以霍爾效應為背景的試題分類剖析

(浙江省金華第一中學，浙江 金華 321015)

近年來以霍爾效應為背景的物理試題深受命題者青睞，筆者從霍爾效應原理出發，分類剖析高中物理試題中與霍爾效應相關的試題。

1 霍爾效應簡述

圖1

如圖2所示，處在勻強磁場內導體中的載流子(正電荷、負電荷)在導體內部運動時，會受到洛倫茲力的作用而發生偏轉。由于載流子的偏轉而在導體上下表面堆積，形成一個新的靜電場，同時載流子會受到新形成電場的靜電力作用。隨著上、下表面電荷逐漸增加，靜電場不斷增強，當載流子受到的靜電力與洛倫茲力相等時，載流子不再發生偏轉，于是在導體的上、下表面就形成了一個穩定的電勢差，即霍爾電壓。

圖2

2 以霍爾效應為背景試題的常見模型

分析以霍爾效應為背景的高中物理試題，按載流子導電類型不同，可分為兩種常見模型：單種載流子導電模型和正、負載流子同向運動導電模型。

2．1 單種載流子導電

有一段長方體導電材料，左右兩端面的邊長為a和b，內有帶電荷量為q的某種自由運動電荷。如圖3所示，導電材料置于方向垂直于其前表面向里的勻強磁場中，磁感應強度大小為B，當通以從左向右的穩恒電流I時，測得導電材料上、下表面之間的電壓為U。

圖3

分析：當載流子帶正電(q>0)時，載流子往上極板偏轉，上極板帶正電，下極板帶負電；當載流子帶負電(q<0)時，載流子往上極板偏轉，上極板帶負電，下極板帶正電。經分析發現：上、下極板所帶電荷電性與載流子正負有關。

2．2 正、負載流子同向運動導電

在上、下間距為d的金屬極板間加上垂直于紙面向里的勻強磁場B。如圖4所示，讓等離子體(含等量的正、負電荷)以某一速度v垂直進入勻強磁場中。

圖4

分析：等離子體向右運動進入磁場時，正、負離子分別受到相反的洛倫茲力作用而向相反方向偏轉。正離子受到洛倫茲力向上偏轉，上極板帶正電；負離子受到洛倫茲力向下偏轉，下極板帶負電。

變式：正、負載流子反向運動導電

如圖5所示，長方體金屬槽中盛有NaCl的水溶液，在溶液中通入沿x軸正向的電流I，沿y軸正方向加恒定的勻強磁場B。

圖5

分析：溶液中有Na+和Cl-兩種離子，Na+向右運動，受到洛倫茲力作用垂直紙面向a(外側)極板偏轉；Cl-向左運動，受到洛倫茲力垂直紙面向a(外側)極板偏轉。靠近a極板一側Na+和Cl-離子濃度增加，但極板所帶凈電荷量為零，a、b極板間無電勢差。

通過對以上模型和變式的分析發現：正、負離子導電要能產生霍爾電壓，一定是正、負離子同向運動。如果正、負離子反向運動，正、負離子在洛倫茲力的作用下向同一側運動，極板所帶凈電荷量仍為零，無霍爾電壓，但靠近極板側離子濃度將發生變化。

3 以霍爾效應為背景的試題分類剖析

3.1 計算霍爾電壓

圖6

對霍爾效應解釋如下：外部磁場的洛倫茲力使運動的電子聚集在導體板的一側，在導體板的另一側出現多余的正電荷，從而形成橫向電場，橫向電場對電子施加與洛倫茲力方向相反的靜電力，當靜電力與洛倫茲力達到平衡時，導體板上下兩側之間就會形成穩定的電勢差。

設電流I由電子定向流動形成，電子平均定向速度為v，電荷量為e，回答下列問題：

(1) 達到穩定狀態時，導體板上側面A的電勢下側面A的電勢(填高于、低于或等于)。

(2) 電子所受的洛倫茲力的大小為。

(3) 當導體板上、下兩側之間的電勢差為U時，電子所受的靜電力的大小為。

解析：(1) 由于載流子為電子(負電荷)，受洛倫茲力作用向A板聚集，故A板電勢低于A＇板電勢。

(2) 洛倫茲力f=evB。

3.2 計算載流子濃度

例2：如圖7所示，一塊半導體樣品的體積為a×b×c，電流為I，勻強磁場磁感應強度為B。經實驗測量已知a=0.10cm，b=0.35cm，c=1.00cm，q=1.6×10-9C，I=1.0mA，B=0.3T，A和A′兩側的電勢差U=6.25mV。問：(1) 這個半導體是正電荷導電(P型)還是負電荷導電(N型)？(2) 載流子濃度是多少？

圖7

解析：(1) 由于A側的電勢比A′側的電勢高，所以A′側帶負電，而電流方向水平向右，磁場方向豎直向上，利用左手定則易得載流子為負電荷，即為負電荷導電(N型)。

3.3 計算磁感應強度

例3：將導體放在沿x方向的勻強磁場中，并通有沿y方向的電流時，在導體的上下兩側面間會出現電勢差，此現象稱為霍爾效應。利用霍爾效應的原理可以制造磁強計，測量磁場的磁感應強度。磁強計的原理如圖8所示，電路中有一段金屬導體，它的橫截面為邊長等于a的正方形，放在沿x正方向的勻強磁場中，導體中通有沿y方向、電流強度為I的電流。已知金屬導體單位體積中的自由電子數為n，電子電荷量為e，金屬導體導電過程中，自由電子所做的定向移動可認為是勻速運動，測出導體上、下兩側面間的電勢差為U。求：(1) 導體上、下側面那個面電勢較高？(2) 磁場的磁感應強度是多少？

圖8

解析：(1) 應用左手定則知電子所受洛倫茲力沿Z軸負方向，電子向導體下表面偏轉，導體下側面電勢低，上側面電勢高。

3.4 計算載流子速度

例4：一種半導體材料稱為“霍爾材料”，用它制成的元件稱為“霍爾元件”。這種材料有可定向移動的電荷，稱為“載流子”，每個載流子的電荷量大小為元電荷電荷量，即q=1.6×10-19C。霍爾元件在自動檢測、控制領域得到廣泛應用，如錄像機中用來測量磁鼓的轉速、電梯中用來檢測電梯門是否關閉以控制升降電動機的電源通斷等。如圖9所示，在一次實驗中，一塊霍爾材料制成的薄片寬ab=1.0×10-2m、長bc=4.0×10-2m、厚h=1.0×10-3m，水平放置在豎直向上的磁感應強度B=1.5T的勻強磁場中，bc方向通有I=3.0A的電流，沿寬度產生U=1.0×10-5V的橫向電壓。(1) 假定載流子是電子，a、b兩端中哪端電勢較高？(2) 薄板中形成電流I的載流子定向運動的速率多大？

圖9

解析：(1) 由于載流子為電子，電子受洛倫茲力作用而向b端偏轉，所以b端電勢較低，a端電勢較高。

霍爾效應原理應用廣泛，高中物理中的磁流體發電機、電磁流量計、磁強計及霍爾元件等的工作原理都是基于霍爾效應中洛倫茲力和電場力相平衡。