關(guān)于曲率的示范課設(shè)計(jì)

摘要：本文提供了曲率的示范課設(shè)計(jì)思路，融入極限思想和數(shù)學(xué)建模思想，并給出了示教過(guò)程，對(duì)廣大的高校教師在曲率的教學(xué)方面起到了一個(gè)拋磚引玉的作用。

關(guān)鍵詞：曲率;數(shù)學(xué)建模;極限思想

曲率大家并不陌生，然而，想真正上好曲率這節(jié)課卻并不是很簡(jiǎn)單，經(jīng)常容易陷入單純推導(dǎo)公式和做題的尷尬境地。本文在借鑒了前人課程設(shè)計(jì)[1]的基礎(chǔ)上做了深入探討，并給出曲率的示范課設(shè)計(jì)。

1 提出問(wèn)題

火車(chē)是常用的交通工具，當(dāng)火車(chē)在直道上行駛時(shí)，不產(chǎn)生向心力，而火車(chē)在圓弧彎道上行駛時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的向心力mv2R（其中m：火車(chē)的質(zhì)量;v：火車(chē)的速度;R：圓弧的半徑），如果火車(chē)直接由直道進(jìn)入圓弧彎道，向心力就會(huì)由0突變到mv2R，因此容易導(dǎo)致事故的發(fā)生。為了行駛安全可以接入一段緩和曲線在直道和圓弧彎道之間，問(wèn)：接入緩和曲線的原理是什么？緩和曲線的方程如何表示？

這些問(wèn)題的回答都和曲線的彎曲程度有關(guān)，那如何刻畫(huà)曲線的彎曲程度呢？

2 分析問(wèn)題[2]

一般的曲線在不同點(diǎn)處有不同的彎曲程度，因此，需要引入一個(gè)刻畫(huà)曲線上任意點(diǎn)處彎曲程度的量。觀察發(fā)現(xiàn)，在點(diǎn)的小鄰域內(nèi)，任意點(diǎn)的彎曲程度近似相等，因此可以借鑒求瞬時(shí)速度的方法，先求出平均彎曲程度，再求一點(diǎn)處的彎曲程度。通過(guò)下面的實(shí)驗(yàn)說(shuō)明和平均彎曲程度有關(guān)的量。

結(jié)論1：弧長(zhǎng)相同，弧段的彎曲程度增加，切線轉(zhuǎn)角增加，即兩者成正比;

結(jié)論2：切線轉(zhuǎn)角相同，弧段長(zhǎng)度減少，彎曲程度增加，即兩者成反比。

下面刻畫(huà)弧段MM′彎曲程度的平均值。

假設(shè)C是一段光滑的曲線，M0是度量弧長(zhǎng)s的基點(diǎn)，規(guī)定曲線的正向是x增大的方向，M是曲線上任意一點(diǎn)，有向弧段M0M的值s規(guī)定如下：M0M=s;M0M的方向與曲線的正向一致時(shí)s>0，相反時(shí)s<0。顯然，s是x的單調(diào)增函數(shù)。

由結(jié)論1、2可知，可以用單位弧段上切線轉(zhuǎn)角的大小來(lái)刻畫(huà)弧段MM′的平均彎曲程度，由于曲線的彎曲程度和彎曲方向無(wú)關(guān)，所以，記MM′的平均彎曲程度K-=ΔαΔs，稱(chēng)之為平均曲率。根據(jù)前面的分析，如果平均彎曲程度的極限狀態(tài)存在，這個(gè)極限值就是曲線在點(diǎn)M處的曲率，記為K，K=limΔs→0ΔαΔs。

下面計(jì)算一下圖4的曲率。

練習(xí)：求半徑為R的圓上任一點(diǎn)的曲率。

解：Δs=R·Δα，K=limΔs→0ΔαΔs=1R

結(jié)論：圓上任一點(diǎn)的曲率相同。R越大，圓弧彎曲的越小;R越小，圓弧彎曲的越大。

為了更好地解決一般曲線在任意點(diǎn)的曲率問(wèn)題，這里有必要討論利于計(jì)算的曲率的計(jì)算公式。

如圖3，曲線C的方程為y=f（x），該函數(shù)二階可導(dǎo)，點(diǎn)M處曲線的曲率為K，K=limΔs→0ΔαΔs=limΔs→0ΔαΔs=dαds

由前面學(xué)習(xí)的結(jié)果可知ds=1+y′2dx，下面討論dα。

由圖3可知，tanα=y′，則α=arctany′，dα=11+y′2·y″dx。將ds，dα代入K=dαds，得直角坐標(biāo)系下曲率的計(jì)算公式K=y″（1+y′2）32。

在實(shí)際問(wèn)題中，曲線的形式是多種多樣的，方程也不一定是直角坐標(biāo)系下的方程，思考：當(dāng)曲線的形式是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程時(shí)曲率的計(jì)算公式如何？

練習(xí)：求曲線y=ax2+bx+c上曲率最大的點(diǎn)。

結(jié)論：拋物線上曲率最大的點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，且頂點(diǎn)處的曲率K=2a，a是二次項(xiàng)的系數(shù)。

上面已經(jīng)得到刻畫(huà)曲線彎曲程度的量，也可以計(jì)算曲率了，但是給定一個(gè)點(diǎn)處的曲率為0.5，能否想象得到該點(diǎn)的彎曲程度呢？如果給定一個(gè)圓的半徑為2厘米，則很容易想到該圓每點(diǎn)處的彎曲程度。因此，為了更好地理解曲率和應(yīng)用曲率解決實(shí)際問(wèn)題，下面引入曲率圓和曲率半徑的概念。

3 曲率圓和曲率半徑

如圖5，設(shè)曲線C是光滑的，在點(diǎn)M（x，y）處，曲線y=f（x）的曲率為K（K≠0），在點(diǎn)M處曲線的法線上，在凹的一側(cè)取一點(diǎn)D，使得DM=1K=ρ。則有如下概念：

點(diǎn)M處的曲率圓：以D為圓心，以ρ為半徑的圓;曲率中心：D;曲率半徑：ρ。

在點(diǎn)M附近，曲率圓及曲線之間有很大的相似之處：

（1）共同切線;（2）凹向相同;（3）曲率相同。

應(yīng)用：在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)點(diǎn)M附近的曲線研究起來(lái)比較復(fù)雜時(shí)，通常會(huì)用該點(diǎn)處的曲率圓弧來(lái)取代，以簡(jiǎn)化實(shí)際問(wèn)題。

4 解決問(wèn)題

分析：?jiǎn)栴}一，接入緩和曲線的原理是什么？

如果火車(chē)直接由直道進(jìn)入圓弧彎道，向心力由0突變到mv2R，其數(shù)學(xué)本質(zhì)是軌道在接入點(diǎn)O處曲線的曲率由0突變到1R（直線的曲率是0，圓弧在點(diǎn)O的曲率是1R）。因此，接入一段緩和曲線于直道與圓弧彎道之間，其目的是為了讓曲率連續(xù)的由0變到1R，圖6中OA為緩和曲線。

問(wèn)題二：緩和曲線的方程如何表示？

（1）模型分析。根據(jù)《鐵路設(shè)計(jì)規(guī)范》技術(shù)要求，緩和曲線應(yīng)該比較簡(jiǎn)單，長(zhǎng)度較短，且使得接入點(diǎn)O和A處的曲率連續(xù)變化。

（2）模型建立。如圖6建立直角坐標(biāo)系，接入點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線軌道所在的直線為x軸，OA的長(zhǎng)度為l，OA的方程為y=f（x），接入點(diǎn)A的坐標(biāo)設(shè)為A（x0，y0），AB是圓弧，半徑為R，方程為y=g（x）。

（3）模型求解。緩和曲線滿足的條件：

f（0）=0，f（x0）=g（x0），f′（0）=0，f″（0）=0，KA=1R。

根據(jù)要求，緩和曲線的設(shè)計(jì)要簡(jiǎn)單一點(diǎn)，即滿足條件f（0）=0，f′（0）=0，f″（0）=0，又比較簡(jiǎn)單的曲線，可以設(shè)f（x）=ax3+bx2+cx+d。

根據(jù)條件計(jì)算可得f（x）=ax3，又因?yàn)榫徍颓€在O和A處的曲率是連續(xù)變化，易得Kf=6ax1+9a2x432，容易看出KO=0，下面關(guān)鍵就是在接入點(diǎn)A處使曲率KA=6ax01+9a2x4032能夠連續(xù)的變化到1R，又因?yàn)榫彌_曲線的設(shè)計(jì)一般比較短，則x0相對(duì)來(lái)說(shuō)比較小，于是9a2x40可以忽略不計(jì)，則KA≈6ax0=y″（x0），x0是未知的，當(dāng)緩和曲線較短時(shí)，l≈x0，則KA≈6al，又A是圓弧彎道上的點(diǎn)，所以KA=1R，即1R≈6al，a≈±16Rl，根據(jù)這里建立的坐標(biāo)系，a取正，綜上可得緩和曲線的方程：y≈x36Rl。

5 結(jié)論

綜上所述，在得到了緩和曲線在A處的曲率KA=6ax01+9a2x4032時(shí)，由于考慮到緩和曲線比較短，因此直接忽略了9a2x40這一項(xiàng)，因此KA≈6ax0=y″（x0），由于曲率的計(jì)算公式為K=y″（1+y′2）32，因此，實(shí)際上是把y′忽略了。事實(shí)上，在一些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，當(dāng)y′和1比起來(lái)比較小時(shí)，y′可以忽略，即有曲率的近似計(jì)算公式K≈y″。有了這樣的簡(jiǎn)化，對(duì)于一些比較復(fù)雜的問(wèn)題處理起來(lái)就要容易一些。

參考文獻(xiàn)：

[1]張聰，孫莉敏，等.關(guān)于曲率的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].高師理科學(xué)刊，2017，9：6668.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].第七版.北京：高等教育出版社，2014：169173.

作者簡(jiǎn)介：王佳穎（1987—），女，陜西咸陽(yáng)人，碩士，講師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)建模方面的研究。