小學數學中段估算典型錯誤類別羅列及干預策略新探

張靜波

[摘要]自2001年以來，估算作為新課程標準增加的內容一直被反復強調，但學生習慣于用精算取代估算，且估算認識模糊、估算能力缺失。給出中段學生估算中的四種典型錯誤，并提出相應的干預策略。

[關鍵詞]估算;典型錯誤;干預策略

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）32-0022-04

估算（computational estimation）（本文著重分析計算中的估算），是指個體懂得什么情況宜于估計而不必準確計算，并會加以應用，適用于解決日常實際問題和判斷一些計算結果的合理性。20世紀90年代編寫的《九年制義務教育小學數學教學大綱》和教科書中的估算，是數學課程改革重點強調的內容之一。《義務教育數學課程標準（2011版）》明確指出：“估算在日常生活與數學學習中有著十分廣泛的應用，培養學生的估算意識，發展學生的估算能力，讓學生擁有良好的數感，具有重要的價值。”但在教學中發現，學生的估算錯誤頻現，估算意識缺失，估算能力薄弱。學生對于估算的理解十分片面，作業中常常出現顯而易見的錯誤。

【錯例1】學校召開運動會，二（1）班有39人參加，二（2）班有42人參加，兩個班大約有多少人參加學校運動會？

錯解：39+42=81≈80（人）。（錯誤率：26.8%）

【錯例2】十一黃金周期間，H市前年接待游客約94萬人，去年游客比前年約多12萬人。去年大約接待游客多少萬人？

錯解：94+12≈100（萬人）。（錯誤率：43.9%）

（90）? （10）

【錯例3】聰聰一家去飯店吃飯，點的菜如下：酸菜魚33元、土豆絲21元、炸香菇23元、燉排骨29元。請你估計一下，爸爸帶100元錢夠嗎？

錯解：33+21+23+29≈100（元），夠了。（錯誤率：51.2%）

以上錯例反映學生用精算取代估算、估算認識模糊、估算方法缺失的現象。

緣何學生錯誤頻現，對估算的理解片面，估算能力缺失？是誰阻礙了估算教學？教師該采取哪些策略以引導學生提高估算意識，培養估算的能力呢？

一、典型錯例及分析

1.典型錯例的來源

我們把在估算調查、課堂研磨、學生作業或檢測中得到的錯誤率較高（全班錯誤率≥15%）的數學題，視為估算典型錯例。把三、四年級習題按類進行了羅列，分類整理出了83題估算錯例，通過問卷、訪談，將學生的錯誤率進行了統計，并進行了初步分析。

2.典型錯例的歸類

二、干預策略的探索

每一道估算錯例并非孤立存在，教師要重視的是錯誤背后的“面”、錯誤背后的“源”，只有“以點帶面，有序訓練”，方能消除病根，矯正錯誤。因此，我們著眼于估算教學的整體，以如下的方式和步驟對錯例進行課堂研磨、策略探索。

【策略探索】

策略一：精選擴充估算素材

針對錯誤類別一中反映的“要求估算仍精算，缺乏估算意識”問題，把重點放在估算素材的擷取上，摒棄那些為了估算而估算且容易誤導學生的題目，將教材合理地加以選擇、重組、擴充，使學生真正體會到估算的必要性。

做法1：改編估算數據

對不能體現估算價值的題目進行改編，引導學生在算法交流中體會到有些題目采用估算比精算簡便，并自覺加以應用。

【案例】“每個足球78元，要買2個足球，請你估計150元錢夠嗎？”由于數據過于簡單，體現不出估算的必要性，可改為“每個足球71元，要買3個足球，請你估計帶200元錢夠嗎？”引導學生探討：假如每個足球估成70元，3個足球就已經要210元，已經超過了200元，因此帶200元錢肯定是不夠的。

做法2：擴充估算素材

估算素材中的“購物問題”在生活中較為常見，多種版本教材常編排以購物作為估算的教學內容，但估算并不局限于購物時使用，對此可進行擴充。

（1）行程問題（上學）

【案例】從強強家到學校，走哪條路最近？

在比較兩條路的遠近時，可采用精算和估算兩種方法，讓學生體會到：一些沒有要求用估算解決的題目，采用估算解決比精算更方便快捷。

（2）工程問題（修路）

【案例】兩支修路隊一起修路：

①第一天兩隊大約一共修了多少米？

②估計兩隊哪一天修得最多？

（3）日常生活問題（分糖果）

【案例】有75粒裝的糖3盒，分給四年級的小朋友。每人6顆，這些糖夠分給哪個班的小朋友？

（4）百科知識類問題

【案例】

獵豹一分鐘大約能跑幾米？

引入一些百科知識類問題來豐富估算素材，通過拓展估算素材，讓學生體會到計算（包括精算和估算）及估算在生活中廣泛應用，從而在學習中自覺應用估算來解決問題。

【成效反饋】

通過上述做法，學生的主動估算意識有了提升，估算錯誤下降。例如，教學“乘數是一位數的乘法估算”后，我們對平行班和實驗班進行了后測對比，以下是其中一題的對比情況：

后測題：一座橋限重3噸，一輛貨車裝了6箱貨物，每箱285千克，車重986千克。這輛車可以安全過橋嗎？

實驗班38人中15人主動采用估算解決問題，而平行班的41人均采用了較復雜的精算解決問題。兩班對比結果見下表：

表中數據反映實驗班的學生體會到了估算的價值，能主動運用估算解決問題。

策略二：引導辨析估算方法

針對錯誤類別二中所反映的“看到‘大約就估算，估算流于形式”問題，可通過“關鍵詞辨析、估法對比”的方法引導學生多角度理解估算，彰顯估算的價值。

做法1：關鍵詞辨析，摒棄錯誤。

設計對比題型，在辨析關鍵詞中讓學生理解：并不是有了“大約”就要估，估算并不是一種形式。

【案例】“三位數加減法估算”練習題

（1）前年接待游客約194萬人，去年比前年約多12萬人。去年大約接待游客多少萬人？

（2）手工組去年創作了198幅作品，今年比去年多了93幅。今年大約創作了幾幅作品？

引導學生辨析：題（1）中雖然有“大約”兩個字，但是由于條件給的也是大約數，因此不要求估算。而題（2）則不需要精確值，用估算就可解決問題。

做法2：多樣估法，體驗價值。

針對“估算流于形式、方法單一”的問題，除了教“湊整估”外，還要引導學生利用“估位數、估高位、估個位”等多種估法解決問題，從而讓學生體會到估算并非只是一種形式。

【案例】教學“乘數是一位數的乘法計算”時，創造機會讓學生結合估算說算理。在說為什么出錯這一環節中，可引導學生采用估算檢驗得數，得出了“估位數、估高位、估個位”三種估法，體會估算的實用性。

題目：判斷對錯，并說說理由。（時間設定：5分鐘）

108×4=302（ ） 62×6=378（）

理由： 理由：

87×5=75（ ） 101×3=301（）

理由： 理由：

課后，我們分別對實驗班和平行班的解題結果進行了統計。

實驗班的學生一致反映：以前一拿到題目就列豎式計算，但通過今天這堂課發現，有時候只要估一下就可以很快判斷是否出錯，原來估算并非只是一種形式！

策略三：分類溝通估算聯系

錯誤類別三中反映的最關鍵的問題是“估算方法機械化”，究其原因是將僅有的幾堂估算課作為零部件分離肢解教學所致。對此可采用分類比較，在對比中交流各種估法的異同之處，溝通各類估算間的聯系。

特別是除法估算，學生容易將加減法估算、乘除法估算的方法遷移過來，而通過對比，能讓學生體會到：對于除法估算，不能機械地照搬加減法和乘除法的估算方法，而應該根據乘法口訣，將被除數估成能被除數整除的整百整十數來算才簡便。

【案例】兩三位數乘一位數的估算，如“123×8≈（ ）”，不能簡單地告知學生“把123看作100”，而應該通過題組對比引導學生得出一般的規律：“乘法估算中估位數多的數，結果更接近正確數”“估成整百整十數比估成整百數更接近正確數”。可進行四方面的對比：

無論是教學加減法估算或者乘除法估算，我們沒有簡單地就題論題，而是通過對比分析，深入解剖算理，引導學生溝通各類估算的聯系。

策略四：結合情境交流估法

針對錯誤類別四中反映的“不按情境選估法，估算能力薄弱”的問題，可引導學生充分交流進一估（大估）、去尾估（小估）、四舍五入估等多種估法在具體生活情境中的適用性，教給學生靈活選擇估算的方法。

1.交流“能不能估”

設置對比題組，讓學生在交流討論中體會有些情境不適合用估算解決。

【案例】兩位數加減法估算練習題

（1）聰聰一家去飯店吃飯，點的菜如下：酸菜魚28元、土豆絲18元、炸香菇13元、燉排骨29元。爸爸帶100元錢夠嗎？誰能用最快的速度判斷爸爸帶100元錢夠還是不夠？

（2）聰聰一家去飯店吃飯，點的菜如下：酸菜魚33元、土豆絲21元、炸香菇23元、燉排骨29元。爸爸帶100元錢夠嗎？誰能用最快的速度判斷爸爸帶100元錢夠還是不夠？

首先讓學生對第（1）題展開討論，提出各種估法——減法估算、加法估算、加減混合估算，然后通過對比（1）（2），得出估算的方法并非都是機械的、一成不變的，是要根據實際情境有所選擇和調整。比如第（2）題就不能套用第（1）題的估法，具體情況需要進行具體分析。

2.交流“用什么方法估”

【案例】三位數加減法估算習題

爸爸想買以下兩件商品：皮鞋386元、西服655元。

（1）購買前估計，帶1000元夠不夠？（估算，大估）

（2）付款前估計，大約需要幾元？（估算，可用湊整估）

（3）收銀員收款，一共需要多少元？（精算）

（4）購物800元以上可抽獎一次，能否抽獎？（估算，小估）

學生體會到不同的情境下需要用不同的方法，從而交流得出：第（1）問需要用“大估”，第（2）問只需要用“湊整估”就行了，第（3）問需要精算，而第（4）問需要用“小估”來解決問題。結合具體的情境讓學生在交流中選擇適用的估法，就能矯正學生“不按情境選估法”的錯誤。

3.擯棄解題格式的禁錮

與學生訪談得知：有些題目他們是會估算的，但是拘于格式太繁雜，所以寧可選擇精算。因此，我們摒棄了對估算格式的禁錮，讓學生口頭交流估算的過程和方法，從而提高學生估算的能動性。

【案例】小數加減法練習題

李阿姨去商店購物，帶了100元，她買了兩袋面，每袋30.4元，又買了一塊牛肉，用了19.4元，請幫助李阿姨估算一下，她帶的錢夠嗎？

生1：“買一袋面最多31元，兩袋面不超過62元，買牛肉最多20元，加起來最多82元，李阿姨的錢是夠的。”

生2：“李阿姨買兩袋面的錢，算62元，那也還剩38元，牛肉只要19元多，所以李阿姨帶的錢肯定夠了。”

生3：“100元買一袋面，還剩70元，買了兩袋面還剩40元，牛肉只要19元多，李阿姨帶的錢肯定夠了。”

學生在充分交流的過程中真正理解了估算的意義，提高了估算的能力。

后測結果顯示，實驗班主動估算能力明顯優于平行班。（詳見表4）

實驗證明，實施四種策略后，學生的估算錯誤大大降低，主動估算的意識得到培養，估算的能力有了顯著的提升。

（責編 金鈴）