線性代數教學改革探討

【摘要】線性代數是工程數學的重要組成部分，針對線性代數課程教學中存在的一些問題，筆者提出了有針對性的改革措施，并在教學過程中進行了實踐，切實提高了線性代數的教學質量.

【關鍵詞】線性代數;教學改革;數學實驗

線性代數是工程數學的重要組成部分，是科學技術的語言，在理論研究和工程技術領域有著廣泛的應用，線性代數是計算機輔助設計、數值分析、控制理論、加密解密、圖像處理等技術的重要基礎.近年來，線性代數也在向經濟、金融、管理、社會科學等領域滲透.線性代數是通過各種相關問題的解決方法的總結和凝練，抽象出一系列概念、表達方法和計算方法，教師只是簡單地向學生直接灌輸這些抽象的內容，往往很難取得較好的教學效果.筆者認為當前線性代數教學面臨的問題主要有以下幾個方面：教材內容局限于抽象的概念和方法，未能通過應用案例展現利用線性代數解決各類實際問題的能力;教師教學主要以教授概念和理論為主，缺乏與相關背景知識、應用場景、案例分析的結合;課堂教學手段單一，與現代化的手段結合得不好.課題組通過多年的教學實踐，對這門課程進行了改革，收到很好的教學效果.采取的主要措施有：

一、編寫了《線性代數》教材

好的教材是保證教學效果的關鍵.翻看當前主流線性代數教材，瀏覽眾多的線性代數網課，絕大部分都是“開門見山”，從開篇介紹線性方程組，到行列式、矩陣、矩陣變換等內容，講的基本上都是抽象的定義、定理及其推理證明，內容多、理論性強、枯燥乏味，導致學生學習熱情不高.為什么要學習線性代數？線性代數能夠解決哪些問題？那些抽象概念是從何而來的？在教材中缺少配套的背景知識，書上習題也鮮有案例應用，幾乎不涉及數值計算，這幾乎是大學數學教育共同的痛點，只是給學生灌輸抽象、枯燥的概念和理論，不聯系實際，導致學生應用能力不足，對自己熟悉的領域不會用矩陣建模解題，基礎課成了純粹的“考研課”，不能學以致用，造成了教材和教學目標有偏差.隨著計算機技術的發展，集成線性代數理論的工具軟件種類繁多、功能強大，可以解決各種類型的問題.因此，如何在掌握線性代數基礎知識的基礎上，學會運用工具軟件解決實際問題，是學用結合，提高大學生的實踐能力和創新能力，適應素質教育和能力培養的有益嘗試.為此，我們編寫了一部面向應用，滿足廣大的非數學專業學生的需要的線性代數教材，該教材在保留傳統線性代數理論體系的基礎上，克服了上述不足.主要特色是：（1） 引入大量應用實例，使得課程具有實用性和趣味性;（2）把數學軟件MATLAB引入教材.教材在每章后面都加入了數學實驗的內容，要求學生以MATLAB為工具完成數學實驗.使學生對MATLAB的使用有初步的了解以及加強對相關知識的理解和運用;（3）引入知識縱橫，講述數學知識背后的故事，加強數學教材的趣味性，使得學習更有“帶入感”.

二、以數學建模為牽引，將應用案例融入教學中

現實世界的問題紛繁復雜，要想利用數學知識解決實際問題，第一個步驟就是將問題抽象為數學模型，也就是數學建模.建模是數學知識和應用之間的橋梁，不會建模，只會算法是無法解決實際問題的.在教學中，我們緊密結合具體的專業實際并結合生產、生活實踐，穿插講解一些應用實例，例如，用可逆陣進行保密編譯碼、交通流量問題、投入產出模型、人口遷移問題及基因問題等.下面舉兩個具體應用實例：

例1 用可逆陣進行保密編譯碼.

為了實現英文文本的密文傳輸，可以利用一種簡單的保密措施，就是把文本中的英文字母用一個對應的整數來表示，然后傳送這組整數.例如，26個英文字母A，B，…，Y，Z依次對應數字1，2，…，25，26，若要發送單詞“battle”，則編碼是2，1，20，20，12，5.用這種簡單的編碼方法，在一個長文本中，根據編碼數字出現的頻率，能估計它所代表的字母，容易被破譯.因此，可以利用矩陣的乘法對編碼進一步加密.

現任選一個行列式等于-1的整數矩陣，如

所以，將所收到的編碼寫成兩個向量后，經過乘A-1解碼，為2，1，20，20，12，5，最后，利用使用的代碼將編碼恢復為明碼，得到單詞“battle”.

教師在教學中引入這些應用實例，灌輸數學建模思想，并把一些應用問題納入課程的習題，使學生深切地感受到線性代數確實有許多重要的應用，從而激發學生學習的積極性，在一定程度上克服畏難情緒，有效提升線性代數的教學效果.

三、將MATLAB引入線性代數教學中

在每章后面都加入了數學實驗的內容，圍繞線性代數課程的教學內容來介紹如何用MATLAB完成各種運算.例如，投入產出模型矩陣形式AX+Y=X，解出總產品列向量X=（E-A）-1Y，當列向量矩陣E-A階數很大時，靠手算這個高階矩陣的逆，相當煩瑣與費時.但若用MATLAB算，輸入語句：X=inv（E-A）-1Y，則幾秒鐘就出結果了，使學生對線性代數的復雜運算不再恐懼，并體會到數學軟件的強大功用.當然，線性代數的整個理論體系并不因使用計算機而有所改變.但是若原有的線性代數教學沒有引入現代化的工具軟件，只教筆算，則就像明明有先進的電動工具，還讓大家拿手動工具干活一樣，效率低而且缺少樂趣.將MATLAB軟件應用引入教學實踐中，使學生通過工具軟件體驗線性代數理論各種算法的實際應用，做到了理論與實踐相結合.

下面舉一個用數學實驗完成的應用題：

例2 在直流電路圖中，直流電源的電動勢E1=15 V，E2=70 V，E3=5 V.各支路的負載電阻R1=6 Ω，R2=5 Ω，R3=10 Ω，R4=2.5 Ω，R5=15 Ω，求通過各支路的電流I1，I2，I3，I4，I5各是多少安培.

于是解得I1=5A，I2=8A，I3=1A，I4=-6A，I5=2A.I4為負值，表明其方向與圖示相反.

上面這類例子能增強學生的實踐能力及分析問題、解決問題的能力，學生在形成良好的數學思維前提下，對數學軟件的靈活使用為專業課題研究及數學建模能力的培養做了必要的準備.

四、綜合運用現代化教學手段，增強課程吸引力

傳統教學中，教師僅通過板書和口述進行講解，表現形式單一，很難讓學生持續保持專注度.在教學中求新、求變是保持“吸引力”的不二法門，將多媒體演示與MATLAB數學軟件展示等手段引入課堂，在學生產生疲倦情緒之前，通過動畫展示、軟件編程演示、與學生互動交流等方式，調動學生的好奇心、參與感和成就感，讓學生在不知不覺中接受了本來枯燥的概念和理論，同時積極思考、積極參與解決問題，取得了非常好的教學效果.

五、改革考核方式，促進學生綜合能力的提升

為了將培養大學生的數學思維能力和數值計算能力落到實處，將實踐教學的結果納入線性代數課程的考核中，除了原有的考核方式外，還增加撰寫一篇小論文（題目可由老師擬定，也可自定），成績占總評成績的10[WTB3]%[WTBX]，要求學生根據論文題目從建立數學模型入手，聯系所學的線性代數知識，利用MATLAB軟件編制簡單的程序，完成求解，并將完整的過程編制成小論文.這種考核方式可以較好地鍛煉學生分析問題、解決問題的能力，提高學生的綜合素質.

課題組編寫的教材于2012年1月由機械工業出版社出版發行，我校已使用7個學期，任課教師和學生普遍反映良好.教材的知識體系合理，學生能由淺入深地理解概念和掌握知識，對線性代數的應用有一個比較深刻的理解，在使用該教材之前的線性代數教學中經常有同學問線性代數有什么用處，任課教師只能泛泛地談，在該教材中有大量應用方面的例子，這些例子和實際結合得比較緊密，通過學習學生都能感到線性代數課程在以后的學習和工作中有很大的用處.教學中加強了概念與理論的背景和應用介紹，在一定程度上克服了理論學習的抽象性和枯燥性，理論和實際結合得比較緊密，激發了學生學習線性代數的興趣.把MATLAB軟件引入線性代數教學，使學生對線性代數的煩瑣運算不再懼怕.學生在掌握了線性代數的基礎知識的同時，還通過實際操作初步掌握了這個強大的計算工具，熟練運用這個“強大武器”必將在其他各門功課的學習乃至今后的工作中發揮更大的作用.在計算中運用MATLAB解題，提高了學生的科學計算能力及理論與實踐相結合的能力.對四屆試點班的學生調查顯示，他們都反對只教筆算，對試點中自己學會機算很自豪.其主要好處有：①學以致用，有目的，有興趣;②節省了算題時間，可以多看書和思考;③會解任意高階題目，對后續課程很有用處.試點班學生的實踐能力遠高于普通班，普通班學生只能筆算四階及以下簡單的實數方程組，也給后續課的機算創造了條件.我們將在線性代數教學改革之路上繼續前進，并爭取在今后的教學中取得更大的效果.

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