是在高中階段開設，供學有余力的高中生選修的具有大學學術標準及學業水平的課程，在課程結束后，學生參加由美國教育考試中心（College Board）統一命題的全球考試.AP課程在全球90余個國家和地區同步進行，通常在每年的五月進行全球統一考試.成績按照5分制進行判定，每年College Board會根據當年學生的考試情況進行劃線，分出5到1五個檔，考生如果考試分數在3分或3分以上，那么可以在大學入讀前抵一部分學分.AP課程被視為高中的學術挑戰課程，學生如果可以修讀AP課程并獲得較好成績，會在大學申請中獲得較大關注.AP課程目前共開設了38門，包括數學類、經濟學、物理學、生物、英語、政治等.AP數學類課程包括微積分AB、微積分BC和統計學，其中微積分AB和BC涉及的內容主要有極限、導數、積分、級數等.

二、AP微積分與國內高中新課標數學教材相應內容的比較

AP微積分分為AB和BC兩類課程，其中微積分BC是微積分AB的延伸和拓展，一般微積分AB對應大學本科一年級上學期的內容，微積分BC對應大學本科一年級一學年的內容.課題組將美國AP微積分BC與國內高中數學教材對應內容進行比較后發現，美國AP微積分BC課程比國內高中數學教材的知識點要廣，應用度要高，但是在相同知識點上，國內高中數學教材要更深.

具體增加內容表現在：在極限理論中，美國AP微積分BC增加了漸近線與無界的性質;在導數內容中，美國AP微積分BC增加了反函數、隱函數求導，參數方程、極坐標方程及向量函數的求導，二階導數及應用，函數的凹凸性及拐點，歐拉方法得到函數的近似解等;在積分內容中，美國AP微積分BC增加了分部積分法、廣義積分、微分方程求解建模與黎曼和估值等.

三、AP微積分與國內高中新課標數學教材相應教學理念的比較

國內高中數學教材側重一元函數導數及其應用，強調應通過豐富的實際背景和具體實例引入導數的概念，引導學生感悟極限思想、感受導數在研究函數和解決實際問題中的作用，體會導數的意義.AP微積分側重用多種方式來理解微積分，比如圖示、數值、公式及文字描述等，同時強調了這四類表示之間的有機聯系與轉化.在學科育人的視角下，AP微積分課程缺少明確的抓手;國內高中以數學學科核心素養為抓手，重點要求通過微積分學習，提升數學抽象、數學運算、直觀想象、數學建模和邏輯推理素養.

四、數學學科核心素養視角下的AP微積分教學策略

課題組以數學學科核心素養為第二主線，AP微積分教學內容為第一主線多次嘗試課堂實踐，例如指向數學抽象素養發展的極坐標系的概念，指向數學建模素養發展的最小二乘估計，指向直觀想象素養發展的立體幾何中的翻折問題等.

在“極坐標系”一課中，課題組以狙擊手與觀察員的合作定位為切入點，觀察員通過望遠鏡確定目標對象位置后，告知狙擊手2點鐘方向，50米.隨后形成“這樣可以定位嗎？為什么？要素有哪些？可否嘗試畫圖？還有哪些補充？”等問題鏈.在實際背景中，嘗試建立數學模型，抽象出極坐標系的要素，充分體現將核心素養與知識相結合的目標.

在“最小二乘估計”一課中，課題組以神眼追蹤的現實素材為切入點，素材中公安局的足跡鑒定專家可以通過嫌疑人腳印的長度推斷出身高，于是提出課堂問題，即根據42碼的鞋能否預測此人身高？隨后以此設計問題鏈：鞋碼與身高是函數關系嗎？如何研究相關變量的關系？收集的數據如何分析？有了直觀猜想，如何建立模型驗證？一堂課，以實際問題開始，引出數據收集、數據整理、數據分析、數學建模、統計反思、檢驗預測等環節，實現了核心素養與課堂教學的深度結合.

在多次教學嘗試后，課題組結合課堂效果、學生反饋與聽課感受，總結出如下教學流程圖（圖1）：

1.單元為本，完成課程目標設計

教師根據College Board的課程理念與教材內容，以單元為基本單位，進行完整的教學設計，制訂出課時數量、知識與能力目標的分層等，參照數學學科核心素養分類分層，將數學知識與數學學科核心素養進行對應，在美國AP課程的基礎上，完成知識、能力、素養的三維課程目標設計.例如在導數的概念教學中，知識層面是對一元求導法則的理解，能力層面是對一元求導法則的運用;素養層面是一元求導法則的來由，能否自行推導出求導法則.教師在有了三維課程目標設計后，在課堂教學中，嘗試構建情境、為學生實現推導法則的過程形成腳手架，跳出只講公式，不求理解的解題心態.

2.學情測試，精準掌握素養水平

為了精準教學，教師在課前需要進行學情測試.測試以問題為載體，以素養為導向，結合學生的最近發展進行設計.在設計學情測試時，教師可以參考SOLO分類法理論模型進行設計.例如在設計數學建模的學情測試時，參考普通高中數學課程標準中的數學建模素養的三個水平和SOLO分類法理論中的五類結構層次.學情測試不一定要難倒學生，而要真實地反映學生的素養水平，因此要進行適宜的設計，由易到難，由單個到聯結.

3.豐富策略，為素養發展提供保障

根據學情測試的分析結果，教師應從創設合理情境、嘗試多元表征、設計變式練習、使用信息技術四個教學策略出發，設計課堂教學，實現素養的發展.

合理情境一直是數學課堂的重心.

情境的意義在于將數學概念賦予生命力，有背景、有過程、有結論，能重現概念的產生與形成過程;能再現矛盾的產生與解決過程.例如在極坐標系的教學中，除了課本上原有的海上定位實際背景外，以狙擊手定位目標為背景更有利于概念的引入，實現學生的數學抽象素養的發展.

多元表征是美國AP微積分教材中的教學重點.在教材中，強調對一個概念的理解要從圖示、表格、邏輯表達式與口語表達式四個維度開展.一個看似簡單的函數，在通過圖像、表格、解析式三個角度分析后，能讓學生有更立體的感受，能有效地發展學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理等素養.

變式教學是我國顧泠沅教授在青浦教改實驗時提出的教學方法.通過近十年的探索，變式教學給青浦教育帶去了翻天覆地的變化.在微積分的教材中，題目的變式相對較淡薄，一般是教材中的例題給出的方法，在課后習題中可以直接套用，不需要過多轉換.除了教材外，全球AP統考題中的計算題也是以同類為主，只有在概念辨析時會有一定的變式.為了更深入地理解定理、法則、運算方法，教師可以在課堂教學中融入變式教學，會有較好的效果.例如，為了理解微分方程的分離變量積分法，教師可以從基礎題型入手，設計變式題，融入基本求導公式與鏈式法則，實現學生邏輯推理思維的發展;為了使學生理解related rates這個概念，教師可以從書中舉的體積、面積、角度、相似性等常規模型突破，嘗試融入其他背景元素，恰當地變式，使學生的概念理解實現深度化，能較好地遷移到新的背景中.

信息技術的使用是微積分教材中較為重視的一塊.每一節內容后，均有相關知識在計算器中的實現.一般國外推薦的計算器有Ti系列（德州儀器）、Casio（卡西歐）、HP（惠普）等.教師可以在開學前組織同學們按照自己的使用習慣進行購買，在正式上課時，為了輔助教學的需要，可以直接用圖形計算器進行計算，這不僅是常規的數值計算，還包括了函數圖像、立體幾何圖形等.例如，為了理解積分在旋轉體中的應用，以Geogebra的3D繪圖或Ti-nspire圖形計算器為抓手，將復雜的幾何圖形立體化、直觀化、可視化，實現學生的直觀想象思維的發展.

4.課后鞏固，素養與思維的拓展與延伸

教師在課時任務完成后，除了指導學生完成教材中的作業外，需從思維導圖、自主命題和數學活動三個角度對學生的素養與能力進行鞏固與提升.

思維導圖是表達發散性思維的有效圖形思維工具.在思維導圖的使用中，注重概念之間的邏輯連接，減少不重要的知識樹枝，關注知識主干.通過思維導圖，可以讓學生形成對知識的抽象化、結構化和形象化.例如在微積分的極限、導數與積分三大塊中，學生通過梳理知識、理解方法與感悟素養，整理出如下思維導圖（圖2）：

在思維導圖的基礎上，我們設計了菜譜學習單，即以一道菜為標準，將所需的物品質量和數目用數學知識來表達，通過數學知識來運算求解，得出答案，完成菜品的制作.菜譜學習單有點類似原創題，但現在是將現實情境與解題進行有機結合.學生需要先列出有哪些知識點，知識點可以設計哪些計算題，得到大致怎樣的數據，再將所列情況與實際嘗試匹配，當匹配度足夠高時，可以選擇相應的菜完成菜譜制作.樣例如下（圖3）：

總之，教師在AP微積分的教學中，應以單元設計為框架，細化至課時設計，從知識、能力、素養三個維度進行解構，課前注重前端調研，課中瞄準策略運用，課后引導活動升華，循環往復，逐步推進學生的數學學科核心素養的發展.

【參考文獻】

[1]馬雪波.核心素養視角下高中數學教學策略[J].中學課程輔導（教學研究），2019，013（005）：20.