判斷平行首先考慮同面

徐璐

[摘要]小學(xué)教材中的數(shù)學(xué)概念通常都是狹義范圍內(nèi)的，限制條件很多，外延很窄，到了中學(xué)后，同樣的概念內(nèi)涵不斷拓展，外延越來(lái)越寬，許多原先被排除在外的條件又重新納入概念之中。因此，在小學(xué)階段，教師為了加深學(xué)生對(duì)原始概念的精準(zhǔn)理解，提出一些迷惑性的問(wèn)題也無(wú)可厚非，但一定要適可而止，否則就會(huì)陷入超綱、超范圍的泥沼。

[關(guān)鍵詞]剖析;平面;平行;幾何體;相交

[中圖分類號(hào)]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1007-9068（2020）32-0036-02

在教學(xué)了平行線的概念后，為了檢測(cè)學(xué)生掌握得是否扎實(shí)，在課后鞏固練習(xí)題中，教師結(jié)合長(zhǎng)方體設(shè)計(jì)了圖1，讓學(xué)生判斷圖中a、b兩條直線平行與否。顯而易見(jiàn)，這種與空間立體圖形結(jié)合的題型，屬于同體異面的兩條直線的空間位置關(guān)系的判定，有別于學(xué)生已知的同一平面中兩條直線的位置關(guān)系。不難看出，編創(chuàng)這道涉及立體幾何圖形的題目有著特殊的目的：加入干擾項(xiàng)，讓學(xué)生通過(guò)辨析，加深對(duì)平面上平行線概念的理解;鍛煉學(xué)生的空間想象能力，使之初步建立空間觀念。學(xué)生在獨(dú)立判斷后，普遍認(rèn)為圖1中的兩條直線并不平行，理由是直線a、b分處于兩個(gè)不同的平面上。

面對(duì)這樣的回答，教師一時(shí)拿不出確鑿的證據(jù)來(lái)反駁學(xué)生的結(jié)論，沒(méi)有充足的理由來(lái)證偽學(xué)生的結(jié)論，于是只好草率地默認(rèn)了學(xué)生的判斷。

一、剖析“同一個(gè)平面”的深意

有教師這樣分析：本題的癥結(jié)在于要判定兩條直線不在同一平面上，屬于異面直線，根據(jù)平行線嚴(yán)格的學(xué)術(shù)定義（在同一個(gè)平面上不相交的兩條直線叫作平行線），這個(gè)概念里有一個(gè)大前提——在同一個(gè)平面內(nèi)，也就是說(shuō)，在判斷兩條直線平行與否前，先要獲得評(píng)判資格，那就是設(shè)法把直線a、b置于同一個(gè)平面上。基于這一認(rèn)識(shí)，想到將長(zhǎng)方體沿著棱邊剪開(kāi)，展開(kāi)成平面圖（如圖2）的辦法。但仔細(xì)琢磨后發(fā)現(xiàn)，這樣的做法于事無(wú)補(bǔ)，反而帶來(lái)新的問(wèn)題。本題判斷的要訣在于對(duì)概念中的前提條件“在同一個(gè)平面上”的領(lǐng)悟：此處提及的“同一個(gè)平面”只能是一個(gè)已知已定的二維幾何平面，能否是一個(gè)尚未成型的平面，或是一個(gè)有待加工合成的平面？分屬兩個(gè)不同平面的兩條直線能否在另一個(gè)尚未明確的第三個(gè)平面共處？

學(xué)生判斷圖1中兩條直線“不在同一平面上”，一方面顯露出學(xué)生的思維具有具體、形象與直觀的特性;另一方面暴露出學(xué)生對(duì)“同一平面”這一表述的曲解。通過(guò)對(duì)這道題的鉆研，可以令學(xué)生醒悟：同體異面的兩條直線并非一定相交，也存在平行的可能，因?yàn)樗鼈兛梢怨蔡幱诘谌齻€(gè)平面，當(dāng)然這個(gè)“第三個(gè)平面”未必是已經(jīng)標(biāo)明的，也不一定是視覺(jué)可感的，而是需要我們?nèi)ネ评硐胂蟮模窃诶碚撋峡陀^存在的。而后者才是促進(jìn)教師反思改進(jìn)教案的主要推動(dòng)力。

從表面看，將長(zhǎng)方體（如圖1）展開(kāi)成平面圖（如圖2）后，似乎能夠很直觀地揭示出a、b兩條直線同面，但圖2中的兩條直線已不再是圖1中的兩條直線，因?yàn)閷?duì)長(zhǎng)方體的展開(kāi)已使得原有兩條直線的位置關(guān)系發(fā)生了變化，它們的空間位置發(fā)生了整體性位移。確切地說(shuō)，其中一條直線已發(fā)生“身份變化”，不再是“它本身”。因此，這樣的做法是荒唐的。

我將例題稍作修改：試著判斷圖3中的直線c和直線d平行與否。

延續(xù)圖2的方法，將圖3展開(kāi)成平面圖（如圖4），可以直觀看出，圖4中的兩條直線相互平行。但據(jù)此推測(cè)圖3中的兩條直線互相平行，顯然站不住腳。實(shí)際上，圖3中的兩條直線是異面直線，既不存在相交的位置關(guān)系，也不存在平行的位置關(guān)系。

那么，是否可以借助動(dòng)畫(huà)演示，將立體圖形抽離，只留下c、d兩條直線呢？這樣雖然三維空間上這兩條直線的空間位置關(guān)系沒(méi)有發(fā)生改變，但實(shí)際上當(dāng)兩條線的背景圖撤去后，它們的相對(duì)位置關(guān)系也隨之改變了。如此處理，判斷的結(jié)果也是錯(cuò)誤的。

二、利用實(shí)物圖，降低理解難度

針對(duì)學(xué)生在解決圖1所屬問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)的狀況，教師可指引學(xué)生觀察實(shí)物來(lái)輔助理解，建立直觀表象，如黑板的對(duì)邊、籃球架的支架等。通過(guò)觀察、觸碰等方法研判它們的位置關(guān)系，借此讓學(xué)生去捕捉、猜想那個(gè)看不見(jiàn)摸不著、虛無(wú)縹緲，但確實(shí)存在的“同一個(gè)平面”，從而使學(xué)生清醒意識(shí)到平行線概念里的“同一個(gè)平面”可以是直觀畫(huà)出的，也可以是需要推理證實(shí)存在的。

根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，不妨在圖1之前出示圖5，以降低圖1所屬問(wèn)題的起步高度。

學(xué)生通過(guò)觀察物體，可以準(zhǔn)確判斷出圖5中線段e和線段廠是平行關(guān)系。至于兩條線段“在同一平面上”的裁定，可充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的想象力，或借助動(dòng)畫(huà)演示（如圖6）來(lái)完成。有了圖6引路，圖1中的問(wèn)題便可迎刃而解。

圖1所屬問(wèn)題的出現(xiàn)，雖明顯超綱，但對(duì)于學(xué)生理解概念、拓展思路、提升空間運(yùn)動(dòng)想象力等都起到積極的促進(jìn)作用。

三、對(duì)問(wèn)題提法本身的反思

“同體異面的兩條直線平行嗎？”這個(gè)問(wèn)題拿來(lái)考查小學(xué)生，是否超綱姑且不論，這個(gè)問(wèn)題的提法本身就很值得商榷。

圖1中的立體圖形是長(zhǎng)方體，由6個(gè)長(zhǎng)方形圍成，這6個(gè)面都不是沒(méi)有邊界的平面，而是封閉的平面圖形，既然是封閉的，就存在邊界。而直線是無(wú)限延長(zhǎng)的，故不在同一面上的a、b兩條直線，嚴(yán)格來(lái)講其實(shí)只能算作線段。

因此，嚴(yán)密的表述應(yīng)該是“同體異面的兩條線段平行嗎？”如此一來(lái)，問(wèn)題的難度直線飆升，即便是高中生來(lái)回答，尚需作輔助線，再根據(jù)一些幾何定理小心求證，方可能證明。因此，小學(xué)生能看懂題目已經(jīng)是萬(wàn)幸。不過(guò)，這里無(wú)法隨心所欲地運(yùn)用“在同一平面上不相交的兩條直線叫作平行線”這個(gè)定義，因?yàn)樵谕粠缀误w的同一平面上的兩條線段不相交的現(xiàn)象俯拾即是。如圖7所示，a和b在同一平面上，既不相交，也不平行。異面呢？異面的兩條線段，可以平行也可以不平行，沒(méi)有一定。總之，這樣提問(wèn)題，只會(huì)越繞越亂，最終將教師也繞進(jìn)去。

問(wèn)題出在哪里？主要原因在于，這類問(wèn)題涉及的情形太復(fù)雜，概念繁多，隱含的條件也盤(pán)根錯(cuò)節(jié)，不宜讓小學(xué)生來(lái)處理。那么，是不是小學(xué)生就不能接觸這類問(wèn)題呢？能！但是有個(gè)前提，就是要堅(jiān)決摒棄抽象的幾何圖形，以房屋、空調(diào)、電視機(jī)、大廈等實(shí)物取而代之，不同樓棟的單元水電埋設(shè)，吊頂、壁柜與天花板相連處，都有同體異面線段平行的現(xiàn)象，讓學(xué)生觀察這些日常現(xiàn)象，對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)是大有裨益的。

以上就這道有關(guān)平行線判斷的幾何題進(jìn)行的探究，希望能為廣大教師正確全面地理解平行線的概念、教學(xué)設(shè)計(jì)的問(wèn)診把脈提供一些借鑒。

（責(zé)編 李琪琦）