基于全息干涉圖的物體三維面形重建算法

文/劉溫彥

1 引言

三維面形測量在目標檢測、產品檢驗、材料分析、生產制造、文物修復等領域具有廣泛應用。目前的形貌測量分為兩大類：接觸式測量和非接觸式測量，非接觸式測量方法即在不接觸被測物表面的條件下，可以得到被測物體參數的測量方法，具有測量速度快、精度高、實時、非接觸等優點。目前主要分為電磁學、聲學、光學三大類。基于光學原理的測量方法具有抗電磁干擾、可以微區隱蔽測量等優點，被廣泛應用于各行各業。其中常用的主要有數字全息法、時間飛行法、相位測量法、莫爾條紋法、結構光法、散斑干涉法、雙目及多目立體視覺法等。不同方法針對不同的測量場合，各有優缺點。本文采用高精度、非接觸式邁克爾遜干涉法對物體表面進行三維測量。

2 理論建模

本文所采用的邁克爾遜干涉裝置如圖1所示，激光管LD發出的激光束經擴束系統擴束后，由半反鏡BS分為兩束-反射和透射光束，反射光束經反射鏡M反射形成參考光束，透射光束入射到待測物體表面，由物體反射后即為物光束，兩束光干涉后光強由CCD攝像頭接收，送入計算機進行圖像處理和面形重構。

假定LD發出的是一束平行光（平面波），則參考光束和物光束的復振幅分別表示為：

圖1：干涉裝置，LD：激光管；BS：半反鏡；M：反射鏡；M1：M相對于BS的對稱位置；CCD：攝像機；PC：計算機

其中aR和φR分別為參考光束的振幅和位相，aO(x,y)和φO分別為物光束的振幅和位相。如果物體表面起伏用z(x,y)表示，那么CCD所接受到的干涉光強為：

3 不同物體表面的二維干涉圖

根據上述理論模型，我們針對不同形狀的物體表面（包括平面、凹球面及凸球面）進行理論計算，可以得到不同的二維干涉條紋圖。

如果物體表面為平面，并且與系統光軸（z軸）垂直，則z(x,y)為常數，無干涉圖案。如果物面是與M1（鏡面M關于BS的對稱面）夾角為θ的平面，則物光、參考光位相差表示為假定aR=aO(x,y)=1,λ=0.405μm，θ=18°，并將它們代入方程（1），我們可以得到平面物體二維干涉條紋分布如圖2a所示。從圖中可以看到，干涉圖是一系列平行直條紋，條紋的間距跟傾角θ有關。

當待測面為凸面時，物、參考光的位相差為φO-φR=2k[z(x,y) ]=2k[L-(x2+y2)/2R]，將此式及aR=aO(x,y)=1,L=3μm,R=10μm,λ=0.405μm代入方程（1）可得干涉圖如圖2b所示，從圖中可以明顯看出，干涉圖是同心圓環，中心為暗紋，而且環間距從中心到邊緣逐漸減小。

當待測面為凹球面時，物光與參考光位相的不同表示為φO-φR=2k[Lz(x,y) ]=2k[L-(x2+y2)/2R]，將此式及aR=aO(x,y)=1,L=0,R=10μm,λ=0.405μm代入方程（1）可得干涉圖如圖2c所示，從圖中可以明顯看出，干涉圖同樣是同心圓環，而且環間距也是從中心到邊緣逐漸減小。與凸面所得干涉圖不同的是中心為亮干涉場，這是因為中心位置條紋的光強與物體表面開口和M1的間距L有關。

4 面形重建

如果圖1中CCD所采集到的干涉圖的光強分布為I(x,y)，對此光強進行信息處理和解調重建物體的三維表面形貌。步驟如下：首先我們對光強I(x,y)進行菲涅爾近似或者菲涅爾變換，得到如下方程：

其中d是重構表面和CCD攝像頭之間的距離，uR*(x,y)為參考光束的復共軛光束，λ為LD激光的波長。由此式子計算出Γ(ξ,η)后，我們可以得到物體表面的光強（振幅）分布及位相，表示為：

角度函數的分子和分母分別表示函數Γ[ξ,η]的虛部和實部。

圖3a是一個任意表面物體的二維干涉條紋圖，從圖中可以看出，該圖是關于y軸基本對稱的圖形。圖3b是利用上述方法，將參數d設為與L同量級的常數，將參考光復共軛光束uR*(x,y)設為常數（因為參考光是平面波），代入公式經過計算解調后，重新構建的物體的三維表面形貌圖，從圖中可以明顯的看出該物體表面是關于y軸對稱的曲面。

圖2：物體為平面

圖3：任意曲面干涉條紋圖（a）及重建的三維表面形貌（b）

5 結論

本文利用邁克爾遜干涉裝置及雙光束干涉法建立物體表面形貌測量的二維干涉模型，并以平面、凹球面和凸球面為例，給出相應的干涉光強分布圖，他們分別為平行直條紋圖、同心圓環圖，而且條紋間距與平面和光軸夾角有定量關系，圓環間距與球面半徑的大小有關。最后給出三維形貌重構的理論模型，并以任意曲面干涉強度分布為基礎，采用菲涅爾近似或者菲涅爾變換的方法給出物體表面的振幅和位相，從而重建出物體表面三維形貌。文中涉及方法簡單、實時性好，對于面形的非接觸、高精度測量具有重要的應用前景。