分數階相位拉伸變換的圖像銳化算法

2020-01-14 06:03:38徐鵬飛胡海峰耿則勛

計算機應用與軟件 2020年1期

徐鵬飛胡海峰耿則勛

(平頂山學院信息工程學院河南平頂山 467000)

0 引言

圖像銳化就是補償圖像的邊緣輪廓，增強圖像的結構紋理細節、提高場景中目標的邊緣與周圍像素之間的反差、凸顯圖像特征等高頻信息的過程，它使圖像中的邊緣輪廓更加清晰，細節層次更加分明。圖像銳化的基本過程是:首先對原始輸入圖像的邊緣提取得到邊緣圖，然后將邊緣圖與輸入圖像實施融合，可形式表示為O(m,n)=FUSION(F(m,n)，E(m,n))，其中F(m,n)表示原始輸入圖像，E(m,n)表示提取的邊緣圖像。圖像銳化的方法大致可以分為兩類。一類是空間域方法，這類方法主要是對輸入圖像實施高通濾波提取邊緣，常用的高通濾波器包括一階、二階微分算子，如Roberts梯度算子、Sobel算子以及Canny算子，用這些高通算子提取邊緣圖像后通過一定的加權或增強，與原始圖像融合，得到銳化后的結果圖像。另一類方法就是變換域或頻率域方法，其主要思想是對原始圖像實施不同的變換，然后在變換域實施高通濾波器提取邊緣得到邊緣圖，最后將邊緣圖與輸入圖像融合得到銳化結果，常用的變換包括小波變換、傅里葉變換等。

在圖像銳化的研究方面，人們提出了各種不同的銳化方法。文獻[1]提出了一種基于小波分析和Retinex結合的圖像增強算法。小波變換將圖像分解為多尺度、不同頻率取向的多個分量，通過對不同頻率分量的去除噪聲，再利用Retinex算法增強圖像細節信息，最后通過小波逆變換得到增強后圖像，改善了圖像的整體視覺效果，更好地突出了圖像的細節信息。文獻[2-3]通過增強小波域內定義的圖像對比度和圖像的奇異矩陣取得了較好的增強效果。但基于小波分析的圖像增強在低照度圖像銳化處理中對低頻信息反映不敏感。文獻[4]使用高通濾波器銳化圖像的邊緣和紋理。該濾器技術通過提高高頻成分實現圖像對比度的提高，但不能保持相鄰像素值相對排序，從而容易出現“光暈”現象。文獻[5]提出改進直方圖均衡化方法，并與對比度增強算法相結合，對低照度圖像的局部信息對比度增強效果較好。文獻[6]提出直方圖調整技術尋求直方圖均衡化與線性映射最佳融合。直方圖增強技術因為使用單調傳遞函數來映射的灰度級輸入圖像，并重塑輸出直方圖，像素的強度等級得以保存，因此可避免“光暈”現象。

以上圖像銳化都是基于時域和頻域變化的圖像增強算法，其處理的對象都是圖像的強度值或強度值經過變換后的系數值，沒有利用圖像中的相位信息。傅里葉變換理論下的相位是圖像中的重要信息源，相位信息在圖像處理與分析、計算機視覺以及基于神經網絡的機器學習等領域起著重要的作用。本文基于一種新的圖像相位拉伸變換理論，提出一種圖像銳化算法。實驗結果表明，這種利用相位拉伸變換并結合相對總變分的細碎紋理抑制的銳化算法具有明顯的優越性。

相位拉伸變換(phase stretch transform，PST)是在模擬信號的時間拉伸變換(time stretch transform，TST)的基礎上發展起來的，其目的是改變信號中不同頻譜成分的頻率特性，從而提高超高速率模擬信號模數轉換性能[7]。PST應用于數字圖像處理，其本值特性是用發散拉伸后的相位數據或信息去凸顯、增強圖像中的高頻特征，將傳統基于圖像強度值的高頻特征表達(比如強度值梯度模的極大值為邊緣點、圖像局部灰度值協方差矩陣的特征值為圖像特征點等)轉換為通過拉伸后相位的表示，是用一種全新的視角或理論提取并表達圖像特征的方法。目前，PST已用于數字圖像邊緣特征檢測[7]、視覺損傷圖像的特征增強[8]、數字圖像壓縮[9]、顯微圖像的超分辨率定位[10]等場合。

1 基本相位拉伸變換理論與分析

文獻[7]提出一種受物理現象啟發而形成的數字圖像變換，稱為PST，模擬電磁波在具有扭曲色散介電函數的衍射介質中的傳播過程。PST用具有特定的依賴于頻率發散的全通相位濾波器H(ω)=exp{jβ(ω)}模擬衍射過程，其中相位β(ω)的群延遲GDτ(ω)=?β(ω)/?φ(ω)為“S”型的線性或次線性函數，可以在模擬端信號采樣與數字化之前重塑信號復場的形狀，從而做到壓縮模擬信號帶寬的同時不增加信號在時間域的持續時間，減小信號的時間帶寬積(time bandwidth product，TBP)，從而解決了傳統Nyquist均勻采樣本身固有的兩個問題[11]：第一，傳統Nyquist均勻采樣限制給定采樣率時采樣過程可以捕獲的頻譜成分(也就是說給定采樣率后，其最高只能捕獲到2倍于該頻率的信號頻譜成份，更高頻譜的信息該采樣過程無法捕獲)；第二，當模擬信號有冗余時，傳統Nyquist均勻采樣過程會導致所采到的離散樣本數量大大多于必需的樣本數(因為低于Nyquist頻率的那部分信號被過采樣)。PST作用于模擬信號的過程見圖1。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)圖1 PST示意圖

圖1中，(a)為PST通過一個具有特定頻率依賴群發散的濾波器H(ω)的實現示意圖，該濾波器施加在模數轉換器ADC(analog-to-digital converter)之前。(b)為輸入信號波形。(c)顯示了信號經過PST后輸出端包絡振幅依賴時間與頻率變化的三維圖，子框中是輸入信號未經過PST變換的三維圖。(d)為將PST放在輸入光學信號近場時，具有線性群延遲GD的系統(實線)與具有非線性群延遲GD的系統(虛線)兩個系統的輸出在時間域持續時間比較。虛線的持續時間明顯少于實線的持續時間，但兩個系統的輸出包絡完全重合(右上角子框中示意圖)。左上角子框中顯示的是兩個系統群延遲GD原型的比較。(e) 分別顯示了輸入信號經過線性與非線性群延遲GD的兩個濾波器后輸出包絡在時間-頻率空間的持續時間比較[11]。

應用于模數轉換ADC之前的PST，也可以應用于數字信號處理領域，其用于數字圖像邊緣檢測的過程如圖2所示[7]，其中原始圖像首先經過一個局部低通濾波器核函數實現平滑，然后在頻率域施行非線性頻率函數的相位操作，稱為相位拉伸(發散)變換PST，最后通過如閾值化與形態學濾波的后處理，實現邊緣檢測。

圖2 相位拉伸變換PST檢測圖像邊緣過程示意圖

頻率域相位拉伸變換的數學模型為[7]：

FFT2[B(m,n)]}

(1)

盡管PST中可考慮任意的相位核函數，但是根據文獻[7]的研究結果，核相位函數φ(u,v)的導數是頻率變量的線性或次線性函數，這種相位核函數原型的一個簡單例子就是“S”型的反正切函數。為了簡單起見，如果進一步要求這種相位扭曲操作在頻率域平面是各向同性的，其扭曲程度僅與o-uv頻率平面極坐標系下的極徑r有關，而與極角θ無關，即假定PST的核相位原型關于頻率變量是圓對稱的，有：

φ(u,v)=φpolar(r,θ)=φpolar(r)

(2)

(3)

注意到，圖像經過傅里葉變換后的uv頻率平面是有限區域，所以可根據式(3)求解φpolar(r)，得：

(4)

對式(4)中的相位函數歸一化，得到φN：

(5)

對式(5)的相位函數中加入非線性扭曲拉伸變換中的相位拉伸強度參數S和扭曲參數W，得到最終的PST中帶強度參數S和扭曲參數W的核相位函數φN(r,W,S)：

(6)

式中：tan-1(·)表示反正切函數，ln(·)為自然對數，rmax代表uv頻率平面最大頻率極徑。式(6)就是文獻[7]中使用的相位拉伸核函數。利用PST理論提取數字圖像邊緣檢測的例子如圖3所示。

(a) 示例1的原圖 (b) 示例1的PST處理效果圖

(e) 示例3的原圖 (f) 示例3的PST處理效果圖

(g) 示例4的原圖 (h) 示例4的PST處理效果圖

(i)示例5的原圖 (j)示例5的PST處理效果圖圖3 基于PST的圖像邊緣檢測實驗結果

2 分數階相位拉伸變換圖像銳化

PST理論是在傅里葉變換的基礎上提出的，其原理是通過對圖像傅里葉變換后的相位作非線性扭曲與尺度拉伸，從而利用相位凸顯圖像特征。分數階傅里葉變換是傳統傅里葉變換的推廣。通過理論分析與實驗結果可以看出，分數階傅里葉變換的模與相位對表現圖像特征具有更好的方向選擇性，具有更細膩的表達。針對這一現象，本文將傳統傅里葉變換的相位拉伸PST理論推廣到分數階傅里葉變換，然后結合相對總變分，提出一種圖像銳化算法，實驗結果表明，本文算法具有較好的優越性。本小節先簡要介紹分數階傅里葉變換，然后引入相對總變分(relative total variation，RTV),最后得到本文的圖像銳化算法。

2.1 分數階傅里葉變換

分數階傅里葉變換在保留了傳統傅里葉變換原有性質的基礎上又添加了其特有的新特點，所以可以認為分數階傅里葉變換是一種廣義的傅里葉變換[12]。

一般地，函數x(t)的p階分數階傅里葉變換可以根據需要表示為Xp(u)或Fpx(t)。Fpx(t)可以看作算子Fp作用在信號x(t)上。

下面從線性積分變換的角度給出分數階傅里葉變換的基本定義。定義在時域的函數x(t)的p階分數階傅里葉變換是一個線性積分運算：

(7)

0<|p|<2，0<|α|<π

(8)

(9)

可見，X1(u)就是x(t)的普通Fourier變換。同樣可以看出X-1(u)就是x(t)的傳統傅里葉變換的逆變換。

2.2 分數階傅里葉變換的離散化方法

Ozaktas推導出了分數階傅里葉變換的計算方法[13]。這種方法對原函數的時域進行N點采樣，并且把它映射為分數階傅里葉域的N個采樣點，算法的計算復雜度為O(NlogN)。在使用這種方法計算分數階傅里葉變換之前，必須先對原信號做量綱歸一化處理。經過量綱歸一化處理之后，信號在時域和頻域的表示都是無量綱的，并且在時域和頻域的支撐長度都等于Δx。這也說明，信號的Wigner分布被限制在以Δx/2為半徑，時頻平面原點為中心的單位圓內。為了得到高效計算方法，這里把分數階Fourier變換的計算分解為卷積形式。根據分數階Fourier變換的定義，信號x(t)的a階分數傅里葉變換可以寫作：

(10)

分數階傅里葉變換的計算可以分解為3個步驟:

(1) 對信號x(t)乘以一個chirp函數，得到的中間結果記為g(t)，通過這一步操作使得g(t)的頻域帶寬變為信號x(t)的頻域帶寬的2倍，因此g(t)的采樣間隔應該為1/2Δx。

(2) 用信號g(t)和一個chirp信號做卷積，因為這時g(t)的帶寬為2Δx，所以根據卷積定理，該chirp信號可以用其2Δx的帶限形式表示，記為h(t):

(11)

式中：H(Ω)為所卷積chirp信號的Fourier變換。

(3) 對步驟2的結果乘以另外的一個chirp信號，這樣就得到了Xα(u)的采樣間隔為1/2Δx的2N個采樣點。因為是時域N個采樣點到分數階傅里葉域N個采樣點的映射，所以再對Xα(u)做2倍的抽取就可以得到以采樣間隔為1/Δx的Xα(u)采樣。

令Xα和x分別表示由Xα(u)和x(t)的N個采樣點組成的列向量，那么上述計算過程可以寫成矩陣形式：

(12)

(13)

式中：D和J表示抽取和插值操作，Λ和H分別對應chirp乘和chirp卷積操作[7]。

2.3 基于分數階傅里葉變換的PST

雖然利用PST的相位可以檢測圖像中的邊緣以及圖像中強度值的劇烈變化[5]，但其對于圖像低度變化的邊緣檢測不太理想，并且對圖像中的方向特征沒有選擇性。為此本文將PST的相位拉伸算子推廣到分數階傅里葉變換，得到基于分數階傅里葉的相位扭曲拉伸變換PST改進的數學模型為：

FRFT[B(m,n)]}

(14)

則針對X、Y、S、W不同的取值得到的邊緣檢測試驗效果對比圖如圖4所示。

(a) X=0.5,Y=0.5S=0.8,W=1.0(b) X=0.8,Y=0.5S=1,W=15

基于分數階傅里葉變換PST與PST及其他算法試驗效果對比圖如圖5-圖7所示。

(a) Roberts算子邊緣檢測 (b) Sobel算子邊緣檢測

可以看出，PST算法和基于分數階傅里葉變換的PST算法能很好地檢測到圖像中強度值的劇烈變換，因此可以得到很好的圖像邊緣效果圖。但是相對于基于分數階傅里葉變換的PST來說，PST確實對圖像低度變化的邊緣檢測不太理想。

2.4 相對總變分分析

圖像銳化的目的是突出那些有意義的、大尺度的結構型特征，如輪廓邊緣、結構細節等，抑制不重要的細碎紋理，如無規律性、雜亂的、重復出現的細碎模式等。為達到銳化圖像增強效果，需把提取并增強的邊緣、重要結構圖像與原圖像進行疊加，使結果圖像突顯邊緣及重要結構特征，有利于后續特定的應用。但疊加后的圖像會出現噪聲和邊緣毛刺等現象，這是因為在傳統的相位拉伸變換之前的普通低通濾波器，對不重要的細碎紋理抑制得不夠徹底造成的。為此，本文利用相對總變分RTV對疊加圖像實施后處理，得到了好的效果。

RTV能夠很好地度量并明顯區分重要結構與細碎紋理，得益于其關于相對總變分的度量準則，該準則由逐像素的窗口化總變分測度Dx(p)、Dy(p)與窗口化內在變分測度Lx(p)、Ly(p)兩組指標決定[14]：

(15)

式中：S可以暫且認為是輸入圖像，R(p)是以像素p為中心的矩形局部鄰域窗口，q是R(p)中的任一像素，gp,q是根據空間相似關系定義的加權因子。顯然，Dx(p)、Dy(p)度量了像素p周圍局部范圍內圖像灰度值的空間絕對變化情況。內在變分測度定義為：

(16)

可以看出，Lx(p)、Ly(p)度量了像素p周圍局部范圍內圖像灰度值的空間總體變化情況。而相對總變分測度則定義為：

(17)

式中：ε為一個很小的正數，避免分母為零。

如果像素p位于主要結構、輪廓邊緣上或附近，則以p為中心的局部范圍內各像素點在兩個方向的梯度應具有相同的符號，或者說具有相近/類似的梯度方向，即對鄰域內不同的像素點s、t，近似有(?xS)s·(?xS)t>0，(?yS)s·(?yS)t>0，從而使得Dx(p)與Lx(p)、Dy(p)與Ly(p)的數值比較接近；而當像素p位于雜亂、不規則的細碎紋理區域時，鄰域內不同像素點s與t之間的梯度會出現相互反號，使梯度互相抵消現象，進而使得以p為中心的局部測度Lx(p)比Dx(p)小得多，Ly(p)比Dy(p)小得多的現象。這樣就有結論：當p位于主要結構、輪廓邊緣上或附近時，RTV(p)近似接近于2，而當像素p位于雜亂、不規則的細碎紋理區域時，RTV(p)非常大。所以在區別重要結構與細碎紋理時，為了增強紋理與主要結構之間的對比度，特別是對于視覺明顯的區域或特征，將測度L與D結合起來，形成結構—紋理分解中更加有效的正則項。代價函數如下：

式中：I表示輸入圖像，S表示從輸入圖像中提取出的結構紋理圖像，(Sp-Ip)2使輸入和結果沒有大幅度偏離，而正則化項RTV(p)，由于L測度和D測度的良好特性，則可以實現從輸入圖像中去掉微小細碎紋理而保持主要結構。

借鑒相對總變分RTV優化分離主要結構與微弱細碎紋理的良好特性，在本文的結合分數階傅里葉變換與PST的圖像銳化算法中，引入RTV步驟，使得銳化后的圖像更好地突出了主要邊緣輪廓、結構紋理，抑制了微弱細小紋理。

2.5 算法設計與流程

本文提出的圖像銳化算法，主要包括低通濾波、分數階傅里葉變換、形態學處理、圖像融合以及RTV銳化等步驟。具體算法流程見圖8。

圖8 算法流程圖

3 實驗結果對比與分析

3.1 實驗結果

(a) 原圖(b) 分數階PST邊緣提取

表1 實驗參數取值

第二部分實驗為：把分數階PST和基于PST的圖像增強、基于區域生長的圖像增強、基于直方圖均衡化的圖像增強、基于Canny算子的圖像增強等進行對照分析。原始圖像見圖13。

(a)(b)

(c)圖13 原始圖像

針對圖13(a)的各種算法銳化增強效果如圖14所示。

(a) 區域生長圖像銳化增強 (b) Canny算子圖像銳化增強

針對圖13(b)的各種算法銳化增強效果如圖15所示。

(a) 區域生長圖像銳化增強(b) Canny算子圖像銳化增強

針對圖13(c)的各種算法的銳化增強效果如圖16所示。

(a) 區域生長圖像銳化增強(b) Canny算子圖像銳化增強

針對該部分的實驗結果表明：部分圖像增強算法在增強圖像高頻信息的同時沒有突出邊緣信息，所得到的圖像會掩蓋部分重要的信息，例如區域生長算法的圖像增強。部分圖像增強算法在顯現圖像邊緣部分的同時會模糊小邊緣信息，例如Canny算子的圖像增強。部分圖像增強在突顯邊緣信息的同時會對低度信息處理不當，例如基于PST的邊緣增強。

3.2 實驗對比與分析

圖像的平均灰度反映圖像的整體亮度；平均梯度是圖像清晰度的重要體現，能反映對細節的表達能力；信息熵可以體現圖像所攜帶信息量的多少，表征的圖像的復雜程度；標準差可以反映圖像的對比度特征。實驗比較了本文算法與已有幾種算法銳化處理后結果圖像的平均灰度、平均梯度、信息熵以及標準差等指標，圖14-圖16的實驗數據對比見表2-表4。

表2 圖14的實驗結果數據對比

續表2

表3 圖15的實驗結果數據對比

表4 圖16的實驗結果數據對比

可以看出，本文算法所獲得的體現圖像清晰度的平均梯度值明顯比其他算法所獲得的平均梯度值大，提高了80%以上，為圖14-圖16本文算法銳化處理后的圖像較清晰提供客觀依據，能很好地反映圖像細節信息，特別是和本文算法所提出的對弱強度變化特征具有更好的銳化增強效果相符。

4 結語

本文提出一種基于分數階相位拉伸變化PST的圖像銳化算法。首先利用低通濾波去除圖像中的噪聲。然后利用分數階PST對圖像的邊緣進行提取，一般圖像的邊緣提取都是基于時域或頻域信息，而基于分數階PST 利用相位信息提取圖像邊緣，并且通過大量實驗結果表明該方法得到的圖像邊緣提取效果更佳。最后利用RTV對圖像進行融合處理，得到很好的圖像銳化結果。與傳統銳化增強算法相比，本文算法銳化增強后圖像的平均梯度與信息熵提高均在80%以上，證明了本文算法的優越性。