基于模糊聚類的模糊軟集群決策逆判問題

李 雪, 陳 巖

(1.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 遼寧 沈陽(yáng) 110870； 2.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院， 遼寧 沈陽(yáng) 110870)

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)工具如概率論、區(qū)間數(shù)學(xué)可以解決含有不確定性的問題,但Zadhe[1]于1965年提出的模糊集理論迅速成為解決不確定性問題的重要工具,在運(yùn)用模糊集理論解決實(shí)際問題時(shí),由于問題的性質(zhì)更依賴于隸屬函數(shù)的設(shè)定,所以隸屬函數(shù)的確定變得尤其重要.為了處理不確定性問題,Molodtsov[2]于1999年提出了軟集合理論的概念,它作為一種解決不確定性問題的數(shù)學(xué)工具,借助二元信息對(duì)目標(biāo)進(jìn)行分類,可以不受目標(biāo)屬性集的限制,且沒有產(chǎn)生隸屬函數(shù).Maji[3]等研究了關(guān)于軟集合理論的運(yùn)算,如交、并、補(bǔ)、與和或運(yùn)算等,并將軟集合理論應(yīng)用于多個(gè)方向,此后軟集合理論的性質(zhì)及應(yīng)用得到國(guó)內(nèi)外研究者的重視.Feng等研究了基于軟集合理論的群決策應(yīng)用問題[4-5].Maji等通過嵌入模糊集理論的思想,將模糊集與軟集相結(jié)合,得到了模糊軟集合理論,并擴(kuò)展了模糊軟集合在群決策中的應(yīng)用[6-7].Majumdar等進(jìn)一步擴(kuò)展了模糊軟集合理論，提出了廣義模糊軟集[8]，Wang等提出了猶豫模糊軟集及其在多屬性群決策問題中的應(yīng)用[9].

在實(shí)際的群決策問題中,專家的判斷會(huì)受到個(gè)人背景、偏好以及主觀傾向等因素的影響,給出的決策矩陣或判斷矩陣中的元素往往具有不確定性,導(dǎo)致群決策難以有效地進(jìn)行.只有專家群體判斷達(dá)成共識(shí),群決策的結(jié)果才有意義,因此如何快速地尋找出大規(guī)模群體中的非合作專家成為一致性群決策的研究熱點(diǎn).Palomare[10]等提出了一種適用于大規(guī)模決策的決策模型,運(yùn)用模糊聚類方法來(lái)檢測(cè)和管理個(gè)體和群體的非合作行為.隨后,Quesada[11]等認(rèn)為通過減少重要性來(lái)管理非合作行為的專家意見稍有欠缺,從而提出了一種基于模糊集合和語(yǔ)言計(jì)算的新方法用以識(shí)別和管理并改進(jìn)非合作專家的行為和意見.將專家權(quán)重與一致性動(dòng)態(tài)過程相結(jié)合并研究了其在非合作群決策過程中的應(yīng)用[12].Xu等對(duì)具有非合作行為的多屬性大規(guī)模群決策問題給出了決策的共識(shí)模型[13].所謂逆判問題,就是在大規(guī)模群決策中,為進(jìn)一步提高群決策質(zhì)量,對(duì)參與決策的專家評(píng)判水平進(jìn)行評(píng)判,找出非合作專家.劉萬(wàn)里[14]首先對(duì)基于互反判斷矩陣的群決策逆判問題給出了一種統(tǒng)計(jì)分析方法.陳巖等[15-17]針對(duì)基于語(yǔ)言信息判斷矩陣的群決策問題提出了基于方差的假設(shè)檢驗(yàn)方法，針對(duì)互補(bǔ)判斷矩陣通過等轉(zhuǎn)換為互反判斷矩陣，提出一種改進(jìn)的統(tǒng)計(jì)分析方法，并將區(qū)間數(shù)信息轉(zhuǎn)化為互反判斷矩陣，提出了基于區(qū)間數(shù)信息的群決策逆判方法.陳俠等[18]利用相對(duì)偏差改進(jìn)了基于互補(bǔ)判斷矩陣的逆判問題分析方法.鞏在武等[19]借助相關(guān)度給出了直覺模糊判斷矩陣的群決策逆判問題分析方法.夏梅梅等[20]針對(duì)區(qū)間直覺模糊判斷矩陣的群決策逆判問題給出了基于相似度的分析方法.

本文運(yùn)用模糊聚類算法來(lái)處理模糊軟集群決策逆判問題,模糊聚類算法能快速將專家群體分類,提高決策質(zhì)量.模糊聚類算法較傳統(tǒng)K-means算法比較,有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì),傳統(tǒng)K-means算法進(jìn)行聚類時(shí)需要考慮初始類簇中心點(diǎn)的選擇,還需要考慮分為幾類,而本文則使用模糊聚類算法進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析,從而快速聚類.首先定義模糊軟集的決策矩陣,然后給出決策矩陣的規(guī)范化形式,通過計(jì)算兩個(gè)矩陣之間的相似性得到一個(gè)模糊相似矩陣,進(jìn)一步通過模糊聚類的方法對(duì)專家進(jìn)行分類,即從每一個(gè)類別的專家群體中選擇一位專家,通過構(gòu)造的互反判斷矩陣，對(duì)挑選出的專家進(jìn)行一致性檢驗(yàn),從而找出非合作專家群體,完成對(duì)專家水平的評(píng)判,最后通過一個(gè)例子說(shuō)明該方法的有效性.

1 基本概念

定義1[2]設(shè)U為初始論域,P(U)為U的冪集,E是所有參數(shù)集的集合且A?E.那么論域U上的一個(gè)軟集通過一個(gè)函數(shù)的映射來(lái)定義：

fA:E→P(U),若x?A,則fA(x)=?.

其中：fA是軟集FA的近似函數(shù),fA的值是一個(gè)集合,稱為軟集的x元素集.值得注意的是,fA是任意的,可以是空的,也可以是非空的集合.因此論域U上的一個(gè)軟集可用序?qū)Φ募媳硎緸?/p>

定義2[1]設(shè)U為非空集合,U中的一個(gè)模糊集合通過它的隸屬函數(shù)μx:U→[0,1]來(lái)描述,其中μX(x)為模糊集X中x元素的隸屬度.則X用集合來(lái)表示為

定義3[6]設(shè)U為初始論域,E是所有參數(shù)集的集合且A?E,IU表示U上所有模糊子集的冪集.則(F,E)為論域U上的一個(gè)模糊軟集,其中F為一個(gè)映射：F:A→IU.

定義4[6]設(shè)(F,A)和(G,B)為論域U上的兩個(gè)模糊軟集,若滿足(i)A?B,(ii)?ε∈A,F(ε)是G(ε)的模糊子集,則稱(F,A)是(G,B)的模糊軟子集.

定義5[6]設(shè)(F,A)補(bǔ)集(F,A)c,定義(F,A)c=(Fc,┑A(chǔ)),其中Fc:┑A(chǔ)→IU是一個(gè)映射且對(duì)于?α∈┑A(chǔ),Fc(α)是F(┑α)的模糊補(bǔ).

定義6[21]設(shè)(F,E)為論域U上的一個(gè)模糊軟集,則(F,E)的模糊關(guān)系定義為

其中隸屬函數(shù)μRA記為μRA:U×E→[0,1].若U={u1,u2,…,um},E={e1,e2,…,en}，且A?E,則RA可用表1表示.

表1 模糊軟集(F,E)的關(guān)系表示Table 1 Relational representation of fuzzy soft sets(F,E)

假設(shè)aij=χRA(ui,ej),可以定義一個(gè)矩陣

叫做模糊軟集(F,E)在U上的模糊軟矩陣.

根據(jù)這個(gè)定義,一個(gè)模糊軟集(F,E)可以由模糊軟矩陣[aij]m×n唯一表示.這意味著模糊軟集(F,E)在形式上和它的模糊軟矩陣[aij]m×n等價(jià).因此,可以用模糊軟矩陣確定任何模糊軟集并且這兩個(gè)概念可以相互交換使用.所有在論域U上的m×n階模糊軟矩陣的集合可以用FSMm×n來(lái)表示.

定義7[6]如果(F,A)和(G,B)是兩個(gè)模糊軟集,則兩者的并集為(H,C),其中：C=A∪B,?e∈C,有

定義8[6]如果(F,A)和(G,B)是兩個(gè)模糊軟集,則兩者的交集為(H,C),其中:C=A∩B,?e∈C,H(e)=F(e)或G(e).

2 相似性度量

在很多文獻(xiàn)中,已經(jīng)研究了兩個(gè)模糊軟集之間的相似性度量,有基于距離的相似性度量,還有基于匹配函數(shù)的相似性度量,還有一些基于集合理論的相似性度量.這里主要介紹集合理論的相似性度量[22].

定義11F(ei)和F(ei)的ei近似值的相似性為

(1)

性質(zhì)1 (i)M(F,G)=M(G,F); (ii) 0≤M(F,G)≤1; (iii)S(F,F)=1.

那么M1=0.68,M2=0.59,M3=0.39,M4=0.72,因此,MF,G=max{M1,M2,M3,M4}=0.72.

定義12 設(shè)有p(p≥2)位專家,則模糊相似矩陣為C=[cij]n×n,其中：

3 模糊軟矩陣的互反導(dǎo)出矩陣與一致性分析

在決策過程中,研究判斷矩陣的一致性尤其重要,只有判斷矩陣具有一致性或弱一致性,決策結(jié)果才有意義,否則決策結(jié)果會(huì)產(chǎn)生矛盾.通過對(duì)同一個(gè)專家基于權(quán)重參數(shù)進(jìn)行兩兩方案的比較,得到兩個(gè)方案的比較值來(lái)構(gòu)造互反導(dǎo)出矩陣.

定義13 設(shè)D=[di*j*]m×m為模糊軟矩陣A=[aij]m×n的互反導(dǎo)出矩陣,則有

D=[di*j*]m×m=

(2)

其中：1≤i*≤m,1≤j*≤m,wj為模糊軟集中參數(shù)的初始權(quán)重,由專家根據(jù)參數(shù)的重要程度給出.當(dāng)di*j*=1時(shí),表示方案i*與方案j*無(wú)差別;若di*j*>1,則表示方案i*優(yōu)于方案j*;若di*j*<1,則表示方案j*優(yōu)于方案i*.

性質(zhì)2[16]設(shè)D=[di*j*]m×m為模糊軟矩陣的互反導(dǎo)出矩陣,則

(1) 對(duì)所有的i*=1,2,…,m;di*i*=1.

(2) 對(duì)所有的i*,j*=1,2,…,m；di*j*×dj*i*=1.

定義14 對(duì)于互反判斷矩陣D=[di*j*]m×m,若滿足di*k*×dk*j*=di*j*,則稱D為完全一致性矩陣.

4 基于模糊聚類算法對(duì)專家進(jìn)行聚類分析

在大規(guī)模群決策過程中,運(yùn)用模糊聚類的方法將專家根據(jù)專家群體之間的相似性進(jìn)行分類.

定義15[23]設(shè)R∈F(X×X),如果對(duì)任意λ∈[0,1]及任意x,y,z∈X滿足:R(x,y)≥λ,R(y,z)≥λ?R(x,z)≥λ,則稱R是傳遞的.

定義16[23]若R是X上的自反、對(duì)稱、傳遞的模糊關(guān)系,則稱R是X上的模糊等價(jià)關(guān)系.

定義17[24]設(shè)R∈F(X×X),若R1∈F(X×X)是傳遞的且滿足：(i)R?R1;(ii)若S是X上的模糊傳遞關(guān)系且R?S,必有R1?S,則稱R1為R的傳遞閉包,記為t(R).

根據(jù)上述定義,模糊關(guān)系R的傳遞閉包是包含R的最小傳遞關(guān)系.

模糊聚類算法對(duì)專家進(jìn)行逆判的具體步驟如下:

步驟2 運(yùn)用定義12,求模糊相似矩陣C=[cij]p×p.

步驟3 求傳遞閉包,求C2,C4,C8,…,得到模糊相似等價(jià)矩陣t(C),選取適當(dāng)?shù)闹眯潘街郸恕蔥0,1],按λ截矩t(C)λ,進(jìn)行動(dòng)態(tài)聚類.

步驟4 從所期望的每個(gè)類別中挑選出一位專家,將其模糊軟矩陣轉(zhuǎn)換為互反判斷矩陣D=[di*j*]m×m,隨后進(jìn)行一致性檢驗(yàn),挑選出非合作專家,并對(duì)專家水平進(jìn)行評(píng)判.

5 算 例

步驟2 計(jì)算模糊相似性矩陣C=[cij]p×p如下:

步驟3 得到模糊相似等價(jià)矩陣t(C)如下:

把t(C)中的元素從小到大的順序編排如下:

0.71<0.75<0.77<0.79<0.80<0.81<0.82<0.85<0.88<0.89<0.91<1.

依次取λ等于上述值,由于算例中有6位專家,應(yīng)將專家分為2類或3類較為合理,所以當(dāng)λ=0.75時(shí)有

這時(shí)專家群體被分為3類:{x1,x5},{x2,x4,x6}{x3},即當(dāng)置信域取區(qū)間(0.71,0.75]時(shí),專家分類較為合理,即

L1={x1,x5},L2={x2,x4,x6},L3={x3}.

步驟4 從L1、L2、L3中分別挑選出一位專家,在L1中選擇專家5,在L2中選擇專家4,在L3中選擇專家3進(jìn)行一致性檢驗(yàn),結(jié)果如下:

專家5的互反導(dǎo)出矩陣為

專家4的互反導(dǎo)出矩陣為

專家3的互反導(dǎo)出矩陣為

計(jì)算專家5、4、3的一致性比率：CR5=0.115 8,CR4=0.032 4,CR3=0.09.由于CR5>0.1,可認(rèn)為專家5具有較差的一致性,專家5所在的類別L1中的專家的一致性較差,故專家1、5的評(píng)判水平較差;由于CR4≤0.1,可認(rèn)為專家4具有較好的一致性,專家4所在的類別L2中的專家的一致性較好,故專家2、4、6的評(píng)判水平較好;由于CR3≈0.1,可認(rèn)為專家3的一致性較好卻差于專家4,專家3所在的類別L3中的專家的一致性一般,故專家3的評(píng)判水平一般.

6 算法復(fù)雜度對(duì)比分析

在大規(guī)模群決策逆判問題中,假設(shè)有N位專家針對(duì)n個(gè)方案給出導(dǎo)出矩陣為Q=(qij)n×n,分別運(yùn)用基于偏差度量的逆判分析和基于聚類分析的逆判分析兩種方法對(duì)專家一致性水平進(jìn)行排序.

6.1 基于偏差度量的逆判分析

(1) 利用和積法求Q=(qij)n×n最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量w=(w1,w2,…,wn)T，計(jì)算每位專家權(quán)重的wi的運(yùn)算次數(shù)為n2+3n+1次,則N位專家的運(yùn)算次數(shù)為N·(n2+3n+1).

(2) 計(jì)算每個(gè)判斷矩陣的偏差矩陣δij,其中每個(gè)判斷矩陣的運(yùn)算次數(shù)為n2+2次,則N位專家的運(yùn)算次數(shù)為N·(n2+2).

6.2 基于聚類分析的逆判分析

首先將模糊軟矩陣規(guī)范化,求其模糊相似矩陣,利用模糊聚類的方法進(jìn)行動(dòng)態(tài)聚類,由于每個(gè)類別中的專家具有相似性,只需要在每個(gè)類別中挑選出一位專家,將其模糊軟矩陣轉(zhuǎn)化為互反判斷矩陣,計(jì)算其一致性,最后進(jìn)行排序.

(1) 將模糊軟矩陣最大規(guī)范化,每位專家的運(yùn)算次數(shù)為n2,N位專家的運(yùn)算次數(shù)N·n2.

6.3 算法小結(jié)

兩種算法的計(jì)算復(fù)雜度均與專家的個(gè)數(shù)和矩陣的階數(shù)(即決策矩陣中方案的個(gè)數(shù))有關(guān),第一種算法的復(fù)雜度為o(N·n5+N2),而第二種算法的復(fù)雜度為o(N·n2+N2·n),顯然在大規(guī)模群決策問題中,使用聚類算法對(duì)專家群體進(jìn)行逆判問題分析具有較高的效率, 能夠大幅度減少總體搜索的計(jì)算量.

7 結(jié) 論

運(yùn)用模糊聚類算法解決模糊軟集群決策逆判問題,提出一種基于模糊軟集的群決策逆判方法.運(yùn)用模糊聚類算法對(duì)專家群體進(jìn)行動(dòng)態(tài)聚類,可以快速找出非合作專家,從而對(duì)專家評(píng)判水平進(jìn)行評(píng)判.通過對(duì)算法的復(fù)雜度分析,說(shuō)明模糊聚類算法減少了計(jì)算的復(fù)雜性,有助于提高大規(guī)模群體決策的質(zhì)量與效率.