超遠距離通信中的LDPC 譯碼實現

白建國，郝向新，鄭 亮，代澤薈

（內蒙古電力（集團）有限責任公司鄂爾多斯電業局，鄂爾多斯 014399）

無人機遠距離通信數據鏈是這些年發展日趨成熟的無線傳輸系統，它的主要功能主要是利用無人機飛行平臺，將安裝在機身的光電設備（如光電吊艙）所采集的連續圖像實時，傳輸到地面監視點。目前采用的主要技術手段也非常豐富，比如Wi- Fi、微波、3G 或者4G 公網以及COFDM 技術等。本課題所采用的無人機遠距離通信數據鏈技術方案需要在通信距離150km 的情況下，回傳速率可以達到2Mb/s 以上，可以滿足無人機超遠距離通信應用的需要。因此，我們需要采用接近香農限的編碼方式LDPC。

1 LDPC 簡介

LDPC 碼全稱低密度奇偶校驗碼，是一種線性分組碼，其通常由奇偶校驗矩陣定義，該奇偶校驗矩陣是一個稀疏矩陣，所以叫低密度奇偶校驗碼。碼長較長的LDPC 碼可以在極低的信噪比條件下實現無差錯傳輸，具有逼近香農限的性能，如圖1所示：

圖1 LDPC碼性能

LDPC 碼主要優點：一是碼長比較長的LDPC 碼可以在極低的信噪比條件下實現無差錯傳輸，具有逼近香農限的性能；二是LDPC 碼通常用BP 算法譯碼，該譯碼算法復雜度和奇偶校驗矩陣中非零元素成正比，奇偶校驗矩陣中非零元素和碼長成正比，從而對長碼長LDPC 碼可以實現線性時間復雜度譯碼，從而逼近香農限不僅存在，而且是可實現的；三是BP 譯碼算法具有內在并行性，可以用高度并行的結構實現，可以達到極高的譯碼吞吐量，吞吐量達到上Gb/s 的譯碼器已經出現。

LDPC 碼的缺點：一是LDPC 碼屬于分組碼，具有分組碼的普遍缺點：改變碼率和碼長比較困難；二是為了實現線性時間復雜度編碼，LDPC 碼編碼通常是用奇偶校驗矩陣來完成的，這要求其奇偶校驗矩陣具有特殊的結構，這個在設計LDPC 碼的時候必須專門考慮；三是LDPC 碼的譯碼算法具有較高復雜度，實現成本高；四是性能比較好的LDPC 碼碼長比較長，譯碼延遲大，比較適合寬帶通信；五是LDPC 碼在短碼長時性能比較差。

LDPC 碼可以分成正則（reg ular）和非正則（ir regular）兩種：正則LDPC 碼奇偶校驗矩陣的每行的行重量都是相同的，每列的列重量也是相同的；而非正則LDPC 碼的行列重量可以不相同，是符合一定的分布。對于相同碼長和碼率的LDPC 碼，非正則LDPC 碼性能要比正則LDPC 碼好。正則LDPC 碼性能取決于奇偶校驗矩陣的girth，girth 越高性能越好；非正則LDPC 碼的性能主要取決于奇偶校驗矩陣列重量的次數分布，girth 也有一定的影響。

通常，通信系統中使用較多的是二元域LDPC。二元域LDPC 的奇偶校驗矩陣H 是一個只有0元素和1元素的矩陣，其大小為，n 表示碼長，m 表示校驗位長度，信息比特長度k=n-m。下面敘述中的LDPC 都是指二元域LDPC。

如果定義LDPC 的H 矩陣中的1 元素的位置是隨機，則該LDPC 碼被稱為隨機的；如果定義LDPC 的H 矩陣中的1元素的位置是有一定結構的，則該LDPC 被稱為結構化的。

2 結構化LDPC 簡介

通常，結構化LDPC 碼可以通過一個大小為（mb×z）×（nb×z）的矩陣H 來定義。它由大小為z×z 循環移位矩陣塊或大小z×z 為0的矩陣組成，形式如下：

所以，H 矩陣的大小是M×N，其中N=nb×z，M=mb×z，z 是一個正整數。基礎矩陣Hb 的大小為mb×nb，形式如下：

這種結構化LDPC 有幾個概念：H 是Hb的擴展矩陣（expand matrix），Hb是H 的基礎矩陣（base matrix），z 是擴展因子（expand factor）。

擴展基礎矩陣的時候將Hb中的非負元素替換為z×z 大小的置換矩陣，并將其中的-1元素置換為z×z 大小為的零矩陣。

置換矩陣使用的是循環右移置換，所以在基礎矩陣中元素0表示z×z 單位陣，元素1表示z×z 單位陣循環右移一列對應的矩陣，-1元素表示z×z 零矩陣。

這樣的結構化LDPC，信息長度K 等于N-M，這里N 是碼塊比特長度，M 是校驗比特長度。通過改變擴展因子z 的大小，一個基礎矩陣可以支持不同的碼長。

基礎矩陣的修正準則定義如下：

式中，zmax是最大的擴展因子（the largest expand factor），這里等于512；z 是對應當前碼長的擴展因子；[]表示向下取整。

3 算法描述

本項目中的LDPC 碼是一種具有準循環結構的LDPC 碼，這類碼字具有編碼結構簡單的特點。QC－LDPC 碼的校驗陣可以通過一個模版矩陣擴展得到，模版矩陣Hb可以分成兩部分Hb1和Hb2，其中Hb1對應系統位部分，Hb2對應校驗位部分，這樣：

Hb2可以分成兩部分Hb和H'b2，其中矢量Hb的列重量是奇數，H'b2具有雙對角結構：

LDPC 碼是系統碼，整個碼字可以分成信息部分S 和校驗部分P。編碼的過程就是從一個碼字的信息位算出校驗位的過程。為了方便描述，信息部分S 被分成kb=nb-mb個z 比特組：

u=[u（0）u（1）…u（kb-1）]T

其中每個元素u 表示如下列向量：

使用基礎矩陣Hb，校驗位P 被分成mb個z 比特組：

其中每個元素v 表示如下列向量：

編碼過程分成兩步：

（1）初始化：計算v（0）；

（2）遞歸：從v（i）計算v（i+1），0≤i≤mb-2。

v（0）可以通過對Hb的行求和得到：

這里1≤x≤mb-2，表示Hb中的惟一一個非負和非成對元素的行索引，其中Pi表示循環右移i 位的z×z 的單位陣。通過上面方程可以解出v（0）。

考慮到H'b2的結構，可以得到以下遞歸：

這里P-1=0zxz

（1）計算v（0）

在計算v（0）的過程中，將前mb-1個中間值存儲，i=0，1，...mb-2。（mb=4，kb=28），那么v（0）可以表示如下：

（2）計算v（1）

由于P（0，28）=0，上式可化簡為：

v（1）=m（0）+v（0）

（3）計算v（i+1）

模版矩陣Hb可以分成兩部分Hb1和Hb2，其中Hb1對應系統位部分，Hb2對應校驗位部分矩陣劃分：

3.1 概率域BP 算法

LDPC 碼的標準譯碼算法是BP 算法（Bel ief Propagation 算法，也叫Message Passing 算法）。下面將詳細介紹該算法，該算法是基于定義LDPC 碼奇偶校驗矩陣H（m×n），n 為LDPC 碼的碼長，m 為校驗位長度。下面介紹一下后面用到的符號：

N（m）={n：Hmn=1}表示參加第m 個校驗方程的所有比特的下標的集合；M（n）={m：Hmn=1}表示第n 個比特參加的所有校驗方程的集合；N（m） 表示參加第m 個校驗方程的除去第n 個比特所有比特的下標的集合；M（n）m 表示第n 個比特參加的除去第m 個校驗方程所有校驗方程的集合；yn為信道軟信息；qbn為譯碼輸出軟信息，即P（xn=b）；為譯碼輸出硬判決；qbmn表示從第n 個變量節點到第m 個校驗節點關于xn=b 的概率信息，即在除了第m 個校驗方程外，比特節點n 參加的其他校驗方程和信道軟信息yn給出的xn=b 的概率；rbmn表示從第m 個校驗節點到第n 個變量節點的信息，即在第m 個校驗方程的除去第n 個比特以外其他比特的概率用{qmn'}n'≠n 給出和xn=b 的情況下第m 個校驗方程通過的概率。

BP（Believe Propagation）置信傳播算法是目前應用最多的也是性能比較好的一種算法，它的一般譯碼過程如下[1]：

概率域BP 算法步驟：

（1）初始化

按照下面公式初始化q0mnand q1mn：

（2）校驗節點更新

按照下面公式更新r0mn和r1mn：

其中，

（3）變量節點更新

按照下面公式更新q0mn和q1mn：

（5）迭代中止判斷

按照下面公式對譯碼輸出數據進行硬判決：

3.2 對數域BP 算法

概率域BP 算法涉及到大量乘法運算，運算量大，并且動態范圍大數值穩定性不好，在實際應用中通常使用對數域BP 算法。

對數域BP 算法將使用下面對數似然比[2]：

3.3 最小和算法

Min-Sum 算法和標準對數域BP 算法的差別在兩點：

第一，直接用信道軟信息yn對碼字比特的對數似然比進行初始化，不需要信道噪聲方差信息σ2，也就是不需要估計碼字所對應的信道信噪比。

其中

在AWGN 條件下，Min-Sum 算法比標準對數域BP 算法有大概0.3dB 左右的性能損失，并且在低信噪比條件下迭代次數也要多一些。性能損失和LDPC 碼的行重量有關，行重量越大近似運輸誤差越大，性能損失也越大。

3.4 修正最小和算法

其中常數A 和LDPC 碼的校驗矩陣H 的行重量有關系，可能取值為0.6～0.9，確切的數值要通過仿真來確定。

在AWGN 條件下，修正最小和算法性能要比標準BP 算法性能大概差0.1dB，如圖2所示：

3.5 分層BP 算法

分層譯碼算法和標準BP 算法的區別在于在迭代中當更新完H 矩陣中每一行非零元素對應的LLR（rmn）后馬上更新該行每個非零元素對應列所有非零元素對應的LLR（qmn），然后再對H 矩陣中的下一行進行譯碼。該算法和標準BP 算法比可以加快譯碼收斂，節約迭代次數以提高吞吐量，最好情況下可以節約一半的迭代次數。

分層對數域BP 算法步驟：

（1）初始化

圖2 修正最小和算法性能與標準BP算法性能比較

按照下面公式初始化LLR（qmn）：

（2）校驗節點和變量節點更新按照下面公式更新LLR（rmn）：

其中：

（3）LLR（qn）更新

按照下面公式更新LLR（qn）：

（4）迭代中止判斷

按照下面公式對譯碼輸出數據進行硬判決：

圖3 分層BP譯碼算法和普通BP譯碼算法的性能比較

4 LDPC 譯碼實現框架

LDPC 譯碼采用簡化的分層譯碼算法，這使得LLR（qmn）不直接存儲，降低對硬件資源的需求，整個譯碼流程如圖4所示。

（1）初始化。初始信息LLR（qn）直接用信道軟信息yn 對碼字的比特軟信息進行初始化，LLR（qn）=yn，并且按照擴展因子512 個LLR（qn）值為一組，存入LLR RAM 中。同時R Storage Memory 也進行初始化，校驗信息即外信息LLR（rmn）=0。

（2）更新變量節點和外信息。R Storage Memory 將未更新的外信息LLR（rmn）信息讀出，與交織后的比特軟信息qn進行LLR（qmn）=LLR（qn）-LLR（rmn）運算，變量節點信息LLR（qmn）輸入到CNU 模塊計算出外信息，對應的計算公式為LLR將此外信息一路存回至R Storage Memory 中，覆蓋對應的舊的LLR（rmn）。一路送入至對應的加法器計算出新的比特軟信息，LLR（qn）=LLR（qmn）+LLR（rmn），新的比特軟信息經過反交織模塊處理后存入LLR RAM 中，更新qn。

（3）迭代終止判斷。當完成一次迭代后，我們根據=0來判斷譯碼是否結束，滿足或達到最大迭代次數結束整個譯碼過程，否則跳到（2） 繼續迭代。

6 結束語

通過仿真，考慮實現的難度我們采用分層BP 算法，結果表明所實現的文中LDPC 編譯碼算法的性能相比于其他編碼方式在信噪比上有了很大的提高，有效地提高了系統的有效通信距離。