構造視角下的中學數學函數、方程、不等式問題的討論

閔輝 衷雪兒

【摘要】函數、方程、不等式三者聯系密切，通過構造的思想，以初等函數為構造目標對象，利用導數工具，研究函數的單調性、極值等性質，可為三者之間的內在轉化提供一種常規的解題思路.

【關鍵詞】構造;導數

在哲學派別中，常有“逍遙派”和“構造派”兩大思想方法體系.后者對中學數學解題有重要的指導意義.函數、方程和不等式是初等數學中三個主要問題角色，其題型復雜，涉及的解題方法也較多.三者內在聯系緊密，常常相互轉化，其中導數是研究函數性質的常用手段，構造思想是三者轉換聯系的主要思路，數形結合是基礎.

1.導數和函數

函數的性質主要包括定義域、值域、對稱性（奇偶性）、周期等.通過函數的性質可體現函數圖像的性質.在函數圖像繪制的過程中，通過導數工具，可求解曲線的切線方程、函數的單調性、凹凸性、極值、最值、漸近線等.中學的導數概念從物理概念的極限角度切入，也可以看作極限 0 0 型的特殊形式.對于中學的函數問題，參數的處理一直是重點和難點，主要的思路是構造函數的思想和使用導數在函數、方程、不等式三者之間進行相應的轉化，其中構造是關鍵.函數綜合問題的一般解題步驟如下：

（1）結合定義域，用導數求解函數的單調性和極值點，有時候需要判斷間斷點的極限;

（2）優先使用因式分解求解零點，尤其是三次多項式;

（3）在導函數不易因式分解的前提下構造函數，基于根的存在性定理，求解隱零點，隱零點的問題，從數值分析的角度來說是一種估算的問題形式;

（4）大多數情況下，二次或者多次求導研究函數的單調性和極值，本質上還是構造函數的思想，函數問題仍然突出數形結合的思想，通過函數圖像的繪制，了解整個函數的形態.

2.不等式主要類型

中學不等式的主要類型有：二次不等式、分式不等式、高次不等式、無理不等式、指數或對數不等式、超越不等式等，涉及的主要解題方法有：穿針引線、換元、指數和對數轉化、二次方程根的分布、二次函數對稱軸和區間的最值問題等.對于超越不等式（函數）常常進行放縮，尋找伴隨函數，將非線性問題轉化為多項式函數處理，典型的方法是通過放縮尋找切線函數以及泰勒展開式.這種思想很樸素，應在高中數學函數問題中重點引導.一些不等式問題還可以轉化為二次方程根的分布問題，這體現了不等式和方程之間的關聯.對于多變量的不等式證明問題，構造函數是關鍵.例如，雙變量不等式問題，從變量的個數來說，形式上屬于多元函數問題，常規解題方法是減元構造二次函數.對于超越函數的雙變量不等式問題，也常利用極值點偏移法以及齊次化手段，最終目標是構造一元函數，轉化為函數最值問題.極值點偏移的特殊形式是二次函數的對稱問題，高階段的運用有誤差矩陣以及普阿松括號積思想（誤差思想）.最為典型的題目是2010年天津高考數學理科試卷第21題第3問.

3.含參不等式的恒成立問題

函數、不等式、方程問題中，參數的處理是重難點，常用的方法是分離常數（分式轉化為整式），或者使用參變分離、恒值轉最值、構造函數求解.根據參數的形式分為全分離和半分離題型.

4.關于不等式、函數、方程綜合問題的解題思路

對于超越方程y=F（x）的零點問題，根據F（x）的組成特點，一般構造f（x）=g（x）的形式，轉化為函數y=f（x）與y=g（x）圖像的交點的問題，將方程的問題轉化為求解函數圖像的交點的相關問題.轉化的依據是構造不同的初等函數.不等式a>F（x）的解題思路也類似.

對于方程f（x）=g（x）的問題，常常構造函數H（x）=f（x）-g（x），從而轉化為方程H（x）=0的零點問題.

上述兩種典型題型的轉化思路主要是基于構造函數的思想，用數形結合的方式，在函數、方程和不等式三者之間進行化歸.

5.典型解題思路

例題 （2010年山東）若對任意的x>0，有 x x2+3x+1 ≤a恒成立，求參數a的取值范圍.

解析 對于不等式問題常構造函數轉化為最值問題.構造函數f（x）= x x2+3x+1 （x>0），則該不等式問題轉化為函數的最值問題，即f（x）max≤a.通過齊次化的手段，將f（x）轉化為f（x）= 1 x+ 1 x +3 的形式，即轉化為對勾函數最值求解問題.

類似的題目還有：求解函數f（x）= x x2-x+3 的最值，可通過代數變形轉化為對勾函數的最值問題.一般來說，總是通過各種代數手段將問題轉化為初等函數問題.

例題 （2020年南昌外國語學校）對于x>0，不等式ln x≥ a x -ex+2恒成立，求實數a的取值范圍.

解析 對于不等式問題，常轉換為函數問題.將不等式的分式形式轉化為等價不等式xln x≥a-ex2+2x，構造函數，將恒值轉化為最值問題，即構造函數f（x）=xln x+ex2-2x，不等式問題等價為f（x）min≥a，再通過導數研究函數的性質，求解函數f（x）的最值.同樣的思路還有2019年浙江卷第22題和2012年北京卷（文科）第18題.

例題 （2019年浙江）已知實數a≠0，設函數f（x）=aln x+ 1+x （x>0）.

（2）對于任意x∈ 1 e2 ，+∞，均有f（x）≤? x? 2a ，求參數a的取值范圍.

例題 （2012年北京文科）已知函數f（x）=ax2+1（a>0），g（x）=x3+bx.

（2）當a=3，b=-9時，若函數f（x）+g（x）在區間[k，2]上的最大值為28，求參數k的取值范圍.

解析 該題可運用構造函數的方法，令H（x）=f（x）+g（x），通過導數研究函數的性質，討論參數的取值范圍.

例題 （2010年天津）函數f（x）=2x+3x的零點所在的一個區間是（? ）.

解析 此題形式上是方程問題，通過構造函數的思想，可將其轉化為函數圖像交點問題.令f（x）=0，則轉化為-2x=3x，即求函數圖像交點問題，通過大致的圖像可以判斷零點的區間.有時候結合試根法，根據根存在性定理或者尋找伴隨函數可進一步判斷.

例題 （2010年天津理科）已知函數f（x）=xe-x（x∈ R）.

（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），證明：x1+x2>2.

解析 第一種思路：f′（x）=（1-x）e-x.當x∈（-∞，1）時，f′（x）>0，f（x）單調增加;當x∈（1，+∞）時，f′（x）<0，f（x）單調減少.構造函數F（x）=f（1+x）-f（1-x），x∈（0，1）.求導得F′（x）=xe-x-1（-1+e2x）.∵x∈（0，1），∴F′（x）>0，F（x）單調增加，∴F（x）>F（0）=0，即f（1+x）>f（1-x）.換元，令x=1-x1∈（0，1），∴f（1+1-x1）>f[1-（1-x1）]，即f（2-x1）>f（x1）=f（x2），∴f（2-x1）>f（x2），2-x1

第二種思路：由已知條件f（x1）=f（x2）兩邊同時取對數，有1= ln x2-ln x1 x2-x1 ，從而x1+x2=（x1+x2） ln x2-ln x1 x2-x1 = x2+x1 x2-x1 ln x2 x1 = 1+ x2 x1? ?x2 x1 -1 ln x2 x1 .不妨設x11，即證 1+t t-1 ln t>2，可以構造函數g（t）= 1+t t-1 ln t（t>1），即轉化為求解函數最小值問題.

第三種思路：由f（x1）=f（x2），得到ex2-x1= x2 x1 ，不妨設x2>x1，x2-x1=t（t>0），所以目標不等式轉化為x1+x2=2x1+ t= 2t et-1 +t>2，構造函數，即證g（t）min=[（t+2）+（t-2）et]min>0.

第一種思路通過極值點偏移法構造關聯函數，第二、三種思路側重于通過對數手段和齊次化的思想轉化為一元函數的最值求解問題.

類似的題目還有2016年全國卷1：已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.（1）求a的取值范圍;（2）若x1，x2為函數f（x）的兩個零點，證明：x1+x2<2.

對于多元變量不等式或者函數的問題，常用的初等方法有基本不等式、柯西不等式，對于部分的問題，也可以構造拉格朗日函數，轉化為條件極值的問題求解.

例題 （2011年浙江）設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是.

解析 構造條件極值函數F（x，y）=2x+y+λ（4x2+y2+xy-1），λ∈ R，分別求偏導，可得到極值（最值）.這種構造也可以看作一種函數變量升維的思想的運用，即從一元到多元變量函數.

類似的題目還有2010年四川高考第12題：設a>b>c>0，則2a2+ 1 ab + 1 a（a-b） -10ac+25c2的最小值是（? ）.該題的求解也可以通過構造拉格朗日函數求解條件極值來解決.由此可見，一些高考數學題具有高等數學的背景，只不過問題的難度和形式得到了簡化.

6.總結和教學建議

在函數、不等式和方程的綜合問題中，常運用構造思想，初等函數是構造的主要對象之一，還常結合導數，討論函數的參數取值問題.除了構造初等函數外，在中學數學中，圓、兩點間距離、兩點斜率公式、向量內積，甚至行列式也常是構造的目標對象，這體現了數形結合的思想.由此可見，構造是通法，也是代數和幾何之間的“橋梁”.

中學數學中的不等式、函數常和高等數學的微積分關聯，方程問題也涉及線性代數初步知識，即一次線性方程既可以構造為兩個向量的內積，也可以構造為行列式的計算.從高觀點來重新認識、解釋和理解中等數學的內容具有一定的意義.

例如 （2016年上海）設a>0，b>0，若關于x，y的方程組ax+y=1，x+by=1無解，則a+b的取值范圍是.

解析 從線性代數的角度，二元一次方程組可轉化為系數行列式的問題.文獻[5][6]也從大學角度、高觀點角度對中學數學一些概念和知識的講解提供了一些建議和思路.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]M 克萊因.古今數學思想：第一冊[M].上海：上海科學技術出版社，1979.

[3]劉文匯，劉穎.二次函數在閉區間上的最值問題分析與求解[J].科教導刊，2011（36）： 137-138.

[4]關麗娜，鐘德光，鄭偉庭.誤差思想在數學高考中的應用[J].中學教研（數學），2017（11）： 32-34.

[5]李尚志.大學視角下的中學數學（導數）[J].數學通報，2019（7）： 1-4.

[6]李尚志.大學視角下的中學數學（泰勒展開）：續[J].數學通報，2019（9）.