高中數學幾何解題技巧之“數”“形”結合途徑分析

劉素華

【摘要】本文簡單概述了數形結合思想的內涵，并且從不等式、圓的問題兩個方面分析了數形結合思想在幾何解題中的應用，也分析了其與輔助線在題目中的結合應用.

【關鍵詞】高中數學;幾何解題;數形結合

引?言

數形結合是非常關鍵的解題思路，尤其在幾何題目的解答中有良好的應用效果，對于復雜的幾何題目，有時需要借助輔助線來明晰圖像的已知條件，發現解題的突破口，達到快速解題的效果.

一、數形結合思想

這是分析數學題目的常見思路，數形作為最基本的數學要素，在解題中結合應用，能夠實現最佳的解題效果.這是因為數形間具有緊密的關聯，能夠相互轉化和補充，共同支持數學題目的解答過程.尤其是對于幾何類的題目，我們借助于數形兩種要素的對應關系，就可以將復雜難解的數學關系轉化為具象的幾何圖像，通過分析圖像中各數學要素間的空間關系來達到簡化題目的目的，進而實現高效的解題過程.

二、高中數學教學中數形結合思想的用途

數形結合思想在高中階段的教學中有著非常廣泛的用途.從宏觀上來講，數形結合的思想方法是作為數學課程教學的主線存在的，具體來說，數形結合思想的主要應用領域包括了以下幾個方面.

（一）集合問題的解決

集合部分的知識在高中數學的知識體系中屬于基礎層面的內容，也是函數部分知識學習的基礎.在集合的運算環節，可借助的內容包括數軸、圖像.無論是需要經過繪制發揮作用的數軸還是直觀的圖像形式，都可以非常直觀地將集合之間的關系進行清晰的顯示，簡化語言文字描述中所包含的復雜信息內容，從而提升運算過程的簡潔性和有效性.

（二）函數問題的解決

在解決函數問題的過程中，數形結合思想的運用主要體現在函數圖像與函數數量關系方面.函數性質的體現通常都是以函數圖像作為支撐的.幾何圖形的呈現形式往往反映著非常鮮明的數量關系.這也是數形結合思想體現得最為顯著的一部分內容.除了常規的函數知識，三角函數的相關知識學習中也包含了數形結合的思想，不同的三角函數關系可以通過圖形直接進行觀察，這在函數關系的判定方面有非常重要的作用.

（三）絕對值問題

絕對值問題的解決中，最好繪制數軸，并且利用絕對值的基本性質方面的理論知識在圖像中找到一個宏觀上的取值范圍，最終解答出絕對值的具體范圍.在解答絕對值問題的過程中，數軸的繪制是通過繪圖的方式將抽象的求值問題簡單化的過程，是數形結合思想實際應用中提高解題效率和準確性的一個典型體現.

三、數形結合的解題思路

該方法在高中數學中的應用較為廣泛，主要體現在集合問題、三角函數以及幾何題目的解決中.就幾何解題而言，先是仔細地審題，清晰幾何題目所描述的位置或者數量關系，這是實現數形兩個要素相互結合與對應的前提，借此確定問題的突破口，然后進行解題.如果學生對數形結合的理解較為深入，可以自由地實現知識遷移，就會達到舉一反三的思維狀態，快速解決任何幾何題目.

四、數形結合思想的應用原則

雖然從上文的分析中可知大部分的數學問題解決在不同的階段和對應的內容中都會涉及數形結合的思想，但在實際應用中，這種思想的應用要想取得預期的應用效果需要把握住以下幾方面基本原則.

（一）找準知識內容

在實際應用中要結合具體的數學知識內容判斷其是否適合于應用數形結合的思想來解決.只有具備匹配性的知識內容，才能取得更好的實際應用效果.

（二）注重教學組織

這一點主要強調教學組織的科學性.為了提高學生的實際教學體驗，在展示圖像的過程中，教師可酌情選用多媒體工具或先進的計算機系統軟件對傳統的、具有固定性和抽象性的圖像內容進行靈活化和生動化的處理，從學生參與學習的主觀感受維度實現優化和完善.

五、數形結合思想的應用

（一）不等式問題的解決

不等式是非常重要的數學知識，復雜的不等式問題，就必須要借助圖像思維來解決，在數形結合的指導下實現不等式的轉化，最終實現求解過程.

圖1針對該題目，我們就需要先根據題目作出實際的可行域，如圖1所示.

在解決該題目時，關鍵是要按照題目所提供的數學要素將可行域作出來，將復雜的不等式問題進行轉換，變成簡單的距離問題，然后再借助數形結合的思路來推理題目的答案.

（二）圓類問題的解決

圓類問題是數形結合思路的主要應用形式，這是由于圓類的問題基本都涉及很多位置關系.例如為了明晰直線和圓的關系，往往會構建相應的坐標系，這時就能清晰地看到兩者間的位置關系，但是這類題目也會涉及解題，這就需要學生明確解題的思路和步驟，也就需要發揮數形結合的作用，達到以數變形的目的.

針對該題目，利用數形結合的方法，也就是根據題目的要求做出相關的圖形，如圖2所示.

在該問題的解決中，最關鍵的思路就是數形結合思想，我們在詳細分析題目條件的前提下，結合圓與直線的相關知識，最終確定出邊界位置，這樣就能高效地判斷出實際的取值范圍.

（三）與輔助線結合應用

這是數形結合思路的基本運用形式，很多幾何題目的空間感較為復雜，如果單純依賴于空間想象力就很難快速解題，所以就需要發揮輔助線的價值.尤其是對于條件較少的題目，學生無法立刻發掘出題目中的各項信息，就可以利用輔助線來凸顯圖像的特征，為解題提供思路和突破口.

圖3例如：在如圖3所示的圖形中，CB與CA相等，DA與DB相等，而AB邊的中點是E，請證明過點E，D，C的平面與BA間的垂直關系.

針對該問題，由于題目中提供的條件較少，而且圖像的空間關系較為復雜，因此學生在閱讀題目時會無所適從，很難依靠想象來解題.但是利用輔助線就能快速地解題，也就是連接ED，EC，這時學生就能清晰地看到平面EDC，再借助等腰三角形的知識就能夠推導出相關的結論，也就是CE與DE這兩條線與BA間具有明顯的垂直關系，也就可以繼續推導出題目中的結論.

經由該題目可知，雖然很多幾何圖像所呈現的解題信息非常有限，比較容易形成學生的思維障礙，但是在輔助線的支持下，能夠讓圖像的已知條件清晰起來，實現數形結合的優化，消除了學生潛在的思維混亂，然后再配合一定的數學理論就可以達到快速解題的目的.

（四）取值范圍問題中的應用

這類問題主要集中在曲線方程中的取值范圍問題的解決上.對曲線方程來說，數形結合的關鍵在于題目的條件中會設置曲線與直線交點位置的實際情況，以此為基礎提出相關數據取值范圍的要求.在求取值范圍的過程中，學生對于相關數學理論知識的理解能力也會得到相應的提升.

（五）函數幾何性質判斷中的應用

到了高中階段，函數知識的難度提升主要體現在函數與幾何問題的結合.這也為數形結合思想的融合應用提出了一定的要求.尤其是在判斷函數的單調性與奇偶性時，數形結合思想的運用能夠得到最為典型的體現.下面通過具體的例題分析函數幾何性質判斷中數形結合思想的滲透應用方法.

六、結束語

幾何問題是高中數學的關鍵內容，涉及的知識點較為復雜，學生必須借助于科學的思路和策略才能快速地解題，而數形作為非常重要的數學元素，相互之間可以轉化和補充，所以復雜的幾何題目就可以借用數形結合來解，實現數形間的轉化，保障解題的效率.

【參考文獻】

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