在問題中引領 在變式中提升

章禮滿

[摘? 要] 圖形面積的最大值是“二次函數與一元二次方程”的一個重要內容，也是一個難點，在常態的教學過程中，如何通過問題和問題鏈來引領學生的思維生長，如何通過課堂的變式來促進學生能力的提升是教師需要重點研究的關鍵點. 筆者結合文章談談如何通過問題和變式達成良好的教學效果.

[關鍵詞] 問題;變式;思維;圖形面積的最大值;教學策略

在深入踐行核心素養落地生根的過程中，我們要不斷挖掘數學的學科價值和學科魅力，加強學科素養中關鍵能力的進階滲透. 在二次函數的教學過程中，我們需要注重二次函數與一元二次方程的融合應用，在應用中促進學生對相應知識與技能的掌握，也通過教學環節的變通與實踐，促進學生核心素養的落地生根.

■ 價值剖析，挖掘學科價值

在二次函數與一元二次方程的融合應用中，我們需要將二次函數與一元二次方程的價值和共性進行挖掘和剖析，讓學生在分析與對比中再次對二次函數和一元二次方程進行自發的鞏固與復習，并在教師的引領下達成學以致用. 比如，以“長方形和窗戶透光最大面積問題”為例，在分析與對比中建構數學模型，將模型思想再次植入學生的思維習慣之中，讓數學思想引領學生的思維生長，也讓學生在真正的應用中深刻感受數學應用的價值，學會分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識解決實際問題.

在這個環節中，教師需要在教學活動實施前進行充分的剖析和挖掘，需要搜集相應的應用類的情境、模型、數據等，另一方面要進行巧妙的情境創設，讓學生的學習興趣、學習欲望隨之生長，達成學習內驅力的充分激發. 這樣的價值剖析、魅力彰顯，能有效地提高教學內容的價值，促進學習效能的提升.

■ 例題漸析，問題引領生長

學習不是一蹴而就的，而是循序漸進的，尤其在新授課的過程中，教師在備課的過程中要充分分析學情與學材，明晰二者的關系將會真正引領學生的思維生長，促進學生能力的提升. 在這節課的教學過程中，筆者采用典型例題的逐漸剖析，以及問題鏈的形式來啟發學生的思維，采用追問、反問、駁問、曲問等形式，讓學生的思維隨著問題的內容而迂回曲折，真正達成能力與思維的并進. 比如，筆者在這節課中選擇了如下一道經典例題，來幫助學生達成對相應內容的突破.

例1? 如圖1，矩形ABCD在直角三角形內，AB和AD分別在兩直角邊上.

（1）設AB=x cm，那么AD邊的長度如何表示？

（2）設矩形ABCD的面積為y m2，當x取何值時，y的最大值是多少？

在例題的揭秘過程中，讀題、剖析題目是第一位的，在這種基礎之上，讓學生去做、去分析是至關重要的. 我們采用如下問題來突破.

問題1：已知兩條直角邊分別是30 cm和40 cm，你還知道哪個量？

問題2：圖形有幾個三角形，這些三角形又是什么關系？

問題3：如果AB=x ，那么x與兩條直角邊之間是什么關系？

問題4：BC=AD，要求AD與x的關系，是否可以先求BC與x的關系？

在此，第一個問題鏈也就輕松建構起來，學生可以通過剖析圖形找到相似三角形的關系，結合已知邊的大小，建構已知量與x的關系，問題迎刃而解. 而解決第（2）問也是本題的關鍵所在，我們同樣可以采用下面的問題鏈來突破.

問題1：矩形ABCD的面積怎么求？

問題2： AD=■已經知道，那么面積能否用關于x的等式來表示呢？

問題3：設面積為y m2，那y和x的表達式能表示嗎？

問題4：y和x的表達式是一個二次函數，你能把這個二次函數的圖像特點描述一下嗎？

問題5：你能求解這個二次函數的最值嗎？此時的x取多少？

這樣的分析步步為營，環環相扣，教師的問題不僅啟發了學生的思維方向，也教會了學生如何分析、如何突破. 如此，將一個復雜的大問題，慢慢轉化為一個個小問題，達成“授之以漁”的效果，讓學生在問題的分解中達成對方法的提煉.

■ 多元鞏固，變式促進生長

基于現有例題的多元鞏固、變式、變通、拓展是全面提升學生對例題的理解的關鍵，也是讓學生全面生長學習能力的關鍵策略. 在變式的過程中，我們要注重方法與策略、進階與多元.

1. 同等變式，熟能生巧

這種變式是基于同種問題類型的變式與變通，從方法與技能的廣度上能促進學生在有效的變式訓練中達成熟能生巧. 為了激發學生的興趣，筆者制作了如下的變式挑戰小卡片.

變式1：如圖2，在Rt△ABC中，AC=3 cm，BC=4 cm，四邊形CFDE為矩形，其中CF，CE在兩直角邊上，設矩形的一邊CF=x cm. 當x取何值時，矩形ECFD的面積最大？最大是多少？

變式2：如圖3，在Rt△ABC中，作一個長方形DEGF，其中FG邊在斜邊上，AC=3 cm，BC=4 cm，那么長方形DEGF的面積最大是多少？

變式3：如圖4，已知△ABC，矩形GDEF的DE邊在BC邊上，G，F分別在AB，AC邊上，BC=5 cm，S△ABC為30 cm2，AH為△ABC在BC邊上的高，求矩形GDEF的最大面積.

在實際的訓練過程中，我們可以結合學生的基礎對變式1和變式3進行變通，基礎薄弱的學生重點關注變式1和變式2，基礎較好的學生重點關注變式2和變式3，或者只關注變式3.

2. 拓展變式，深入剖析

拓展性變式是基于原先例題的提升與拓展，重點讓學生在原先的基礎上面對更為復雜的數學模型情境，面對更為隱蔽的信息等等. 此時需要學生進一步分析數學情境中的數學模型，建立函數模型，讓二次函數的表達式得以明了，也借此達成學以致用的效果，如變式4.

變式4：某建筑物窗戶如圖5所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形. 制造窗框的材料總長（圖中所有黑線的長度和）為15 m. 當x等于多少時，窗戶透過的光線最多（結果精確到0.01 m）？此時，窗戶的面積是多少？

在這道題目中，我們可以發現“造窗框的材料總長（圖中所有黑線的長度和）為15 m”，這一信息較前面的題目更隱蔽一些，需要學生分析圖形中的關系，從而建構x，y與已知量15之間的關系，進而結合半圓形面積和矩形面積的求和達成面積的關系式，再結合二次函數來完成求解.

通過以上兩個環節的變式和剖析，學生對所學內容有了一個較為深入的認知和鞏固，無論是方法上還是技能上，或者思維上，都得到了較為精準的提升.

總之，學生在課堂上的能力生長和思維進階都需要教師巧妙而科學的設計，這種設計一方面是基于學生的學情，達到因材施教、以學定教，另一方面是按照學材的要求，滿足國家課程對學生的要求，以此確保學生能滿足社會發展的需要，能更好地適應社會的發展.