算法多樣化到優化的教學改進

段曉煒 伍春蘭

[摘要]以“兩位數乘兩位數”豎式筆算第一課時為例，針對兩次實踐與反思，從四個方面對小學數學計算教學提出四點建議：問題情境的選擇、算法多樣化到優化、算法與算理相隨、學生調研的價值。

[關鍵詞]兩位數乘兩位數;豎式筆算;算法多樣化;數感

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）32-0031-03

算理和算法多樣化、數感等已成為小學數學計算教學關注的高頻詞，但在教學中，教師往往顧此失彼，比如，放手讓學生算法多樣化，可學生并沒有在比較中掌握需要學習的算法;又如，算理占據了一堂計算教學課的絕大部分時間，以至于最后的算法教學草草收尾。算法、算理如何權衡？數感怎樣滲透？下面結合“兩位數乘兩位數的豎式筆算”第一課時，闡述我們的實踐與思考。

一、三本教材相關內容概述

“兩位數乘兩位數的豎式筆算”這個內容，北京出版社（以下簡稱京版）教材、人民教育出版社（以下簡稱人教版）教材及北京師范大學出版社（以下簡稱北師大版）教材都將其安排在三年級下冊，見表1。

三個版本教材所給情境不一，但都是 先考慮不進位的兩位數乘兩位數的筆算，抽取的乘法算式第二個因數也都不約而同地選擇了12。12是具有六個因數的較小的兩位數，既滿足了算法多樣化的條件，也降低了計算的難度（不進位乘法）。第一個因數，京版選擇的是24，相比另兩個版本教材選擇的14，如果在點子圖中標注，24就會過于“腫脹”。三個版本教材的轉化算法2是溝通脫式計算與豎式計算的橋梁。另外，北師大版教材還多了轉化算法3，即將兩個因數都拆分為10和一位數的五步脫式計算方法。

對于豎式筆算，京版教材更強調步驟，人教版教材更突出算理，北師大版教材更注重數形結合。

二、第一次設計及實踐

本次設計分為四個環節——情境引入、嘗試轉化、理解豎式、“鋪地錦”激趣，旨在讓學生通過算法多樣化體驗轉化思想方法，在算法與算理的聯系中理解豎式筆算。

【實踐片段1】

1.轉化解決問題

出示情境圖1，提出數學問題：參加三年級花毽表演一共有多少人？讓學生想辦法將這個問題轉化成之前學習過的知識，并借助點子圖圈一圈，以留下思維過程，同時把思考過程用算式寫下來。

由于給了較充足的時間，學生經過小組交流都得到了5種算法：14×2=28，28×6=168;14×6=84，84×2=168;14×3=42，42×4=168;14×4=56，56×3=168;14×2=28，14×10=140，28+140=168。

在眾多算法中，讓學生選擇自己喜歡的算法，對應點子圖圈一圈、說一說理由。算法多樣化的背后是學生對于數與式理解的不斷深入，不同的算法能夠調動學生更多的對于數與式的感覺。在數（算式、結果）與形（點子圖）的交互中，學生經歷了抽象與具體等思維活動，數感和運算能力得到了強化。

2.理解豎式筆算

設計了2個活動：

由于學生之前學習過多位數乘一位數的豎式筆算，所以活動1的豎式筆算比較順利。但活動2的豎式筆算，多數學生沒有思路，所以教師提供了豎式，讓學生在此基礎上理解算理并簡化。

【實踐反思1】

本設計原設想通過算法多樣化，不僅引出兩位數乘兩位數的豎式筆算問題，而且發展學生的數感和化歸意識。

事實上，學生沉浸在算法多樣化中，以為問題都已解決了，可發現新的學習內容才剛剛開始，而此時課堂時間已過半，學生的心理和生理就會跌入低谷。另外，將脫式計算轉換成豎式計算是多數學生的學習難點，也是學習的重點內容，本應該讓學生爬坡而得到的豎式計算，卻以教師的直接給出替代，沖淡了教學內涵。

如果將第二個因數換成質數，比如13，相應的第一個因數由14換成12（為規避難度疊加，本節課先學習不進位的兩位數乘兩位數），學生加減法時所學的“湊十法”和“破十法”的經驗，以及簡化計算的需求，會使他們將12×13轉化為12×10+12×3，或是10×13+2×13，也可能想到（12×5）×2+12×3（第一項是整十數），這些都是良好數感的表現，而前兩種算法為新課的學習起到了承前啟后的作用。

情境的選取首先要考慮的是能夠轉化為學生已學過的，其次要能自然引入將要學習的內容。

三、第二次設計及實踐

【學生前測】

前測共3個題目：（1）每套12本書，買了13套，共買多少本，請列出算式（不計算）;（2）估算12×13，并寫出估算的過程;（3）嘗試寫出12×13的豎式筆算。學生的作答歸類，見表3及表4。

前測表明，學生能從實際問題中抽象出乘法模型，而且多數學生的轉化正確，表明他們掌握了乘法的意義。多數學生能將其中一個兩位數拆分為一個一位數和一個整十數，說明“湊十法”“破十法”，以及估算的經驗，對此問題的轉化起主導作用。但學生列豎式計算有困難，而且加減法的豎式筆算對學生兩位數乘法豎式筆算有負遷移傾向。

【實踐片段2】

依據前測，將12×13融入情境中（不出現文字信息），讓學生經歷發現提出問題、建構豎式筆算、鞏固豎式筆算、了解“鋪地錦”算法等活動。

1.發現和提出問題

只呈現花毽表演的點子圖（每個點代表1人，如圖2），讓學生就情境信息提出問題并嘗試回答。除了“一共多少人？”，學生提出的問題還有：每行多少人，一共多少行？每列多少人，一共多少列？

2.建構豎式筆算

師：對于問題“每行12人，共計13行，一共多少人”，列出算式是什么？

生（齊）：12×13。

師：前測讓大家嘗試寫出12×13的豎式筆算，請看這兩個豎式（表4中C1、C2類），你能讀懂他們的算法嗎？請用點子圖圈一圈，判斷他們的算法對不對。

（通過圈畫，學生認同這兩個豎式。不過學生L指出，如果第一個數是11，這個方法就失效了。）

師：學生L說得好，這個方法雖然挺巧的，但不具有普遍性。我們要尋找兩位數乘兩位數豎式筆算的通法。看看這個豎式（表4中的D類）可以嗎？

生1：12×l0就得120，12×13不可能只有106，所以這個豎式不對。我看像是個位和個位相乘，十位和十位相乘，然后相加的。

生2：我就是這樣算的，因為我將12拆成10和2，13拆成10和3，這樣10×10=100，2×3=6，100+6=106。我覺得方法對，但得數不對，不知哪有錯？

師：生，的方法聽起來蠻有道理的，但是結果卻不對，問題出在哪？請大家在點子圖中圈一圈10×10和2×3，發現問題了嗎？

生3：（如圖3）缺了10×2和10×3。

師：怎么完善這個豎式（表4中的D類）？

（學生展示（略））

在對這些豎式的分類、算法和算理的共性和差異比較的思維碰撞中，學生完成了豎式筆算的建構。他們發現豎式筆算就是將第二個因數拆成易于口算的3與10，然后分別與第一個因數相乘再相加的脫式計算的簡便寫法，從而體會到數學突出本質求簡之美。

【實踐反思2】

第一次實踐，算法多樣化成為課堂教學的中心，擠占了學生獨立嘗試豎式計算，以及溝通算理和算法的時間。第二次實踐，不僅將數據進行了相應調整，將算法多樣化做了適當的刪減，而且以學生前測中豎式計算的錯誤為情境，調動了學生積極探尋錯因、完善豎式的欲望;在豎式的改進過程中有意駐留，讓學生在比較、分析中發現合理的算法，使豎式筆算的建構真正成為教學重點，同時培養學生的數感。

四、思考建議

1.問題情境的選擇

將學習內容融入問題情境中，既是培養學生數學建模的機會，也是發展他們數感的契機。為了突破難點，理解算法和算理，人教版和北師大版教材，都借助點子圖幫助學生思考與驗證。但據課堂觀察，點子圖對于三年級的學生而言還是抽象的。因此“兩位數乘兩位數”的內容中，“人”和“隊伍”的情境更利于學生抽象成點子圖，有時候適宜的情境可以達到事半功倍的效果。

2.算法多樣化到優化

數據和情境是計算教學中重要的一環，好的數據可以帶給學生算法多樣化的可能，算法多樣化可以培養學生的創新意識，同時培養學生的數感以及對于算理的理解。但在教學過程中盲目的“多”反而適得其反，因此算法多樣化要適度，要讓學生在“多”中選優。優化算法的過程是學生提升對于數與式的感覺的過程，亦是提升自身運算能力的過程。

3.算法與算理相隨

算理是學生掌握算法的根，不少教師都在努力踐行這一理念。然而，僅僅讓學生明白算法的道理是不夠的，還應該促進學生在建構算法的過程中理解算理。學生在此前學過加減法的豎式筆算，學過多位數乘一位數的豎式筆算，所以學生在教師的適度引導下是可以建構兩位數乘兩位數豎式筆算的。由于學生水平參差不齊，所以創設基于學生認知的“一波三折”的情境，讓學生在思考與交流中自然地建構算法、理解算理就成為設計的關鍵。

4.學生調研的價值

必要的課前調研以及對于學生生成性資源的充分分析是開展有針對性課堂教學之本。課前調研可以使教師清楚學生的最近發展區在哪里;學生對于“數”的感覺，可以在調研中部分表現出來，為教師讀懂學生提供基礎。同時學生所呈現的錯誤答案是教師分析學生思維特點和思維發展水平的重要載體，可為有針對性地設計教學提供參考。

（責編 金鈴）