四驅電動汽車驅動力分配階梯式模型預測控制

(浙江工業大學 信息工程學院，浙江 杭州 310023)

隨著燃油汽車使用成本的提高和尾氣排放造成的環境污染問題愈發嚴重，綠色環保節能的電動汽車受到了廣泛關注[1-2]，其中，輪轂電機四輪驅動電動汽車是未來新能源汽車的重要發展方向。在四輪驅動電動汽車中，電機直接驅動車輪實現四個輪子的獨立控制，這將大大提高車輛的駕駛性能和經濟性能[3-4]。由于四輪驅動電動汽車的每個車輪有獨立的驅動源，面臨的一個關鍵問題是如何在保持車輛直線行駛的同時實現四輪之間驅動力的協調分配，使車輛能夠安全穩定行駛[4-5]。目前，相關學者針對這一問題開展了研究并已取得了一些有效的成果。例如，Johansent等[5]對驅動力分配控制問題及其研究現狀進行了詳細的分析和總結；Xu等[6-7]基于前后輪的輪胎負荷比，將前輪與后輪按固定比例分配驅動力控制；Mokhiamar等[8]研究車輛穩定性，通過加權系數自適應的方法實現四輪驅動電動汽車驅動力的協調分配。上述幾種方法可保證車輛的行駛穩定性，但沒有考慮車輛駕駛的經濟性。Jeongmin等[9-12]采用先進控制技術處理驅動力分配問題，基于不同的控制方法提出了多種有效的控制策略，如基于滑模控制的驅動力分配、基于模糊邏輯控制的驅動力分配和基于魯棒控制的驅動力分配等。為處理四輪驅動力分配中的約束控制問題，Zhao等[13]提出了基于模型預測控制的四輪驅動電動汽車的前輪轉向角和牽引力分配的分層控制方法；而Lin等[14]基于模糊策略提出了驅動防滑與橫擺穩定集成控制設計；續丹等[15]提出以經濟性為目標的轉矩分配策略，在滿足穩定行駛的前提下，盡可能降低車輛燃油消耗；Siampis等[16]通過上層利用滑模控制計算橫擺力矩，下層利用數學規劃的罰函數組成的偏航力矩控制偏移，將驅動系統的能量損失和滑移率作為約束，用于車輪轉矩控制分配。現有大多數控制方法采用分層控制方法求解驅動力分配問題，筆者考慮直接求解驅動力分配問題。

在現有電動汽車四輪驅動力分配控制中，模型預測控制由于具有顯式處理被控系統約束和性能優化的優勢[17-18]，已成為求解當前電動汽車四輪驅動力分配問題的一種主流控制方法，但現有電動汽車四輪驅動力分配模型預測控制方法沒有充分考慮預測控制量在線非線性優化的復雜計算量問題，壓縮優化問題的決策變量維數是降低非線性預測控制在線計算量的有效方法之一[19]，筆者采用參數化方法設計四輪驅動電動汽車驅動力分配階梯式模型預測控制算法，將非線性預測控制優化問題的決策變量維數降低到控制變量的個數，而與預測(控制)時域無關[20]，從而可以延長預測時域，提高系統控制性能。在算法中，考慮車輛傳動機構約束，以車輛直線行駛和零橫擺角速度為目標設計四輪驅動力分配控制器，并將預測時域內的控制增量參數化成以階梯形式變化，進而大大降低驅動力分配預測控制量的計算量[19]。通過與非參數化驅動力分配預測控制算法進行仿真比較，驗證筆者算法的有效性和快速性。

1 驅動力分配模型與問題描述

考慮四輪輪轂電機驅動電動汽車整車模型(圖1)，其中，車身主要由輪轂電機、輪胎和整車控制器組成。通常，方向盤輸入轉向角，通過整車控制器發送控制命令，由四個輪轂電機直接驅動四個輪子轉動，此時如果沒有處理好行駛約束，則當車輪左右兩側受力不均勻時，車輛很容易出現跑偏現象。筆者考慮四輪獨立驅動電動汽車行駛時的直線保持控制問題，通過對傳動機構動力學模型和約束實現車輪驅動力分配，保證車輛直線行駛。

圖1 整車模型Fig.1 Full-vehicle model

假設車輛在單行道行駛時各車輪靜止剛度相等，在車輛坐標系下建立整車七自由度動力學模型[21]，即縱向、側向、橫擺三個運動自由度和四個車輪的旋轉自由度，整車模型的受力分析如圖1所示。由受力分析和牛頓第二定理可得車輛縱向動力學方程為

(1)

式中：M為車重；Fw是空氣阻力；CD為空氣阻力系數；Av為迎面面積；vx為縱向速度；ax為縱向加速度，滿足ax=dvx-vyγ，其中dvx為縱向速度偏導，vy為橫向速度，γ為橫擺角速度；Ff是車體滾動阻力；δ是方向盤輸入角；Fxi(i=1,2,3,4)分別是右前輪、左前輪、左后輪、右后輪的縱向力；Fyi(i=1,2,3,4)分別是右前輪、左前輪、左后輪、右后輪的側向力。同理，車輛橫向動力學方程為

May=(Fy1+Fy2)cosδ+Fy3+
Fy4+(Fx1+Fx2)sinδ

(2)

式中ay是車輛橫向加速度，滿足ay=dvy+vxγ。進一步，得車輛橫擺動力學方程為

(3)

式中：Iz為橫擺轉動慣量；La和Lb分別為車輛重心到前后軸距離；d是車輪間距。

由于車輛輪胎側向力與回正力矩、車輪載荷等存在非線性關系[3]，各車輪的側向力很難作為直接控制量進行控制，因此筆者將車輛的輪胎側向力Fyi(i=1,2,3,4)用輪胎模型計算。為了簡化公式，選用輪胎線性模型，即

Fyi=Ciαi

(4)

式中：αi(i=1,2,3,4)分別是右前輪、左前輪、左后輪、右后輪的車輪轉向角；Ci(i=1,2,3,4)分別是右前輪、左前輪、左后輪、右后輪的側偏剛度。根據受力分析，前輪和后輪的輪胎側滑角αi可通過公式計算，即

(5)

式中定義質心側偏角β=arctan(vy/vx)≈vy/vx。

由于汽車自身物理結構的限制，車輛自身運動狀態和車輪驅動力都具有約束條件。令汽車輪轂電機的最大轉矩為Te max，車輪的有效半徑為r。由于Fxr=Te，汽車各車輪的縱向力滿足

(6)

進一步考慮汽車駕駛安全性和穩定性，要求車輛運動參量滿足

-vmax≤vx≤vmax
-βmax≤β≤βmax
-γmax≤γ≤γmax

(7)

式中：vmax為最大容許縱向速度；γmax是最大偏航角速度；βmax為最大質心側偏角。

筆者考慮四輪驅動電動汽車直線行駛保持問題，基于模型預測控制設計四輪驅動力分配控制器，考慮約束條件式(6，7)，盡可能減少各車輪驅動力之間的差值以降低車輛行駛能耗和減小車輛的側向位移，保證車輛行駛穩定性。

2 驅動力分配預測控制

考慮四輪獨立驅動電動汽車直線行駛保持問題。由于車輛直線行駛，方向盤輸入角δ很小，所以令cosδ≈1和sinδ≈0。考慮整車七自由度動力學模型式(1～5)，定義狀態變量為x1=vx，x2=β和x3=γ。控制輸入變量為u1=δ，u2=Fx1，u3=Fx2，u4=Fx3和u5=Fx4，代入動力學模型式(1～5)，經整理，四輪驅動電動汽車驅動力分配狀態空間模型可描述為

(8)

注意，為了方便控制，筆者將上式中各狀態變量和控制變量作歸一化處理，即各變量的取值范圍縮小在0～1之間。式(8)中：系數Cr為前輪的側偏剛度，即C1,2；Cf為后輪的側偏剛度，即C3,4；Fmax為最大驅動力。為書寫方便，將式(8)簡化為

(9)

式中：x=[x1x2x3]T；u=[u1u2u3u4u5]T；

f(x)=

由于模型預測控制算法是一種基于在線優化的計算機控制算法，所以令Ts為采樣周期，對四輪輪轂電機驅動力分配狀態空間模型作離散化，得離散時間狀態空間模型為

(10)

考慮車輛行駛時的目標車速vd，目標橫擺角速度γd和目標質心側偏角βd，并令xd=[vdγdβd]T，定義當前采樣時刻k的有限步長跟蹤性能指標，即

(11)

式中：整數p>0為優化時域；正定矩陣Q為加權因子，用來調節控制器的跟蹤性能。進一步，考慮相鄰時刻控制輸入變化盡可能小，定義驅動力增量性能指標為

(12)

式中：Δu(k+i)=u(k+i)-u(k+i-1)；正定矩陣S為加權因子，可以調節四個輪子驅動力之間的差距。

為保證車輛直線行駛的穩定性，在行駛過程中需要盡可能減小車輛的側向位移，因此定義直線行駛性能指標為

(13)

式中正定矩陣R為加權因子，可以調整側向位移。

同時為保證模型預測控制的穩定性，定義充分大的終端罰函數為

通過選取的樣本，使用以北海、南寧、欽州、防城港四市的6種商品(糧食、油脂類、肉類、煙酒類、服裝鞋帽類、醫療用品類以及日用品類)在2008年—2011年期間的價格數據并對其進行相應的差分處理，南寧、欽州以及防城港三市數據求平均，從而得到相對價格指標最后經過計算到如下表：

J4(k)=(x(k+p)-xd)T
W(x(k+p)-xd)

(14)

式中正定矩陣W為充分大的加權因子，以保證優化時域終端狀態趨近于目標點xd。因此，電動汽車四輪驅動力分配的總控制目標應該包括上述四個性能指標，即

J(k)=J1(k)+J2(k)+J3(k)+J4(k)

(15)

同時各個性能指標的相對重要性可以通過加權矩陣Q，S，R和W調整設定。

在模型預測控制算法中，每個采樣時刻求解一個開環有限時域優化問題，其中，決策變量的維數等于優化時域和控制變量個數的乘積。在驅動力分配預測控制中，決策變量的維數為5p。顯然，為提高預測控制的效果，當優化時域較大時，驅動力分配預測控制的計算量大大增加，不滿足車輛行駛系統的快速性要求。通常，模型預測控制在每個采樣時刻僅將最優控制序列的第一個元素應用到汽車驅動力分配控制中，其他剩余的元素將被丟棄[13]，這對于直線行駛車輛驅動力分配控制來說，有利于克服不斷變化的車輛狀態和其他未知的干擾。但由于驅動力分配模型是一個復雜非線性系統，對應的預測控制優化問題為非凸的非線性規劃問題，在每個采樣周期內求解非線性規劃問題需要非常大的計算量[20]，計算時間難以確定，從而不能保證直線行駛車輛驅動力分配控制品質。由此引入階梯式控制策略，通過預先規劃未來控制輸入變化趨勢，參數化優化時域內的預測控制輸入量，降低優化問題的計算量。

考慮當前采樣時刻k，對優化時域p步內的控制輸入增量作階梯式參數化[22]，即

Δu(k+i|k)=αiΔu(k|k)
i=1,2,…,p-1

(16)

式中：Δu(k+i|k)表示在k時刻對未來第i步的預測控制輸入增量；α為梯度因子，通常0<α<1；Δu(k|k)表示當前采樣時刻控制增量。由此可得優化時域內的預測控制量為

u(k+i+1|k)=u(k+i|k)+αΔu(k+
i|k)=u(k+i|k)+αiΔu(k|k)

(17)

對預測控制輸入階梯式參數化后，控制器預先規劃了當前采樣時刻的未來控制輸入趨勢，則未來控制增量僅依賴于當前時刻的控制增量，從而驅動力分配預測控制優化問題的決策變量僅由控制輸入個數決定，需要優化計算的決策變量維數從5p降低為5，大大降低了預測控制的在線計算量。

考慮當前采樣時刻k的測量狀態x(k)，將式(16)代入性能指標J2(k)得

(18)

定義汽車四輪驅動力分配有限時域最優控制問題，即

x(k|k)=x(k),?i=0,1,…,p-1

(19)

應用SQP、粒子群等數值優化算法求解得最優解Δu*(k|k)，則定義當前采樣時刻k的汽車四輪驅動力分配預測控制量，即

umpc(k)=umpc(k-1)+
Δu*(k|k)k≥1

(20)

式中控制量初始時刻值通常可取為穩態控制量。

下面給出電動汽車四輪驅動力分配預測控制器設計步驟。

Step1設置驅動力分配控制器參數Ts，p，α，Q，S，R和W；設置控制量初始時刻值u(0)。

Step2在采樣時刻k，測量汽車四輪驅動力分配運行狀態x(k)，在線求解最優控制問題式(19)，得最優解Δu*(k|k)。

Step3應用式(20)計算汽車四輪驅動力分配預測控制量，作用于汽車四輪驅動力分配過程。

Step4令k=k+1，返回第2步。

3 仿真與分析

為了驗證筆者提出的電動汽車四輪驅動力分配階梯式模型預測控制算法的控制效果和計算優勢，在MatLab 2013a平臺上進行仿真驗證，并將筆者算法與驅動力分配非參數化傳統模型預測控制算法進行比較，分析兩種控制方法對應的控制效果和計算時間。

在仿真實驗中，設置仿真時間為Tsim=60 s，采樣周期Ts=0.1 s，優化時域p=5，同時取加權矩陣Q=500I3，R=50，S=I5和W=106I3，梯度因子α=0.5。仿真中車輛相關參數如表1所示[13]。進一步，設車輛初始速度6 m/s，質心側偏角和偏航角速度都為0，車輛保持直線行駛，即初始狀態x(0)=[0.2 0 0]T。考慮歸一化后的速度約束-1≤vx≤1，質心側偏角約束-1≤β≤1和偏航角速度約束-1≤γ≤1。設質心側偏角和理想偏航角速度目標值βd=γd=0，期望車速變化曲線為車輛先加速0.6后再減速到0.2，即車輛先加速到18 m/s，之后再減速到6 m/s。兩種方法仿真對比結果如圖2～6所示，其中，虛線對應的是電動汽車四輪驅動力分配過程在階梯式模型預測控制作用下的分配效果，實線對應的是非參數化傳統模型預測控制作用下的分配效果。由圖2～4可知：在兩種模型預測控制作用下，汽車都能夠按照預期驅動力分配目標實現加速和減速，同時車輛的質心側偏角和偏航角速度波動范圍很小，保證車輛在加速和減速過程能夠穩定地直線行駛。盡管兩種模型預測控制作用下的車輛狀態變化相似，但分析圖3，4可知：階梯式模型預測控制驅動力分配所得的狀態波動更小，控制效果更平穩，有利于增加車輛的駕駛舒適度。

表1 車輛參數Table 1 The parameters of vehicle

圖2 車速對比圖Fig.2 Comparison of velocity

圖3 質心側偏角對比圖Fig.3 Comparison of side-slip angle β

圖4 偏航角速度對比圖Fig.4 Comparison of the yaw rate

圖5 前輪轉向角對比圖Fig.5 Comparison of front wheel steering angle

圖6 四輪驅動力對比圖Fig.6 Comparison of driving force of four wheel

圖5，6為汽車驅動力分配系統的控制輸入曲線：圖5為方向盤輸入角變化曲線，可以看出非參數化傳統模型預測控制算法的控制量有明顯的波動，汽車直線行駛穩定時存在偏差；圖6為四輪的驅動力變化對比圖，顯然，階梯式模型預測控制器的驅動力變化更平緩，從而更有利于汽車的平穩行駛。

最后，對比兩種模型預測控制作用下汽車四輪驅動力分配控制的單步優化平均計算時間，統計結果如表2所示，其中程序運行計算機平臺為便攜式計算機及處理器Inter? Core(TM) i5-2450M CPU 2.50 GHz，安裝內存為4 GB，操作系統為Windows 7。從表2中可以看出：階梯式模型預測控制的平均計算時間比非參數傳統模型預測控制方法降低了約60%，從而大大降低了電動汽車四輪驅動力分配模型預測控制的計算時間，并且平均計算時間遠小于采樣時間，滿足汽車驅動力分配快速實時控制要求。

表2 兩種方法單步優化平均計算時間Table 2 The average computation time of two methods for single step optimization 單位：ms

4 結 論

考慮四輪輪轂電機驅動的電動汽車每個車輪獨立可控特點，設計了一種驅動力分配階梯式模型預測控制方法，實現了四輪驅動汽車的直線行駛穩定控制。該算法充分考慮了汽車四輪驅動力分配過程中各種性能指標和約束條件，預先規劃未來時刻的驅動力控制輸入，降低了模型預測控制決策變量的維數，表2驗證了該策略可以有效減少MPC在線優化計算量，在滿足汽車驅動力分配快速控制要求的同時提高算法的快速性，與非參數化傳統模型預測控制算法比較結果表明筆者算法的有效性和優點。另外，筆者的研究結果是基于理論的研究，可為接下來進行實車研究提供理論基礎。