基于ARIMA模型的短時(shí)交通流預(yù)測(cè)研究

劉學(xué)剛，張騰飛，韓 印 LIU Xuegang,ZHANG Tengfei,HAN Yin

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

0 引言

隨著城市化進(jìn)程不斷推進(jìn)、智能交通系統(tǒng)的迅猛發(fā)展，汽車保有量日益增加，道路交通擁擠已經(jīng)成為制約城市發(fā)展的重要因素，僅僅依靠增加道路面積，不能有效解決交通堵塞問(wèn)題，所以越來(lái)越多的學(xué)者開始研究智能交通系統(tǒng)用以提高道路通行能力，緩解城市的交通壓力。同時(shí)，短時(shí)交通流預(yù)測(cè)是實(shí)現(xiàn)智能交通系統(tǒng)中交通誘導(dǎo)與控制的首要問(wèn)題之一，該預(yù)測(cè)能夠?qū)崿F(xiàn)城市道路路網(wǎng)最大化合理利用，極大程度降低交通事故的發(fā)生概率，提高社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益，因此，可靠的短時(shí)交通流預(yù)測(cè)很有必要。同時(shí)克服短時(shí)交通流預(yù)測(cè)隨機(jī)性、周期性與不確定性是當(dāng)下的難點(diǎn)與重點(diǎn)。自20世紀(jì)70年代以來(lái)，交通學(xué)者就開始將其他領(lǐng)域應(yīng)用較為成熟的預(yù)測(cè)模型直接使用在短時(shí)交通流預(yù)測(cè)領(lǐng)域，如自回歸模型（MA）、自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA）等。這些模型未能有限反映出交通流的不確定性，無(wú)法克服其他外在干擾因素對(duì)交通流量的影響。由于時(shí)間跨度的縮短，使得預(yù)測(cè)的交通流受非線性干擾因素的影響較大，造成預(yù)測(cè)結(jié)果與預(yù)測(cè)精度不甚理想。隨著研究的深入，為了適應(yīng)交通流不確定性與非線性的特點(diǎn)，一種基于ARIMA模型（差分自回歸移動(dòng)平均模型）的短時(shí)交通流預(yù)測(cè)使用廣泛。

國(guó)內(nèi)外基于ARIMA模型的研究眾多。1993年Kim與Hobeika將ARIMA模型應(yīng)用到高速公路交通流量預(yù)測(cè)中[1-2]；姚亞夫、曹鋒[3]采用ARIMA方法進(jìn)行交通流量趨勢(shì)預(yù)測(cè)，并按照AIC準(zhǔn)則進(jìn)行模型定階，最終通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明，ARIMA模型能夠獲得較好的中短期預(yù)測(cè)精度。2008年張利、施化吉等基于ARIMA模型結(jié)構(gòu)的時(shí)間序列分析方法，用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，同時(shí)對(duì)多個(gè)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行誤差分析，結(jié)果表明：該算法在應(yīng)用于時(shí)變性強(qiáng)的短時(shí)交通流量預(yù)測(cè)時(shí)，相對(duì)于Astom算法具有更好地預(yù)測(cè)性能[4]。2017年張艷艷、劉曉佳[5]等根據(jù)已有事故資料，對(duì)事故過(guò)去發(fā)展變化的規(guī)律進(jìn)行分析，參照現(xiàn)有水上交通條件，采用時(shí)間序列分析法中的ARIMA模型進(jìn)行分析預(yù)測(cè)，對(duì)水上交通事故未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)的科學(xué)推測(cè)。2019年謝紅利、趙樹鵬、王浩宇[6]通過(guò)ARIMA模型對(duì)重慶市軌道交通進(jìn)站客流量進(jìn)行預(yù)測(cè)，同時(shí)得出其所建立的預(yù)測(cè)方法可以適用于城市軌道交通的客流預(yù)測(cè)。孫旻根據(jù)崇遵高速公路車流量的時(shí)間序列，進(jìn)行了ARIMA建模的實(shí)證分析，實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)崇遵高速公路的出口流量序列為非平穩(wěn)序列，具有一定的趨勢(shì)和周期性，故利用ARIMA模型對(duì)該非平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)效果較為合理[7]。

縱觀以往的研究可以看出，盡管ARIMA模型具有波動(dòng)性及不確定性，但其對(duì)于預(yù)測(cè)短時(shí)交通流仍然具有重要意義。本文首先考慮道路交通流時(shí)間序列的非平穩(wěn)性特征，通過(guò)差分使數(shù)據(jù)變得平穩(wěn)，并構(gòu)建ARIMA（ 6,1,）6模型，對(duì)上海市楊浦區(qū)大連路的短時(shí)交通流進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果表明ARIMA模型可以很好地?cái)M合短時(shí)交通量數(shù)據(jù)，ARIMA模型在短時(shí)交通量預(yù)測(cè)中有很大應(yīng)用價(jià)值。

1ARIMA理論基礎(chǔ)

ARIMA（差分自回歸移動(dòng)平均模型）是一種時(shí)間序列數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的統(tǒng)計(jì)方法，其描述的是某一時(shí)間序列變量自身的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，根據(jù)歷史時(shí)間序列的相關(guān)關(guān)系，揭示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)特性及其發(fā)展規(guī)律。

1.1ARIMA模型

ARIMA（差分自回歸移動(dòng)平均模型）可以分為以下幾類：AR（自回歸模型）、MA（移動(dòng)平均模型）、ARMA（自回歸移動(dòng)平均模型）、ARIMA（差分自回歸移動(dòng)平均模型）。預(yù)測(cè)思路是將預(yù)測(cè)主體隨時(shí)間變化形成的序列看作是一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列，通過(guò)若干次差分化使非平穩(wěn)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列，用一定的數(shù)學(xué)模型近似描述這個(gè)隨機(jī)序列[8]。這個(gè)模型一旦被識(shí)別，就可以用時(shí)間序列的現(xiàn)在或過(guò)去的數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)數(shù)據(jù)值。ARIMA模型在預(yù)測(cè)過(guò)程中僅考慮了時(shí)間序列的歷史數(shù)據(jù)，通過(guò)發(fā)掘自身規(guī)律建立模型，提取有效信息對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，在數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)方面有很大的應(yīng)用價(jià)值。

ARIMA（p,q,）d模型表達(dá)式為：

其中：yt是時(shí)間序列數(shù)據(jù)；p是自回歸項(xiàng)的系數(shù)；d是差分的階數(shù)；q是移動(dòng)平均項(xiàng)的系數(shù)；ε是均值為0、方差為σ2的白噪聲序列；B是滯后算子，定義為Bkyt=yt-k,?1……?p和θ1……θq是系數(shù)。

如果數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，那么d=0，方程（1）就可以簡(jiǎn)化為ARMA模型，表達(dá)式如下：

其中：yt是時(shí)間序列數(shù)據(jù)；C0是常數(shù)；p是自回歸項(xiàng)的系數(shù)；q是移動(dòng)平均項(xiàng)的系數(shù)，?1……?p和θ1……θq；ε是均值為0、方差為σ2的白噪聲序列。

1.2 ARIMA建模步驟

（1）獲取時(shí)間序列數(shù)據(jù)，根據(jù)其函數(shù)圖像以ADF單位根檢驗(yàn)其方差，對(duì)序列的平穩(wěn)性進(jìn)行識(shí)別。對(duì)非平穩(wěn)序列進(jìn)行平穩(wěn)化處理。直到處理后的數(shù)據(jù)的偏相關(guān)函數(shù)值以及自相關(guān)函數(shù)值無(wú)顯著差別地趨于零后終止此項(xiàng)操作。

（2）根據(jù)時(shí)間序列識(shí)別規(guī)則，建立相應(yīng)模型。若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)函數(shù)及自相關(guān)函數(shù)均是拖尾，則可使用ARIMA模型；然后對(duì)參數(shù)進(jìn)行定階與估計(jì)，判斷其是否具有統(tǒng)計(jì)的意義。

（3）對(duì)建立的ARIMA模型參數(shù)和殘差序列進(jìn)行檢驗(yàn)，同時(shí)判斷殘差序列是否為白噪聲，即檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿M合是否合理。（4）通過(guò)Eviews軟件對(duì)交通量數(shù)據(jù)建立ARIMA模型并對(duì)交通量進(jìn)行靜態(tài)預(yù)測(cè)，并對(duì)模型結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)分析。

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)分析及預(yù)處理

本數(shù)據(jù)選取上海市大連路2015年11月9日至12日的短時(shí)交通量數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)為電磁感應(yīng)線圈獲得，統(tǒng)計(jì)時(shí)間間隔為3分鐘，共采取1 920個(gè)數(shù)據(jù)，見(jiàn)圖1。為此將1 900個(gè)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，留下20個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)對(duì)比分析。

從圖1看出短時(shí)交通量數(shù)據(jù)Q的波動(dòng)性較大，存在一定的規(guī)律性，由此大致判斷該時(shí)間序列數(shù)據(jù)為非平穩(wěn)數(shù)據(jù)，為此進(jìn)行單位根ADF檢驗(yàn)結(jié)果為非平穩(wěn)時(shí)間序列。對(duì)于非平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)則需要進(jìn)行差分，一階差分后得到DQ，對(duì)差分后的數(shù)據(jù)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)構(gòu)顯示t統(tǒng)計(jì)量小于1%置信水平下的值，即拒絕原假設(shè)存在單位根，所以一階差分后的序列是平穩(wěn)時(shí)間序列。檢驗(yàn)結(jié)果如表1。

2.2 模型的識(shí)別與定階

因?yàn)橐浑A差分后的短時(shí)交通量數(shù)據(jù)為平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)，即可以進(jìn)行ARIMA（p,1,q）模型預(yù)測(cè)。而（p,q）的值則首先通過(guò)序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)確定。

由圖2的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)初步判斷（p,q）的值均不大于5，由此建立不同（p,q）階數(shù)的組合進(jìn)行測(cè)試，根據(jù)AIC以及SC準(zhǔn)則選取最優(yōu)組合模型得ARIMA（ 5,1,4），采用最小二乘法對(duì)模型的系數(shù)進(jìn)行估計(jì)，如表2所示。

圖1 短時(shí)交通量數(shù)據(jù)

表1 一階差分后時(shí)間序列ADF檢驗(yàn)結(jié)果

圖2 一階差分序列的相關(guān)圖

表 2 ARIMA（ 5,1, 4）模型

模型的表達(dá)式為：

將表達(dá)式轉(zhuǎn)換后為：

2.3 模型殘差的檢驗(yàn)

對(duì) ARIMA（ 5,1, ）4模型的殘差進(jìn)行白噪聲Q檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如圖3所示，殘差的白噪聲檢驗(yàn)均通過(guò)顯著性測(cè)試，得殘差序列為白噪聲序列，即時(shí)間序列中的信息被充分提取，模型擬合較好。

圖3 殘差的相關(guān)性檢驗(yàn)

2.4 模型的預(yù)測(cè)及評(píng)價(jià)

通過(guò)Eviews軟件對(duì)交通量數(shù)據(jù)建立ARIMA（ 5,1,）4模型并對(duì)交通量DQ進(jìn)行靜態(tài)預(yù)測(cè)，向前20步預(yù)測(cè)得到序列的預(yù)測(cè)值，

具體預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)圖4，模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)則采用MAPE、RMSE和MAE表示，見(jiàn)表3。

MAE、MAPE、RMSE的表達(dá)式：

其中：xi為交通量的實(shí)際值，x*為交通量的預(yù)測(cè)值，n為預(yù)測(cè)的步數(shù)。

通過(guò)圖4看出短時(shí)交通量的擬合曲線與實(shí)際值基本走勢(shì)一致，而殘差也變現(xiàn)為平穩(wěn)數(shù)據(jù)，表明模型的擬合效果較好，ARIMA模型可以進(jìn)行交通量的預(yù)測(cè)。通過(guò)表3得RMSE為7.02，MAPE為26.55，MAE為5.26表明模型可以擬合短時(shí)交通量數(shù)據(jù)，但MAPE相對(duì)較大，一是因?yàn)楸狙芯渴占臄?shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)時(shí)間間隔為3分鐘，而短時(shí)交通量數(shù)據(jù)本身就具有很大的不確定性以及波動(dòng)性導(dǎo)致，二是因?yàn)锳RIMA模型再進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)只考慮時(shí)間序列本身的歷史數(shù)據(jù)，沒(méi)考慮外在的不確定性因素，導(dǎo)致模型在預(yù)測(cè)時(shí)不能較好地?cái)M合不確定性和波動(dòng)性大的數(shù)據(jù)。

3 結(jié)束語(yǔ)

影響短時(shí)交通量數(shù)據(jù)變化的因素有很多，本文沒(méi)有考慮外因素的影響，僅分析交通量時(shí)間序列本身的歷史數(shù)據(jù)，建立ARIMA（ 5,1, ）4模型進(jìn)行短時(shí)交通量預(yù)測(cè)，采用最小二乘法對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)并采用靜態(tài)預(yù)測(cè)法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行20步預(yù)測(cè)，結(jié)果顯示模型的擬合效果較好，ARIMA模型再進(jìn)行短時(shí)交通量預(yù)測(cè)時(shí)有很高的實(shí)用價(jià)值，本研究也有一些不足之處需要改進(jìn)，一是ARIMA模型本身只考慮自身的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，但由于數(shù)據(jù)不足也導(dǎo)致了模型的預(yù)測(cè)精度不是很高，二是短時(shí)交通量數(shù)據(jù)本身不確定性較大，ARIMA模型不能很好地捕捉之間的規(guī)律。所以下一步的研究就是通過(guò)對(duì)ARIMA模型改進(jìn)使之可以更好地預(yù)測(cè)短時(shí)交通量數(shù)據(jù)。

圖4 交通量的擬合曲線

表3 模型的評(píng)價(jià)