例析二階導(dǎo)數(shù)在函數(shù)方面的應(yīng)用

江蘇省南通市海門證大中學(xué) 李 明

隨著高等數(shù)學(xué)知識(shí)下放趨勢(shì)的明朗，在全國(guó)各地的高考題中，越來越多地出現(xiàn)了具有高等數(shù)學(xué)背景的題目。當(dāng)然，高考題目依然是以高中所學(xué)的知識(shí)為主要依據(jù)，但是這也意味著高中階段對(duì)于高等數(shù)學(xué)中極限、微積分等思想的涉及應(yīng)該越來越廣泛、深入。

一、二階導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性判斷方面的運(yùn)用

在高考題中對(duì)函數(shù)這一考點(diǎn)的考查，往往需要從導(dǎo)數(shù)的角度出發(fā)解決，學(xué)生通過對(duì)函數(shù)進(jìn)行一次求導(dǎo)，并進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，從而對(duì)一般性的證明題或者求解參數(shù)取值范圍的題目進(jìn)行求解。但隨著高等數(shù)學(xué)思想的引入，部分題目在進(jìn)行了一次求導(dǎo)后，依然無法明確判斷出原函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，如此也就很難對(duì)原函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷，這將給學(xué)生的解題帶來了困擾。如果學(xué)生利用二階導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，繼續(xù)對(duì)一階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，也就是求原函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，往往可以產(chǎn)生不錯(cuò)的效果，通過對(duì)二階導(dǎo)數(shù)正負(fù)性的判定，進(jìn)一步確定一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，從而判斷出原函數(shù)的增減性，為學(xué)生的解題提供了極大的便利。

反思：從本質(zhì)上來說，本題是由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性出發(fā)，進(jìn)一步判斷原函數(shù)的增減性，從而完成原題，但是在本題中，原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性無法通過直接觀察等簡(jiǎn)單的方法得出結(jié)論，因此需要通過分析二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性來判斷出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，從而完成對(duì)原函數(shù)增減性的判定。

二、二階導(dǎo)數(shù)在判斷根的個(gè)數(shù)方面的應(yīng)用

在近幾年的高考題中，多次出現(xiàn)對(duì)某一方程根的個(gè)數(shù)的判定，這類題目一般無法直接通過計(jì)算得出結(jié)論，既然不能通過直接計(jì)算得出結(jié)論，學(xué)生可以考慮建立函數(shù)關(guān)系，從而通過對(duì)函數(shù)本身性質(zhì)的討論，間接得出原方程的根的個(gè)數(shù)。

例2：已知函數(shù)f（x）=（x2-3x+3）ex，設(shè)g（x）=f（x）+（x-2）ex，當(dāng)x＞1 時(shí)，試判斷方程g（x）=x根的個(gè)數(shù)。

解析：令φ（x）=g（x）-x，即φ（x）=（x-1）2ex-x。因?yàn)棣?（x） =（x2-1）ex-1， 則φ''（x）=（x2+2x-1）ex。 當(dāng)x＞1 時(shí)，φ''（x）＞0，即φ'（x）單 調(diào) 遞 增，則φ'（x）＞φ'（1）=-1＜0。又φ'（2）=3e2-1＞0，故在區(qū)間（1，2）內(nèi)必存在點(diǎn)x0，使得φ'（x0）=0，且x∈（1，x0）時(shí)，φ（x）單調(diào)遞減，x∈（x0，+∞）時(shí)，φ（x）單調(diào)遞增，故x=x0是φ（x）唯一的零點(diǎn)，即方程g（x）=x只有一個(gè)根。

反思：近幾年的高考題中關(guān)于方程根的個(gè)數(shù)的判定幾乎是必考題型，但是此類題型中對(duì)方程的求解幾乎是高中生無法完成的任務(wù)。因此，學(xué)生在考慮該類問題時(shí)，可以優(yōu)先考慮建立新的函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)對(duì)原函數(shù)的增減性進(jìn)行判定。這里要注意的是，當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性無法直接判定時(shí)，可以利用二階導(dǎo)數(shù)加以分析。

三、利用二階導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)中的參數(shù)值

翻閱近幾年的高考題會(huì)發(fā)現(xiàn)，關(guān)于函數(shù)中參數(shù)值的求解，一直是高考的常考題型，但是隨著高等數(shù)學(xué)思想的下放，此類題型的難度也在逐年升高。如今該類題型已經(jīng)無法通過直接計(jì)算函數(shù)值來求解了，那么此時(shí)只能運(yùn)用函數(shù)本身的性質(zhì)進(jìn)行判定。

反思：在該題中兩次運(yùn)用了導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行逆推分析出兩者之間的關(guān)系，從而使原本復(fù)雜的題目變得簡(jiǎn)單易懂，其中二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與分析起到了至關(guān)重要的作用。

綜上所述，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)合理運(yùn)用二階導(dǎo)數(shù)，不僅提供了更加廣闊的解題思路，最重要的是幫助學(xué)生正確探知、理解了題目的內(nèi)涵。學(xué)生在平時(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)南嚓P(guān)練習(xí)，可以拓展思維、發(fā)散思維。