例談基于數學抽象素養的概念課教學設計

龍正祥 王金理

【摘要】《普通高中數學課程標準（2017年版）》中關于數學學科核心素養的闡述：數學學科核心素養為數學教育指明了方向和目標，基于數學學科核心素養的教學，教師需要增強為數學學科核心素養而教的意識，分析教學內容所承載的數學學科核心素養內涵，尋求數學學科核心素養的實施策略，進而進行相應的教學設計.本文以“函數與方程”教學為例，創設真實的數學情境，使學生經歷“問題→作圖→觀察→猜想→討論→歸納”環節的探究過程，促進數學抽象素養的發展.

【關鍵詞】數學抽象素養;函數的零點;方程的根

一、數學抽象素養

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）指出：數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養.主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系;從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征.

數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學產生、發展、應用的過程中.數學抽象使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統.

數學抽象主要表現為獲得數學概念和規則;提出數學命題和模型;形成數學方法與思想;認識數學結構與體系.

學生通過高中數學課程的學習，能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗;養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質，以簡馭繁;運用數學抽象的思維方式思考并解決問題.《標準》中將每一個核心素養分為情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個方面，并將每一個素養分為水平一、二、三.

二、 教學內容分析

1.基于內容的安排和作用

“函數與方程”選自北師大版高中數學必修一第四章第1節，它揭示了方程與函數之間的本質聯系.這種聯系是中學數學中“函數與方程”思想的理論基礎.解方程實際上就是求函數的零點，這樣解指數方程、對數方程等超越方程就可轉化為求函數的零點，因此函數零點的概念在中學數學中占據核心地位.

2.基于數學核心素養的發展

“函數與方程”一課涉及數形結合思想、函數與方程思想、化歸與轉化思想以及特殊到一般的思想方法等，深入挖掘這些思想方法有助于發展和提升學生的直觀想象和邏輯推理素養，讓學生體會從函數觀點認識研究方程的思想，感受數學的應用價值.本節課又是一節概念課，概念課的教學過程要注重概念的引出、及時歸納整理、多角度說明、概念本質的分析以及概念理解的升華應用，這一過程是數學抽象的過程，能很好地體現數學抽象核心素養.

3.基于數學核心素養的培養

在數學中，數與形是數學研究和學習的基本對象.函數零點的概念指向了方程的根（數的一面）和圖像與x軸交點的橫坐標（形的一面），教師要培養學生從不同角度思考這兩者之間聯系的能力.零點存在性定理的發現、理解和鑒別，要求學生具備語言概括能力;直觀想象素養的培養要求學生具備從不同角度思考問題的能力;數學抽象核心素養的培養要求學生具備概括能力，這些都是學生在日常生活中必備的思維能力.

三、 學情分析

1.有利因素

由于學生已經學習了二次函數，又學習了函數的性質，所以從一元二次方程及函數的關系開始引入，然后過渡到一般方程及相應函數的研究，得出函數零點的概念，學生易于接受，符合學習的最近發展區原則.鑒于函數圖像作圖的局限性，應進一步引出探究零點存在性定理的必要性，激發學生的探究熱情.

2.不利因素

（1）零點概念的認識.對于函數零點，學生很容易先入為主，認為零點是點.

（2）零點存在性定理的判斷.由于對定理的討論基礎是函數圖像，而學生能畫出的函數圖像是有限的，極易導致圖像分析的非典型性，進而影響學生對定理中每一個關鍵詞的理解.

（3）零點（零點個數）的確定.零點是在分析圖像的基礎上得到的概念，而并非所有函數的圖像都能具體描繪出來，所以學生在零點及零點個數的確定上會遇到困難.

四、 教學策略分析

本節課是一節概念課，概念教學強調追本溯源、前后聯系、邏輯連貫的概念形成過程.當學生遇到新概念時，不能用已有知識解決，就產生了矛盾.教師應依據新概念與學生原有認知結構之間的差異，制造一種恰當的矛盾情境，促使學生展開思考、分析，最終消除矛盾，掌握概念.根據這一原則，本文以對主線問題的三次探究為線索，貫穿整節課，引導學生概念的生成，教學策略的特點如下.

1.生活性.在本節課中，筆者以氣象臺的圖片作為課堂引入，開放性地回答場所問題，引出學生不同角度的思考，讓學生更全面地看待問題，用數學中的主線問題揭示矛盾，發現不同角度思考問題的重要性，引起學生的共鳴.

2.樸實性.對于零點存在性定理的發現，筆者設計溫度曲線的實驗，讓學生觀察溫度曲線代表的函數圖像，尋找幾何問題的代數表征，相比利用已有的簡單函數圖像觀察規律，實驗法讓學生更有“親近感”，一改數學在學生心目中復雜、高不可攀的形象，還原數學本質，提升數學知識的直觀性.

3.矛盾性.在主線問題初探、再探和終探的過程中，經常出現矛盾，學生尋求解決方案、發現概念，從而解決矛盾，層層深入對概念的理解.矛盾性能夠激發學生的學習欲望.

五、 教學目標設置

1.通過具體的二次函數圖像以及一元二次方程根的問題，引導學生經歷函數（結合二次函數）零點的發現過程，明確函數零點與相應方程根、圖像與x軸交點橫坐標的關系總結出函數零點的概念及零點存在性定理，提升和發展學生的數學抽象和直觀想象素養.

2.通過設置合理的教學情境，以及分組探究、質疑交流，引導學生經歷實驗探討零點存在性條件的過程，感受零點存在性定理的形成及以數輔形的強大功能，體會函數與方程思想、數形結合思想以及轉化與化歸思想.把判斷函數零點存在的方法由特殊函數推廣到一般函數，培養學生邏輯推理素養.

3.通過創設無法求得方程的解到能夠通過研究函數的零點，利用函數的性質研究方程的根的教學大情境，使學生經歷數學學習的探索歷程，體會知識的生成方式，體驗獲取知識、探究數學的樂趣，從而提升學生深度學習的能力.

教學重點：函數零點的等價關系，零點存在性定理.

教學難點：探究函數零點存在的條件.

六、 教學過程

1.巧設情境，引入新知

情境一 筆者出示一幅當地氣象臺的圖片，讓學生識別這個地方是什么樣的場所.

由于學生并不完全了解當地氣象臺，所以有許多即興猜測的回答，有說是公園的，有說是海豚紀念館的，也有說是當地氣象臺的.

設計意圖 學生從不同角度觀察同一場所得到了不同的答案，所以如果對一個問題的思考角度不同，得到的答案也會不同.

情境二? 判斷下列方程是否有根，如果有根，有幾個根？

① 2x-3=0.

② x2-2x-3=0.

③ ln x+2x-3=0.

設計意圖 對于方程（1）（2），學生可以直接求解，但對于方程（3），學生卻有些猶豫，甚至無從下手.此時，教師需要提示學生換個角度思考問題，引導學生運用方程（1）（2）的其他解法來解決方程（3）的問題，即嘗試從形的方面來尋求問題的答案.數學是研究數與形兩個方面關系的學科.同一個問題，可以從數的方面考慮，也可以從形的方面探究.初中階段研究方程根側重于數的方面，高中階段除了側重數的方面還側重形的方面.這一問題的設計，為成功引入零點概念做好了充足準備.

情境三 畫出函數f（x）=2x-3的圖像，觀察方程2x-3=0的根與函數f（x）=2x-3的圖像與x軸的交點，你有什么發現？

設計意圖 通過簡單函數“引”零點，在學生思維困頓之處設置數學情境，引發學生產生疑問，通過質疑交流，激發學生學習數學和探究新知的熱情，通過后繼學習，進一步使學生領會將方程問題轉化為函數問題處理的必要性.

2.操作確認，探索概念

（1）求解畫圖

求下列一元二次方程的實數根，畫出相應的二次函數的簡圖，并寫出函數圖像與x軸交點的坐標，如表1所示.

（2）探尋關系

一元二次方程與相應二次函數的關系，如表2所示.

設計意圖 揭示規律，二次方程如果有實數根，那么方程的實數根就是相應的二次函數的圖像與x軸交點的橫坐標.概念自然引入，觀察表中的x1，x2，它們在方程中稱為方程的根，在圖像中稱為圖像與x軸交點的橫坐標，那么對于函數而言，取名為零點就水到渠成了.

（3）函數零點的概念

對于函數y=f（x），我們把使f（x）=0的實數x叫作函數y=f（x）的零點.

零點的三重“身份”：（1）函數y=f（x）的零點;（2）函數y=f（x）的圖像與x軸交點的橫坐標;（3）方程f（x）=0的根.

設計意圖 利用零點不同情境下的三種“身份”，明確函數零點的概念，零點不是點，它是數與形的完美統一，也是方程與函數思想的絕妙體現.

（4）應用所獲，再探例題

判斷下列方程是否有根，如果有根，有幾個根？

①2x-3=0. ②x2-2x-3=0. ③ ln x+2x-3=0.

設計意圖 把方程ln x+2x-3=0的形式改為ln x=-2x+3，從而順利地把方程根的問題轉化為函數y=ln x與函數y=-2x+3的交點問題.探究過程中，作圖的方法優于解方程的方法，培養學生直觀想象素養的要求得到了淋漓盡致的體現.

3.質疑思辨，完善概念

若方程不轉化，本題還能用形解決嗎？顯然是比較困難的.以此作為矛盾沖突點，引導學生探究不作函數圖像就能判斷零點存在的方法，即尋求幾何圖形的代數表達：零點存在的圖形的共性探究.

（1）數學實驗，尋求共性

如圖1所示，圖中已經標出a和b時刻的溫度，請按你自己的設想在圖1的兩圖中繪出[a，b]部分的溫度曲線.

師：溫度曲線作為一個函數，它具備哪些條件就可確定有零點存在呢？

設計意圖 如果函數零點的定義是增強學生由數轉形、以形助數的能力，那么零點存在性定理的發現就是讓學生感受由形轉數、以數輔形的強大功能，培養學生的歸納能力和數學抽象的核心素養.

（2）共性歸納，得出定理

如果函數y=f（x）在[a，b]上的圖像是一條連續不斷的曲線，并且有f（a）f（b）<0，那么，函數y=f（x）在（a，b） 上至少有一個零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根.

教師應先要求學生齊讀，然后引導學生尋找定理中的關鍵詞，引導學生結合實驗圖例討論、解釋每一個關鍵詞的意義及重要性，并得出推論（存在唯一零點的命題）：如果函數y=f（x）在[a，b]上的圖像是一條連續不斷的曲線，并且在閉區間的兩個端點上的函數值互異，即f（a）f（b）<0，且是單調函數，那么這個函數在（a，b）上必存在唯一的一個零點.

設計意圖 學生對于定理的理解，要經歷“了解—理解—見解”的逐步深入過程，所以概念定理的教學也需要分三步走，首先了解概念的形成過程，然后在此基礎上加強對概念的理解和欣賞，最后提出自己的見解.零點存在性定理這一概念的生成過程，是由圖形設計引出對共性（零點存在）的歸納探討，概念的理解和欣賞則通過學生朗讀及對關鍵詞的挖掘辨析來實現，最后在辨析中尋找零點唯一存在性定理的表述.教師要注重培養學生歸納問題本質的能力，發展學生的數學抽象核心素養.

（3）例題終探，定理應用

判斷下列方程是否有根，如果有根，有幾個根？

①2x-3=0. ②x2-2x-3=0. ③ ln x+2x-3=0.

設計意圖 探究典例，利用零點存在性定理突破形解決問題的局限性，感受以數輔形的強大功能，培養學生的數學抽象核心素養.

4.目標檢測，整理所學

檢測1 函數f（x）=-x3-3x+5的零點的個數是（ ）

A.0? B.1? C.2? D.無數個

檢測2 已知函數f（x）的圖像是連續不斷的，對應值如表3所示，那么函數在[1，6]上的零點至少有個.

檢測3 已知函數f（x）=|x2-4|-a，若y=f（x）有四個零點，求實數a的取值范圍.

設計意圖 檢測1是鞏固利用幾何和代數方法解決零點問題;檢測2是零點存在性定理的應用;檢測3是零點問題的綜合應用，這三道題目能培養學生知識及核心素養.

5.反思悟道，內化所學

從知識、思想、生活實際來談談自己的收獲.

設計意圖 學生發言，開放式地探討、補充，教師點評，從知識到思想、素養、能力，將數學知識與生活實際應用相聯系.

6.作業設置，課外延續

作業1 （基礎性）已知函數f（x）=|x2-4|-a，試探究函數零點個數與a的關系.

作業2 （拓展性）已知函數f（x）=|x2-4|，關于x的方程[f（x）]2-4f（x）+k=0，嘗試探究該方程解的個數與k的關系.

設計意圖 作業1進一步鞏固學生課堂所學，提高學生運用知識解決問題的能力;作業2讓學有余力的學生繼續探究討論，可以從不同角度探究，如化歸成簡單函數或利用現代信息科技作圖解決等.

七、教學評價

學生不僅是學習的主體，而且是教學的資源，是課堂生活的共同創造者.基于數學抽象的概念課的教學研究要從整體上把握概念，突出概念之間的相互聯系，注重數學本質，精心設計好思維的導航圖和生長鏈，從微觀上把握好概念獲取的生長路徑和關鍵節點.

在本節課中，教師引導學生利用函數的性質研究方程解的情況，從而使原來無法解決的問題轉化為可解的問題，體現了用聯系的觀點看待問題、用新觀點看待舊事，培養了學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養.在利用函數圖像與性質探究函數零點問題時，學生對函數圖像的觀察、判斷有一定的難度，需要教師加強指導;學生能夠明確地感受到函數零點存在時的圖像特征，但不會用數學語言來描述，這就需要教師通過問題引導，讓學生經歷一個模仿、歸納、抽象的過程，促使他們把幾何語言轉化為符號語言.

核心素養的培養需要教師準確把握課程目標、課程內容等，利用合理的教學情境與素材，借助各種教學形式，去落實教學目標.教師應該不斷學習、探索，提升自身的數學素養，了解數學知識之間、數學與生活及其他學科的聯系，開發出符合學生認知規律、有助于提升學生核心素養的優秀案例.

【參考文獻】

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[2]杜育林.整體把握 精心設計：以一元二次方程的概念教學為例[J].中學數學教學參考，2019（32）：15-17.