淺談線性代數課程建設的研究與實踐

范英梅 劉新和 覃菊瑩

摘要：本文結合教學團隊的一些教學實踐，從線性代數的作用出發，以扎實學生數學基礎及培養學生在實際問題中運用數學思想和方法的應用能力為目標，從提高教學質量與創新教學方法等方面進行課程建設的探討研究。

關鍵詞：大數據;重要性;教學質量;學習能力

一、線性代數的重要性

2018年1月3日李克強總理在國務院常務會議上提道：“數學特別是理論數學是我國科學研究的重要基礎。我到一些大學調研時發現，能潛下心來鉆研數學等基礎學科的人還不夠多。”李克強說，“無論是人工智能還是量子通信等，都需要數學、物理等基礎學科作有力支撐。我們之所以缺乏重大原創性科研成果，‘卡脖子就卡在基礎學科上。”發言突出強調了數學等基礎學科對提升原始創新能力的重要意義，此次會議最終確定了加大技術支持基礎教育科學發展研究的多項措施。

（一）線性代數與大數據

在社會的眾多領域中，各種決策通常依賴數據及其分析而做出。繁雜的數據需要進行大量的簡化與處理才能進行具體分析，在機器學習上這點要求尤為突出。而許多處理數據的算法嚴重依賴線性代數。

線性代數是數學的一種連續形式，并在科學界和工程界中得到廣泛應用，因為它可對自然現象進行建模并有效地對其進行計算。在基于大數據科學的自動數據處理廣泛應用的當下，線性代數已構成了多種理論和算法基礎的重要部分，它的概念是理解機器學習背后的理論的關鍵先決條件，尤其是在使用深度學習算法的情況下。

（二）線性代數的作用

隨著現代科學技術的發展，特別是計算機技術在數據處理方面的廣泛應用，使得線性代數逐漸成為科技工作者的一個重要的數學工具。數據中單個變量及復數變量間的關系都可通過線性代數進行研究，對非線性問題通過必要的處理就能使它線性化，從而各種實際問題在大多數情況下就可以線性表出，使其便于使用計算機處理。

線性代數對整體公共數學而言是一門重要的基礎課程，是學生學習其他后續課程的必要基礎，是大數據處理中不可或缺的重要介質和工具。線性代數在大學教育過程中，通過讓學生接觸從具體概念抽象出的思想方法和推理論證過程，對其抽象思維、邏輯推理及計算能力起到了相當重要的培養作用。

由上所述，線性代數的教育方向和急需學生掌握的內容已躍然紙上，作為線性代數教學改革研究和實踐團隊的教師們，可以通過大數據時代創新人才對線性代數的實際應用需求來計劃線性代數在教學中的側重內容和教學方式的改革方向，凸顯線性代數教學為創新人才培養服務的思維，利用大數據平臺制定相應的計算機實驗應用課程及創新設計以實現理論學習和實戰能力的同步培養。

二、線性代數在實際教學中存在的問題分析

（一）學生的基礎知識層次不同

隨著高等教育在我國的普及化使得高校連年擴招，但各地區基礎教育水平存在的客觀差距導致近來的高校新生數學基礎掌握程度參差不齊，其接受知識的能力有較大差距，學生剛接觸線性代數時，對其內容及包含的數學思維會比較陌生，需要花一段時間去接受和適應。

可將學生大致分為四個層次：基礎差、理解能力差，缺乏學習動機的學生;基礎和理解能力差，但學習動機高的學生;基礎和理解能力良好，學習熱情均為中等的學生;具有良好的基礎、較強的理解力和學習興趣的學生。

不同的基礎、興趣導致學生們在對線性代數的學習上有著動機方面的差異。

（二）教材狀況與教學質量的關系

線性代數這門課在同期數學課程中，理論顯得較為抽象，難以提煉。國內主流的線性代數教材編寫時著重羅列準確的結論和完備的證明，卻缺乏對線性代數中抽象概念的通俗化解釋，但掌握各種抽象概念正是理解線性代數的關鍵部分，且這些概念具有很強的連貫性，若獨立分節來看有概念間思維跳躍、變化快之感。

線性代數大體上包括：行列式、矩陣、線性方程組、向量組線性相關性、二次型、線性空間與線性變換等內容。由于線性代數的知識體系是一個個獨立的“塊狀”，而解決問題的思維模式則是采用多元整合的方式。線性代數在內容的描述方式上有它的特殊性：既有使用代數語言來進行描述（如行列式、矩陣和線性變換等），又有使用幾何語言來進行描述（如向量和向量空間等），坐標體系不同則思維不同，要求思維要隨坐標體系的變化而變化。

如何在編寫教材中將各個孤立的“塊狀”知識聯結起來，引導學生轉換思維模式，從抽象概念中構建出具體而連續的公理系統，方便學生較快地理解和掌握是一線教學者面臨的重要課題。這一課題涉及知識與思維的聯系及理論與實際的聯系，是我們在教學實踐中面臨的新挑戰。

三、線性代數教學現狀及改良方向

（一）教學側重理論，實踐沒有跟上

由于線性代數理論抽象、邏輯嚴密的特點，教師在教學中通常著重于概念和理論知識的解釋，卻很少聯系具體應用場景的事例，使得學生不知為何而學。

在具體教學中，一般規劃30—40學時給線性代數課程。概念多、內容抽象、學時少也是線性代數在實際教學中的特點和難點。傳統的教學方式重在讓學生嚴格根據教材學習線性代數，人為地割裂了現實世界與數學理論方法間的關系，學生總是被動地接受知識，缺乏主動思考的動力，興趣缺失，也就談不上主動地通過學習去鍛煉自己的思維能力和實踐能力。

（二）加強教師的責任心，提高自身素質

由于學生基礎存在不同差距，線性代數概念的抽象性，嚴謹的邏輯思想以及相對獨立的解題思想方法和大量煩瑣的計算，會使相當部分學生感覺難以接受。盡量照顧到各個層次的學生以及講授知識時減輕學生的乏味感，是教師教學中的一項長期挑戰。

在教學過程中，在講解概念時適當引入知識背景，闡述其產生的因果及實際應用，有助于使學生感覺到它的內在活力。并且要注意將前后各個孤立的“塊狀”知識聯結起來，引導學生構成一個有序的整體思維，在每個知識節點上，設置一些實際問題供需要的學生進行思考。這樣傳授知識和延伸知識，既能盡量使基礎差的學生學習不太感到吃力而喪失學習動力，也使優秀學生在輕松學習的前提下，更能有攻克難題及解決應用問題的進取心。同時也能培養學生邏輯思維能力及其在實際問題中運用數學的思想和方法。

這些操作對教師提出了更嚴格的要求，把教師從傳統的知識傳播者轉變為兼顧解決其他學科或實際應用問題中的一些問題的引導者。要做好這些工作必需從學科專業、信息技術、教育藝術、創新能力等方面提升自身專業素養。但是每位教師的精力有限，教師間需要分工合作，讓有傳統教學經驗的老教師給大家介紹如何把線性代數的基本知識前后更好地連貫起來，讓年輕的老師把時間花在應用型問題的研究上，并幫助老教師學習信息技術，更有效率地提高整個團隊的教學能力。

（三）結合具體數學應用軟件，培養學生解決實際問題的能力

教師在教學時，結合教學內容，要求學生手工做一些簡單習題后，課后布置一些簡單實際問題，指定學生利用計算機通過數學軟件編寫簡單程序完成。迫使學生接觸并學習相關數學軟件的使用和一些解題的基本編程方法，使其能融會貫通到其他學科的知識。

例如，在讓學生學完用行列式的性質把一個行列式化為上三角形行列式來計算后，強調這個方法看起來復雜而且簡單數字計算枯燥乏味，但它有很重要的理論意義，因為大部分用于計算行列式的計算機程序是按上述方法進行設計的。要求學生課后用Matlab、Mathematica等數學軟件計算幾個高階行列式。

在講解完矩陣的基本運算和矩陣的逆矩陣后，要求學生手工計算一些低階矩陣的線性運算、乘法運算及求矩陣的逆矩陣后，同樣要求學生利用數學軟件求高階矩陣的運算及方陣求逆。

在講解矩陣的初等行變換時，把一個矩陣用初等行變換法化為行階梯形矩陣，進而化為行最簡形矩陣這個過程時，雖然看起來都是簡單數字的加減或乘法，同樣要強調它具有很重要的理論意義，它是應用計算機計算高階一般線性方程組等多種問題的計算機編程的理論依據和編程的方法。

特別是在介紹學生中學就熟悉的消元法求解線性方程組時，可強調線性代數中轉化為利用矩陣的初等行變換把增廣矩陣化為行最簡形矩陣來求解的重要思想方法。課后再會給出一些實際應用的問題，例如假設某個城市的部分單行街道的交通流量（每小時候通過的車輛數），要求學生建立交流模型，得到一個高階線性方程組，并利用數學軟件來求解。

另外，我們根據不同的專業選擇一些相關的實際問題的簡化范例，供學生選擇去利用線性代數知識來解決。通過使用數學軟件和基本的編程方法的學習，由淺入深、環環相扣，以問題來牽引教學及學習，可以使學生改變對線性代數學習那種枯燥無味的壞印象，從而有效地提高學生的學習積極性和學習質量。

（四）建立相對完善的網絡教學

現代教育的主要發展趨勢之一就是網絡化和信息化。在課堂學時不夠的情況下，課后讓學生利用教學班級QQ群或班級微信群進行討論學習，教師也可不局限于現場答疑，而是通過QQ群或微信群等多種方式進行網絡答疑，可以提高答疑的效率與覆蓋面，學生的疑問不再受制于有限的現場答疑時間。同時，學生們可在群組中相互討論、解答各自的疑難，教師可旁觀和指點，這樣不僅可以營造一個正面的學習氛圍，也提高了教師對學生具體學習進度的掌握。此種模式有利于培養學生的探究能力和合作意識，有利于培養良好的學習風氣和實用能力。

有條件的學校，還可利用校園網絡建立網上自主學習系統，適當地選擇一些易于掌握的教學內容讓學生自學。學生通過看教材和網絡視頻等網絡資源主動學習并解決問題，必要時教師根據學生的學習情況，把重點知識利用網絡直播的方式講解，讓學生加深理解。利用網絡不光可以實現在線交互式教學，還能進行網上作業提交和相互批閱以及在線輔導，大大提高了教學效率。

若教師能得到一個較完善的網絡教學環境輔助教學，線性代數課程的教學質量的進一步提高是完全可能的。

五、結語

書本上的知識是死的，需要概念說明或使用公式去表達;同時知識也是活的，它們都是來源于實際生活。在社會大數據的背景之下，到處都蘊含著豐富的知識。適時地應用理論知識聯系實際問題，不僅能訓練學生的抽象思維，還可以培養學生在實際問題中運用數學思想和方法的應用能力，因而從整體對提高線性代數課程的教學效果和教學質量會起到一定的作用。

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課題：本文為2018年度廣西高等教育本科教學改革工程立項項目“大數據時代下線性代數課程建設的研究與實踐”（2018JGB106）的階段性成果

作者簡介：范英梅（1968—），女，漢族，廣西桂林灌陽人，碩士，副教授，研究方向：圖論及其應用;劉新和（1969—），男，漢族，湖南湘鄉人，博士，教授，研究方向：拓撲動力系統;覃菊瑩（1975—），女，壯族，廣西環江人，碩士，副教授，研究方向：高等數學教育、預測與決策方法。