余數不同，結果就不相同？

馬迎雪

[摘要]在幫助學生糾正“余數不同，結果就不相同”的錯誤認知過程中，深有感觸。對于新知識，不論是學生還是教師，都應該對其深度挖掘，追求知識本質。知識不應局限于教材本身，更重要的是學習知識的過程中收獲的數學學習思想，并善于利用思想把知識連點成線，建構屬于自己的知識結構，進一步提高數學學習能力。

[關鍵詞]余數;本質;深度挖掘;過程;思想;能力

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）32-0057-02

學習了蘇教版教材四年級上冊“商不變的規律”后，學生出現了較大面積的理解誤區：200÷30=20÷3=6……2或者200÷30>20÷3。這種情況引起了教師的重視和研討的興趣。為了調查全班學生的理解狀況，筆者在班級中進行了一次針對性問答：

師：200÷30和20÷3這兩個算式相等嗎？說說你的理由。

生1（非常自信）：當然相等，被除數和除數同時除以10，商不變，這是商不變的規律。

師：200÷30=？ 20÷3=？

生2：200÷30=6……20.20÷3=6……2。

師：200÷30=20÷3成立嗎？為什么？

很多剛剛回答“相等”的學生陷入了思考中或者干脆否定，認為不相等，因為余數不相等，所以結果也不相等。

調查顯示，大部分四年級學生認為“余數不相等，結果就不相等”。

因為五年級學生已經學習了小數除法，于是筆者也在五年級展開了同樣的調查：

師：四年級時我們學的是有余數的除法，算得200÷30=6……20。20÷3=6……2，那么200÷30=20÷3嗎？為什么？

生1：相等（開始說“不相等”，但慌忙搖頭堅定地改口說“相等”），因為200÷30=20÷3=6.66……

師：可余數不相等啊。

（片刻的安靜后）

生2：有余數說明有剩余還可以繼續平均分，余2是繼續平均分成3份，余20是繼續平均分成30份，所以繼續分的結果還是一樣的。

調查顯示，五年級學生不再輕易地被表面的結果迷惑，幾乎所有學生都認定余數不同只代表沒有充分平均分，充分平均分后的結果是一樣的。在與五年級學生交流的過程中發現，他們四年級學習時關于余數的思想誤區已經解決，從除法的本質平均分人手，有余數說明有剩余，沒有充分的平均分。用此方法再跟四年級學生分析時，他們豁然開朗。

在針對學生較大面積地出現理解誤區進行調查和解決的過程中，產生了幾點關于課堂教學的思考。

一、追求知識本質，規避表面誤區

學生產生“余數不相等，結果就不相等”的誤解，歸根結底是沒有重視知識本質，沒有從本質入手去思考問題。其實，不論是課堂上，還是做習題中，學生都能很快判斷什么情境用除法，也知道除法包含平均分和包含除，但在這個余數問題中，學生似乎把目光都放在余數身上，完全忘記了這是除法中產生的余數，更別說從平均分的角度來思考問題了。

因此，面對每一個新接觸的數學知識，學生需要充分經歷知識的產生和發展過程，這樣才可以把新知識的本質納入自己的知識系統中。

現如今，追求公式、定理、題海的數學時代已經過去，義務教育階段更是注重對知識的追根溯源及于追源過程中培養學生的數學素養。這顯然對學生尤其是教師提出了更高的要求，要求學生有從知識本質思考的習慣，要求教師必須對每一個知識的來龍去脈了如指掌，還要善于洞察學生的學習困難點，并及時引導突破。

二、提高推理能力，抓住培養關鍵期

在調查五年級學生時，發現他們雖然會有短暫的思考停頓，但很快就得出“雖然余數不相等，但是得數依然相等”的結論。盡管學生已經有了小數除法的理論基礎，但是他們沒有停止思考，而是用小數除法的知識得出肯定結論后，反過來思考為什么會出現余數不同，一步步想到為什么會出現余數，進而深層次思考除法的本質。這一切都得益于學生有一定的推理能力。而對比中明顯感受到四年級學生推理能力的不足。小學生思維能力的發展是有一定規律的，其中四、五年級是學生推理能力發展的關鍵期。因此，教師應抓住培養關鍵期，有意識地培養學生的推理能力，教學時多設計有效核心問題及問題串，組織學生思考“為什么”。

其實在數學課程中就有很多培養推理能力的內容，比如商不變的規律，就是歸納推理，從特殊到一般的推理。教學該內容時經常出現這樣有意思的現象：通過對比式子，大部分學生得出結論：“被除數和除數同時乘2，商不變;被除數和除數同時乘4，商不變……”結論傾向于就題論題，而只有少部分學生可以得出比較有概括性的結論：不管被除數和除數同時乘幾，商都不變。因此，如何通過課堂教學的組織，實現全班學生從特殊到一般的思想飛躍，再進而驗證推理的嚴謹性、完善性等，都對學生和教師提出了更高的挑戰。

作為教師，應將學生能力的培養融進課程教學中，深入思考學生和課堂的結合點，提高教學質量，聚焦素養培養。

三、深度挖掘教材，拓寬思維視角

商不變的規律是通過具體的計算、表格填寫、歸納推理進而得出結論的。學生掌握這個知識點本身并不難，但是容易形成“什么都不變”的思維定式。就像剛開始問學生：200÷30=20÷3成立嗎？學生都回答“成立”，因為商不變的規律。其實，學生這時根本就沒有認識到雖然結果是相等的，商是不變的，但是余數是會變化的事實，更不會認識到余數不僅有變化，而且也是有規律的。因此在教學中，教師有必要深度挖掘教材，拓寬思維角度。

在教學中，商不變的規律是否可以升級為“商不變、余數變化的規律”？在設計表格時，除了被除數、除數、除法算式和商，可增設“余數”一欄，通過同樣的推理方式，得到結論：被除數和除數同時乘以或除以一個相同的數（0除外），商不變，但是余數會變，余數隨被除數或除數變化，也要乘以或除以這個相同的數。其實這個設計教師肯定不陌生，因為它正好出現在課后練習中，但是這個問題是不是可以滲透到新課程的學習中，甚至可以拓展到更多的版本（商隨被除數變化的規律、商隨除數變化的規律等）中呢？

知識和思維的延展對學生來說是有必要的，但是更重要的是通過這種方式，讓學生了解到書本上的知識是有限的，而通過知識學習的過程中感悟收獲的思維和能力卻是無限的。學生可從不同知識內容的學習中感受到相同的思維方式和知識本質，比如“小數點向右（左）移動引起小數大小變化的規律”（蘇教版教材五年級上冊）學習中同樣應用到了歸納推理、“小數除以小數”（蘇教版教材五年級上冊）轉化時亦用到了商不變的規律等。學習時，學生對相同的數學思想方法又進行了一次調用和鞏固，并且通過相同的思維方式的牽引學生又可把看似不同的知識點連成線，建立自己的知識體系，進一步增強學習數學的能力。

作為教師，應通過平時教學中出現的問題，及時反思，改進教學，并積極引導學生，讓課堂更有質量。

（責編 黃春香）