傾斜巖面樁樁端豎向承載力計算方法

孫義舟，童建富，齊添，孫宏磊，蔡袁強

(1.浙江大學濱海和城市巖土工程研究中心，浙江杭州，310058；2.浙江金瑞建筑設計院有限公司，浙江杭州，310003；3.廣州環(huán)保投資集團有限公司，廣東廣州，510330)

隨著我國基礎設施建設的全面開展，許多公路需要在山區(qū)修建。山區(qū)巖體狀況復雜，許多樁基需要修建在傾斜的基巖巖面上，按照水平巖層分布進行設計比較危險，而增大嵌入比則會增大工程造價，同時給施工帶來困難。對于嵌巖樁而言，樁端承載是其主要承載形式，因此，對傾斜巖面樁豎向樁端承載能力的評價與破壞機理的分析對工程建設有著重要意義。針對傾斜巖面嵌巖樁承載特性，國內外許多學者從不同方面展開了試驗研究和理論分析。陳帝江[1]從理論分析角度對比研究了平坡樁基與斜坡樁基豎向承載機理的異同，并利用有限元軟件進行了數值模擬。葛嘉誠等[2]利用克里格插值法對貴州某峽谷區(qū)斜坡基巖嵌巖樁進行空間分析，認為斜坡嵌巖樁的承載性能受嵌入度和基巖傾角影響。上述研究成果對傾斜巖面嵌巖樁的承載機理進行了定性分析，但具體理論和數值定量求解還尚未完善，因此，一些學者通過數學推導建立理論框架，對斜坡樁基承載機理進行深入分析。楊明輝等[3]采用冪級數解得到了斜坡樁的內力與位移分析方法。張洪波[4]研究了陡坡橋梁樁基的承載機理及荷載豎向傳遞機理。程劉勇等[5]總結了斜坡樁基豎向極限承載力的變化規(guī)律及其影響因素。MUTHUKKUMARAN等[6]通過室內模型試驗研究了斜坡地基中單樁水平受荷的承載機理。趙明華等[7-8]揭示了考慮陡坡效應和嵌固深度效應的高陡坡樁柱式橋墩的承載機理并提出適用于工程的簡化計算方法，在此基礎上，楊超煒等[9]推導了具有“P-Δ”效應的陡坡雙樁結構分析方法。為更清晰表述破壞的開展和應力應變關系，應用滑移線場理論求解斜坡嵌巖樁豎向承載力和承載機理是一種十分重要的手段。SERRANO等[10]引入瞬時內摩擦角，提出了基于滑移線場Riemann常量和Hoek-Brown非線性破壞準則[11]的嵌巖樁荷載系數。SERRANO等[12]將該方法與FLAC軟件數值分析結果進行了對比。傾斜巖面樁基豎向承載機理和承載力計算的研究多針對數值模擬和試驗研究方面，而利用滑移線場理論求解是一種概念清晰且直觀的方式，有必要對此開展研究。本文作者根據水平巖面樁基滑移線求解理論[10]，基于Hoek-Brown強度準則[11]和Meyerhof塑性理論[13]，建立傾斜巖面樁樁端豎向承載模型，研究巖面傾角、樁嵌入比等因素對樁端承載力的影響，總結了傾斜巖面樁基樁端豎向承載力計算方法，以期為相關工程設計和理論研究提供參考。

1 計算模型與假設

由于巖面傾斜導致的樁側巖體非對稱分布，缺失巖體部分的樁前區(qū)域首先發(fā)生破壞，從而使得傾斜巖面樁極限承載力由單側破壞標準來確定，破壞模型如圖1所示，其中，η為巖面傾斜角度；α為滑動破壞面與水平面夾角，轉角取逆時針為正；σv為上覆壓力；HS為樁在土體中長度；HR為樁端嵌入巖體的深度；B為樁徑。

根據MEYERHOF[13]提出的基礎破壞模型和理想塑性理論，首先建立直徑為B的樁嵌入傾斜巖面的平面應變分析模型。嵌入比其中，為樁前一側嵌入深度。采用文獻[10]中方法對帶星號參數進行量綱一化，用不帶星號的符號表示。

圖1 破壞狀態(tài)示意圖Fig.1 Schematic graph of state of destruction

1.1 基本假設與破壞標準

1.1.1 基本假設

采用水平巖面樁基滑移線求解理論[10]假設：

1)計算采用平面應變假定；

2)巖體無黏聚力，均質且各向同性，視巖體為遵循Hoek-Brown準則的C-φ材料；當應力達到Hoek-Brown的強度標準時，判定巖體破壞，達到極限承載力，并假定巖體的變形不經歷應變硬化過程；

3)破壞區(qū)域假設，根據MEYERHOF[13]提出的滑移線場確定樁端破壞區(qū)域；

4)滑移線場假設，應力和應變的滑移線場相同。

1.1.2 Hoek-Brown強度準則

Hoek-Brown強度準則[11]是一種用于研究巖體力學特性十分有效的經驗準則，其表達式如下：

式中：為大主應力；為小主應力；σC為完整巖體的無側限抗壓強度；m和s為Hoek-Brown理論的巖石特性參數，分別代表巖體的軟硬程度和破碎程度，可通過巖石類型m0和地質力學指數R或Hoek-Brown理論(1997版)的GSI指數[14]得到：

根據Hoek-Brown理論[14]，當天然巖體未擾動時，a=28，b=9。

1.2 應力參數與瞬時內摩擦角

根據SERRANO等[15]提出的簡化過程，采用平均應力p*和應力圓半徑q*替代和可得

式中:β為強度模量，ξ為巖石的抗拉強度，。

為簡化表達Hoek-Brown準則，對p*和q*進行量綱一化，式(4)可以寫成

根據SERRANO等[15]定義巖石瞬時內摩擦角ρ為

量綱一化參數q和p可采用瞬時內摩擦角表示：

在應力坐標系中，量綱一的Mohr應力圓坐標可表示為瞬時內摩擦角ρ的函數：

根據上述Mohr應力圓坐標表示形式，瞬時內摩擦角可表示為

1.3 計算方法

1.3.1 計算模型

在平面應變假設下，極限承載力σh垂直于作用樁底面(邊界2)，滑動面(邊界1)與水平面夾角定義為角度α，樁端應力關系如圖2所示。

圖2 滑移線場的應力關系示意圖Fig.2 Schematic graph of stress relation of slip line field

1.3.2 假定滑動面

為方便分析，假定滑動面傾角α為已知，以覆蓋層壓力hm為計算的切入點，首先計算OCD三角形區(qū)域的質量W*：

式中：α為滑動面傾角；γR為巖體重度。

巖石自重部分的平均上覆壓力hmR為

考慮土體自重：

式中：γS為土體重度。

對于與邊界1平行的應力分量t1及垂直的應力分量s1，有：

應力圓示意圖如圖3所示，其中，G圓代表大主應力圓，S圓代表小主應力圓，P為邊界1上的點。由圖3可知：可能存在2種類型的上覆壓力，即被動壓應力和主動壓應力；當hm小于巖石無側限抗壓強度σcm時，邊界1上的應力條件可能出現在應力圓上的任何位置；當hm大于σcm時，邊界1的應力條件僅可能出現在應力圓的部分區(qū)域，其中，位于TL1和之間的應力因超過破壞標準故不存在，位于和0之間的潛在應力條件在實際中也不會出現。

圖3 應力圓示意圖Fig.3 Schematic graph of stress circle

在實際中，小主應力圓的狀態(tài)較為常見，最具有研究意義，故本文僅對的情況進行分析。

對于巖面傾斜的情況，傾角α可能為負(逆時針轉角為正)，應力條件仍可在應力坐標系中表示出來，相應的應力方向和強度準則的判定則隨傾角α的正、負而直接改變，Hoek-Brown強度準則包線以應力坐標系橫軸σ為對稱軸進行翻轉。

1.3.3 邊界1應力圓分析

施加在假定滑動面OC的上覆壓力σv和破壞面所承受的應力f與極限承載力σh相平衡(如圖4所示)，若這種平衡被打破，即發(fā)生破壞。

巖面傾角對于承載力的影響體現在滑動面傾角α，通過對α的分析可得到ρ1的求解方法。結合圖3的幾何關系，可得

圖4 破壞區(qū)域應力關系Fig.4 Stress relation of failure zone

式中：p1和q1為取決于瞬時摩擦角ρ的應力參數。

由式(17)可得，假定滑動面邊界1的傾角α的表達式為

對于給定的hm，若α已知，則可確定ρ1，反之亦然。

當α>0時邊界1的Mohr圓如圖5所示。由圖5可知：邊界1相對于豎軸的大主應力傾角為

此關系式為邊界1確定了大主應力σ1I的方向。從圖5中的幾何關系還可以推導出角度ε：

其中，邊界1和邊界2的大主應力σ1I與應力場的特征線方向形成的角度μ1和μ2分別為：

圖5 α>0時邊界1的Mohr圓Fig.5 Mohr circle of boundary 1 whenα>0

1.3.4 Riemann常量的傳遞與轉化

根據滑移線的性質[16]，沿一條滑移線上的Riemann積分常數相同，即可由已知邊界的應力條件求得待求邊界上的應力，并由此得出樁端的極限承載力。

對于邊界1和邊界2，有[10]：

其中：C為固定常數；

鑒于實際情況下傾斜巖面樁荷載為垂直荷載，邊界2主應力傾角為0°，即

1.3.5 嵌入比n

由圖1所示幾何關系，嵌入比n可表示為

根據SERRANO等[15]的滑移線場結論，OABC區(qū)域有特定比例關系：

在塑性區(qū)中，下式成立：

在樁底三角形O'OM的塑性區(qū)域，有

由三角函數關系可得DOC區(qū)域的關系，有

嵌入比n和其他量的關系式為

1.3.6 極限承載力

綜上所述，在已知上覆荷載hm、嵌入比n、巖面傾角η和巖石強度參數ξ的情況下，通過聯立式(8)，(18)，(20)，(24)和(30)，可得到6 個方程，求解6個未知量(α，q，p，ρ1，ρ2，ε)，方程可解。

由于本非線性復雜方程組人工推導求解困難，故基于MATLAB軟件編程求得數值解。

現已知邊界1和邊界2對應的瞬時內摩擦角ρ1和ρ2，可得到邊界2的應力參數：

施加在邊界2上的應力σ2為垂直應力，主應力如下：

樁底垂直應力即樁端極限承載力表達式為

式中：NSβ為平面應變假設下的傾斜巖面嵌巖樁樁端荷載系數，

上述樁端承載力基于平面應變假設獲得，但實際情況中必須考慮到樁的空間效應。為此，根據BEER[17]提出的關于樁的空間效應影響理論，引入傾斜巖面嵌巖樁形狀系數sβ：

平均內摩擦角ρm與Hoek-Brown準則的斜率角度θ有以下關系：

因此，平均內摩擦角可由下式確定：

考慮空間效應后的荷載系數NSβP，有

乘以系數β得到極限承載力：

2 算例

選取中等強度巖體材料[18]進行算例分析，參數如表1所示。

當巖面傾角0°時，模型轉化為水平巖面嵌巖樁樁端承載力的計算，按照水平巖面嵌巖樁滑移線理論[10]進行計算，可得樁端豎向極限承載力為55.04 MPa，與采用本文提出的計算方法求解的樁端承載力結果一致。

表1 材料參數Table 1 Material parameters

3 參數研究

3.1 不同巖面傾角下嵌入比對承載力的影響

在上覆荷載hm=0.1和樁徑為1 m的條件下，研究在不同巖面傾角下斜坡嵌巖樁的樁端承載力與嵌入比的關系，其中承載力以荷載系數NSβP體現。

圖6所示為不同巖面傾角下樁嵌入比與荷載系數的關系曲線。從圖6可知，隨嵌入比增大，傾斜巖面嵌巖樁荷載系數NSβP呈增大趨勢，樁端承載力逐漸增大；當嵌入比較小時，巖面傾角越大荷載系數越小；當嵌入比增大至一定值后，不同巖面傾角的傾斜巖面樁的承載力逐漸接近，達到某一定值時荷載系數不再增大，各巖面傾角狀態(tài)下的樁端承載力一致，定義此狀態(tài)嵌入比為極限嵌入比。

由圖6還可知：當巖面傾角較小時，荷載系數增長率隨嵌入比增大而減小；而當傾角較大時，增長速率呈先增大后減小趨勢，說明巖面傾角越大，對樁端承載力的影響越顯著；當達到極限嵌入比時，巖面傾角對樁端承載力無影響。

圖6 ξ=0.005時嵌入比與荷載系數關系曲線Fig.6 Relationship between embedding ratio and load coefficient whenξ=0.005

3.2 不同巖面傾角下嵌入比對滑動面傾角的影響

在上覆荷載hm=0.1和樁徑為1 m的條件下，研究不同巖面傾角下嵌入比與滑動面傾角的關系。圖7所示為不同巖面傾角下樁嵌入比與滑動面傾角α的關系曲線。

圖7 ξ=0.005時嵌入比n與滑動面傾角關系曲線Fig.7 Relationship between embedding rationand dip angle of sliding surface whenξ=0.005

從圖7可知，嵌入比n=0時所對應的α即為巖面傾角，隨嵌入比增大，滑動面傾角α逐漸增大，或由負轉正呈增大趨勢；與圖7所示關系類似；當嵌入比較小時，巖面傾角越大α越小，即可能為負值；當嵌入比增大至一定值后，不同巖面傾角情況的α逐漸接近90°，達到極限嵌入比時α趨近90°，并基本保持不變。

由圖7還可知：當巖面傾角較小時，傾角α增長率隨嵌入比增大而減小，而當傾角較大時，α的變化率呈先大后小趨勢，這說明巖面傾角越大，對滑動面傾角的影響越顯著；當達到極限嵌入比時，巖面傾角對滑動面傾角無影響，α均趨近90°。

3.3 巖石抗拉強度ξ的影響

由圖8可知：ξ與極限嵌入比大致呈反比例關系，ξ愈大則該巖體的嵌巖樁極限嵌入比愈小。樁端巖體為小主應力破壞情況，即時，根據圖8的曲線可確定不同巖石抗拉強度ξ所對應的極限嵌入比，該情況工程實際中也較為常見。例如，當巖體ξ=0.005時，僅在hm<0.2時可利用圖8查得樁極限嵌入比。

圖8 巖石抗拉強度ξ與極限嵌入比關系曲線Fig.8 Relationship between tensile strength ξ of rock and ultimate embedment ratio

圖9 巖石抗拉強度ξ與最大荷載系數NSβP關系曲線Fig.9 Relationship between tensile strength ξ of rock and ultimate load coefficientNSβP

圖9中ξ所對應的NSβP是在極限嵌入比狀態(tài)下得到的，即為最大荷載系數，表示該巖體所能達到的最大樁端承載力。由圖9可知：ξ愈大，則巖體的最大樁端承載力愈大，最大荷載系數的增長率減小，說明ξ對最大承載力的提升效果逐漸減弱。

4 結論

1)在不同巖面傾角下，嵌入比愈大，樁端承載力愈大，且?guī)r面傾角越大，對于樁端承載力的影響越顯著。當達極限嵌入比時，同種巖體的不同巖面傾角下的樁端承載力均達到最大。

2)在不同巖面傾角下，嵌入比愈大，滑動面傾角愈大，且?guī)r面傾角越大，對于滑動面傾角的影響越顯著。當達極限嵌入比時，同種巖體的不同巖面傾角下的滑動面傾角均趨近90°。

3)巖石抗拉強度與極限嵌入比大致呈反比例關系，提出在樁端巖體為小主應力破壞情況下的巖石抗拉強度-極限嵌入比關系曲線。巖石抗拉強度愈大，最大荷載系數愈大且增長率逐漸減小。