數形結合，促進算理理解

教學內容

《義務教育教科書·數學》（人教版）三年級下冊第二單元第15-16頁

教學目標

1.理解一位數除兩位數的算理，掌握筆算方法。

2.經歷筆算除法的探究過程，滲透數形結合和轉化的數學思想，初步形成歸納概括能力，積累數學活動經驗。

3.體驗數學與生活的聯系，激發學習數學的興趣。

教學重難點

教學重點是掌握除數是一位數的筆算方法。教學難點是理解每求出一位商后，如果有余數，應該與下一位的數和在一起繼續除的道理。

教學策略

1.實物操作。在教學筆算除法時，要注意將分小棒的過程充分“物化”，讓學生在具體操作中，積累數學活動經驗，并為理解相應的豎式計算過程提供支持。

2.數形結合。在講解與歸納過程中通過小棒將算理具體化，讓學生理解每一步計算結果的含義，在具體實踐中，建立形象，形成表象，逐步感悟算理，促進思維發展。

3.注重表達。

教學過程

一、創設情境，導入新課

1.出示情境：同學們，每年的3月12號是我國的植樹節。請看，小朋友他們正在種樹呢！從圖你們能獲得哪些數學信息？（課件出示主題圖）

2.導入新課：請學生思考，怎樣解決我們提出的問題？（三年級平均每班植樹多少棵？四年級平均每班植樹多少棵？ ）

設計意圖：充分利用主題圖，培養學生愛護環境，保護自然的情感，使學生知道在植樹活動中有數學，激發問題意識。

二、合作交流，探究新知

（一）教學例1

1.列式：孩子們，我們先來解決三年級的問題，三年級平均每班要種多少棵樹，你們會列式嗎？

生：42÷2。

師：能說說理由嗎？你說要把42棵樹平均分給兩個班，所以要用除法。

2.嘗試計算

師：請同學們先想一想，可以怎樣求42÷2的得數，并將想法填寫在學習單上，最后以四人小組為單位議一議。

學生匯報：

法一：估算

生1：將42÷2看成40÷2，大約等于20。

師：很好，估算可以幫我們后面判斷筆算結果是否合理提供了依據。

法二：口算

生2：把42分成40和2，40÷2=20，2÷2=1，最后把它們的結果相加得21。

師：你能用我們學過的表內除法的知識來解決問題，真不錯。

法三：擺小棒

讓分小棒的小組到講臺前演示分小棒的過程，并進行講解：42就是4捆小棒加上2根小棒。先分4捆小棒，把4捆小棒平均分成兩份，每份是2捆小棒，還剩下2根小棒，把這2根小棒平均分成兩份，然后跟剛才分的2捆小棒合起來。平均每份就有21根小棒。

師：同學們，你們看懂了嗎？他們借助我們的老朋友小棒來解決問題！

設計意圖：以上設計注重算法的多樣化。首先需要充分認識估算在日常生活和工作中的廣泛作用，認識估算對學生的數感培養具有重要意義，同時立足于學生已有的知識經驗，讓學生運用已有知識經驗解決新問題，感受新舊知識之間的聯系，為后面理解豎式的算理起到了很好的思維及形式的鋪墊。

3.講明算理（以下要將擺小棒圖與說理結合起來）

法四：筆算

師：大家能不能列豎式來計算？那請一位為學生黑板將計算過程寫出來。

（1）教師提問：孩子們，你們看明白了嗎？誰能夠結合擺小棒的方法說說他們是怎么筆算的？

教師根據學生回答，結合小棒進行講解：先從十位除起，十位上有4個十，4個十除以2等于2個十，也就是把這4捆小棒平均分成了兩份，每份2捆，所以在十位上商2。2乘2個十等于4個十，表示被分掉的4個十，也就是剛才分掉的4捆小棒。已經分掉了4個十，還剩個位上的2個一，就是剩下的2根小棒，2個一除以2，商1，1乘2，一二得二，也就是分掉的2根小棒。相減得0。

設計意圖：讓學生將42根小棒平均分成兩組的思考過程和豎式筆算的過程進行對照，筆算過程就是把分小棒的過程用豎式的形式表示出來，讓學生看到豎式筆算與分小棒的過程存在著本質的聯系，為學生深刻理解算理奠定堅實基礎。

（2）加深理解

教師：對于我們剛才的解答過程，你們還有什么疑問嗎？

A：為什么要在十位上商2？（把這4捆小棒平均分成了兩份，每份2捆，所以在十位上商2）

B：過程中的4表示什么？（表示被分掉的4個十，也就是剛才分掉的4捆小棒）

C：下面的兩個2是什么意思？（上面的2表示還剩2個一，就是剩下的2根小棒;下面的2表示分掉2個一，也就是分掉2根小棒）

D：0代表什么？（表示沒有剩余，因為還剩2個一，又分掉2個一，因此沒有剩余）

設計意圖：通過討論交流，讓學生理解豎式的算理，先從高位算起，個位未進行計算移下來計算，講完過程后又通過一系列問題討論來加深印象，能夠讓學生對算理清晰理解。

4.小結并優化：（1）回顧一下，我們都是怎樣解決問題的呢，請你來說一說，請同桌間也互相說一說。（2）我們用了這么多種方法來解決問題，你們最喜歡哪一種？為什么？你說最喜歡列豎式計算的方法，它不僅計算簡潔，并且每一部表示上面意思都很清楚。這就是我們今天要學習的兩位數除以一位數的筆算除法（板書課題：筆算除法）

（二）教學例2

1.列式：同學們，那四年級平均每班種多少棵樹？我們可以怎么列式？大家都說用52÷2。你們能結合例1所學的除法豎式，先擺一擺小棒，然后在學習單上將分52根小棒的過程用豎式表示出來嗎？如果有問題，可以隨時求助老師！

設計意圖：例2教學時同樣要讓學生經歷分小棒的過程，將分小棒的過程和豎式結合起來，以便借助數形結合提煉算法，實現算理到算法的自然過渡。

2.學生匯報結果，結合小棒明確豎式的計算過程：

（1）?????? 筆算除法的計算時，要從被除數的最高位除起。

（2）?????? 被除數十位上的5表示5個十，5捆小棒不能平均分成2份，最多平均分其中的4捆，平均分成兩份，每份是兩捆。表示最多能分2個十，要在商的十位（跟被除數的十位數對齊）上寫2。

（3）?????? 用除數2去乘2個十，積是4個十，把4寫在十位5的下面。5捆小棒分掉4捆，還剩l捆，5減4得1，表示十位上還剩1個十沒有分。

（4）?????? 剩下的1捆小棒，要拆開與2根合并為12根再分。也就是剩下的1個十與個位上的2個一合并。這時要把十位上的余數1個十和被除數個位上的2落下來，合在一起，表示剩下12個一。12除以2得6，要在商的個位（和被除數的個位對齊）上寫6。

（5）?????? 再用除數2去乘6，積是12，表示從被除數中又分掉12個一，寫在落下來的被除數的12的下面。12減12得0，在余數的位置上寫0，表示分完了，計算過程結束。

設計意圖：讓學生充分經歷直觀操作（ 平均分小棒）、語言表征（具體說說怎么分的）以及符號表征（抽象出豎式）的過程。這樣，學生既能說清操作過程，看懂圖示，會用豎式表示，又能根據豎式用操作活動和圖示進行解釋，促進了學生對算理的理解。

3.驗算：同學們，我們剛才通過探究52÷2=26，到底正確嗎？應該怎么辦？

你們提出要進行驗算，你是說：在沒有余數的除法算式里，可以用商和除數相乘，看是不是被除數來進行驗證。你的方法很巧妙，那請同學動手算一算。

設計意圖：驗算可以幫助學生及時發現解答問題時出現的錯誤，并能迅速糾正。驗算可以有效幫助學生克服“粗心”的缺點。提高學生計算能力的關鍵是引導學生養成良好的驗算習慣。

（三）比較例1和例2的區別

師：同學們，我們今天通過筆算除法來解決問題，比較一下，例1和例2的兩個除法豎式有什么不同呢？我們是怎樣進行計算的？

生1：第一個豎式，除數去除被除數最高位時能夠除盡，沒有余數。第二個豎式，除數去除被除數最高位時不能除盡，有余數。

師：筆算除法時，如果十位上除后有余數怎么辦？

生2：如果除到被除數的十位以后還有余數，要把余數與被除數的下一位數合起來繼續除。

設計意圖：通過比較兩道例題的區別，突出“被除數十位上有余數”的情況，幫助學生掌握兩位數除以一位數的筆算方法。

（四）總結算法

師：我們這節課探究了筆算除法，誰來說說應該怎么計算？

一位數除兩位數的筆算方法，從被除數的高位除起，除到被除數的哪一位，商就寫在那一位上面，如果求出一位商后還有余數，余下的數要與被除數個位落下來的數合并后，繼續除。

三、應用拓展，提高技能

完成書本16頁做一做，請你們同桌間化身為書上這兩只小兔子，比一比，看誰又快又準確計算出這些豎式的得數，獲得勝利的果實！

設計意圖：通過練習一是讓學生鞏固新知識，提高學生應用知識解決實際問題的能力;二是結合解決課始提出的問題，讓學生體驗應用數學學習思考的重要性。

四、總結收獲，歸納方法

這節課我們學習了除數是一位數除兩位數的筆算除法？是怎樣學的呢？誰來跟大家分享一下你的收獲？

小結：一開始同學們通過遷移將除數算式轉化為以前學習過的表內除法來解決問題，能學以致用。又能通過擺小棒來理解一位數除兩位數的除法豎式計算過程，體現了數形結合的思想，這是學習數學的好方法。如果同學們以后也遇到類似問題，希望你們能繼續用這種方法來使問題迎刃而解！那現在讓我們去智慧囊上闖闖關吧！

設計意圖：本環節通過總結課題—內容—學法三個層次回顧了整節課的知識點以及探究過程。讓學生回顧學習過程，反思評價，再一次體驗學習經歷，對學習過程是進行系統化、條理化的歸納，不僅促進學生掌握知識、領悟方法，培養學生問題解決的能力。

教學設計特色

1.算法多樣，基于已有經驗。

學生新知的學習是基于已有知識和經驗的主動建構，是在原有基礎上形成、拓展、驗證和修改，是一個動態進步的過程。在本節課教學前，學生已經學習了表內除法以及簡單的除法豎式，具有一定的經驗。因此在教學例1時讓學生自主選擇喜歡的方法來解決問題時呈現出算法多樣的情況，能夠幫助學生形成發散思維，復習舊知、突破新知。

2.數形結合，加強算理理解。

數學結合思想在數學教學中應用廣泛，它能將數量關系問題轉化為圖形性質來研究，以便以形助數，使問題簡單化和具體化。例1教學讓每個學生經歷將42根小棒平均分成兩組的過程，讓學生明白除的順序和平均分小棒的順序一致，結合豎式弄清每一步計算中各個數的含義。例2教學同樣也要讓每個學生經歷52根小棒平均分兩組的過程，將分小棒的過程與豎式結合起來，讓學生明白豎式中每個數的含義及來由，借助文字表征提煉算法，實現由算理到算法的自然過渡。因此在教學過程中多運用直觀工具教學，對于學生鞏固和加深對有關數學知識的理解、打好基礎、提高能力是非常重要的。

3.問題啟發，促進思維深層。

解決問題不是單純的解數學題，而是包括提出數學問題、建立數學模型、尋找解決問題的策略、制定解決問題的計劃、實施解決方案、反思評價等。在本節課教學中，首先設計了導向性的問題“可以怎樣求42÷2的得數”;接著是計劃性問題“結合擺小棒的方法說說他們是怎么筆算的？”;最后是目標性問題“筆算除法應該怎么計算？”使得學生探究并理解筆算除法的算理，進一步掌握算法。教師和學生圍繞這個問題進行交往互動，形成解決問題的方法，充分體現數學學習的過程就是解決問題的過程。

作者簡介：潘婉婷（1996-）女，漢，福建泉州，研究生在讀，集美大學（福建廈門，361021），基礎教育