基于MUSIC 的分布式極化敏感立體陣列DOA 估計*

趙立鵬，姚國國，禹永植，陳 濤

（1.哈爾濱工程大學信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱150001；2.中國空空導彈研究院航空制導武器航空科技重點實驗室，河南洛陽471009）

0 引言

共形陣列是指天線附著于載體表面且與載體貼合的陣列，可以與飛機、導彈以及衛星等高速運行的載體平臺表面相共形。由于其具有節省空間、質量和不破壞空氣動力學等特點，在電子偵察、電子干擾、航空航天及通信等領域引起了廣泛關注。

分布式極化敏感陣列由于其單陣元多分量的特點，非常適用于空間受限的共形陣列。隨著共形陣列的技術發展，分布式極化敏感陣列也得到了廣泛應用，但目前的研究都是針對平面陣列，或是結構比較規則的球面、柱面和錐面立體陣列。文獻[1]建立了錐面、柱面和球面的陣列模型，并將多重信號分類(MUSIC)算法[2]移植到上述模型中。文獻[3]針對柱面陣列，實現了極化參數與DOA 參數的聯合估計。文獻[4]針對球面陣列提出了基于子陣分割的有向陣元MUSIC 算法。文獻[5]針對柱面陣列，提出一種基于數據自適應子陣分割的快速DOA 估計算法，大幅度降低了運算復雜度，同時提高DOA 估計精確度。若共形陣列的載體有特殊要求，以上模型不再適用，需要更靈活的天線擺放形式，同時由于每個天線的單一極化特性，多極化接收也需要通過天線的不同擺放來實現。此時，共形陣列的擺放形式可能不再是同一平面內擺放或規則的立體擺放，國內外學者在此方面研究較少，故本文提出了分布式極化敏感立體陣列的模型，可以實現陣元在三維立體空間內任意擺放。

隨著DOA 估計技術的發展，包括MUSIC、ESPRIT 和Root-MUSIC 等DOA 估計算法移植到極化敏感平面陣列的應用已經比較成熟，但是ESPRIT 和Root-MUSIC 等算法只對特殊陣列有效，而MUSIC 算法對陣列有著普遍的適用性，可以移植到多種陣列中。文獻[6]首次將MUSIC 算法移植到極化敏感陣列，對數據進行4 維聯合DOA 估計即可求出信號的DOA 和極化參數。在此基礎上，為了減小計算復雜度以及提高測角精度，諸多學者對算法進行改進，文獻[7]使用秩虧MUSIC 方法將角度域和極化域的四維搜索變為2 個分別唯角度域和唯極化域的二維搜索，實現了到達角和極化參數的四維參數估計。針對分布式極化敏感立體陣列的DOA 估計問題，本文將極化MUSIC 算法移植到了分布式極化敏感立體陣列的模型中，同時提出了相應的通道幅相誤差校正方法，實現了到達角參數和極化參數的聯合估計。

1 分布式極化敏感立體陣列

以下為陣列模型的假設條件：

1）入射信號均為遠場源信號。

2）各陣元接收噪聲為高斯白噪聲，噪聲之間以及噪聲與信號之間相互獨立。

3）各陣元為單偶極子，線極化方式接收信號。

4）各天線的波束指向一致。

1.1 陣列幾何結構

分布式極化敏感立體陣列的幾何結構如圖1 所示，陣列中各陣元為單偶極子，分布在三維空間內。并且各陣元指向不同，對不同極化狀態的入射信號有不同的響應，可以達到敏感極化信息的目的。

圖1 分布式極化敏感立體陣列幾何結構

各天線波束指向一致，不再考慮擺放滾轉角，定義天線擺放角為(α,β)，其中α 為共形天線在XOY 平面的投影與X 軸的夾角，β 為共形天線與Z 軸的夾角，如圖2 所示。在一般的分布式極化敏感平面陣列中，β為固定值，而在立體陣列中，隨著各天線的靈活擺放β會隨之變動。

圖2 共形天線與擺放角定義

1.2 分布式極化敏感立體陣列接收模型

假設有M 個遠場窄帶信號入射到該陣列中，其中第m 個入射信號的到達角和極化參數分別為(θm,φm,γm,ηm)，立體極化敏感陣列的信號接收模型可以表示為：

式中，u(θm,φm)為第m 個信號的陣元空間相位矩陣。

式中，diag [·]表示對角矩陣，un(θm,φm)為第n 個陣元處，第m 個信號形成的空間延遲：

式 中，ω=2πc/λ，c 為 光 速，λ 為 信 號 波 長。τn=(xnsinθmcosφm+ynsinθmsinφm+zncosθm)，為信 號 在第n 個陣元與原點之間的空間延遲。(xn,yn,zn)為第n個陣元相對于原點的坐標。

式(2)中，B 為極化敏感矩陣，與各陣元的擺放有關。設入射信號與天線極化完全匹配時的增益為1，則天線的增益矢量為：

對于分布式極化敏感立體陣列，極化敏感矩陣B 為：

式(2)中，φ(θm,φm,γm,ηm)描述了極化域與角度域的相干結構，如圖3 所示，與每個極化敏感陣元的位置無關。在分布式極化敏感立體陣列中可以表示為：

圖3 極化域與角度域的相干結構

將u(θm,φm)，B 和φ(θm,φm,γm,ηm)的具體形 式 代入式(2)即可得到導向矢量的具體形式。

2 極化MUSIC 算法

基于以上給出的分布式極化敏感立體陣列的信號接收模型，將極化MUSIC 算法拓展到此模型中，根據導向矢量的形式構造達到角和極化參數聯合譜，估計信號參數。

2.1 極化MUSIC 算法原理

假設有M 個遠場窄帶完全極化信號入射到由N個陣元組成的陣列中，對信號x(t)采樣K 次并構造協方差矩陣：

對協方差矩陣進行特征值分解可得：

式中，US為信號子空間，由M 個大特征值對應的特征向量[u1,u2,…,uM]構成。UN為噪聲子空間，由N-M個小特征值對應的特征向量[uM+1,uM+2,…,uN]構成。根據信號子空間與導向矢量及噪聲子空間的關系有：

因此，導向矢量和噪聲子空間存在正交的關系，根據此關系，構造譜密度函數：

在4 個參數(θ,φ,γ,η)張成的四維空間中，通過譜峰搜索獲得譜峰位置坐標值，即可得到信號的到達角和極化參數估計值。

2.2 到達角和極化參數估計

由以上得到的譜密度函數，需要進行四維搜索譜峰值才可以得到四維參數的估計值，運算復雜度比較高，運算量非常大。下面介紹一種結合秩虧原理的極化MUSIC 方法，將四維空間搜索化簡為唯角度域和唯極化域的2 個二維空間搜索。

根據導向矢量和噪聲子空間的正交關系，有：

而aθ,φ,γ,η可以改寫為：

進一步，式(13)可以改寫為：

由于hγ,η為滿秩 矩陣，若式(15)成立，則Hθ,φ必為虧秩矩陣，也就是當即滿足M組真實入射信號的到達角參數時，上式成立。由此，到達角參數的譜函數搜索可以表示為：

經過2 次二維搜索后得到M 組到達角估計值和M組極化參數估計值。

當多個信號入射時，需要對到達角參數和極化參數進行配對。根據正確配對的參數譜密度值必定會大于其他配對錯誤時參數譜密度值的原理，以2 信號入射為例，即：

使用秩虧極化MUSIC 方法得到入射信號的到達角和極化參數估計值后再使用此判斷法對譜密度大小進行判斷，即可得到入射信號的正確配對參數。

2.3 通道幅相誤差校正

在極化敏感立體陣列中，由于極化參數以及陣元三維擺放的影響，針對傳統標量平面陣列的幅相誤差校正方法不再適用，下面給出基于分布式極化敏感立體陣列的通道幅相誤差校正方法。

基于圖1 所示的八陣元分布式極化敏感立體陣列，當陣列存在幅相誤差時，陣列接收到的信號形式與式(1)不同，可以表示為：

式 中 ， W =diag[ g1exp(jφ1),…,gnexp(jφn),…,gNexp(jφN)]為通道幅相誤差矩陣，gn和φn分別表示第n 個通道的幅度增益和相位誤差。

1）消除固有影響

①極化參數影響。分布式極化敏感陣列中，與傳統標量陣列不同的是，極化參數的加入會對各通道的幅相帶來一定影響，由分布式極化敏感立體陣列的模型可以得出極化參數的影響P 可以表示為：

②縱軸空間延遲影響。除極化參數的影響外，立體陣列由于陣元在三維空間內擺放，與平面陣列相比，各陣元接收信號在縱軸方向的不同空間延遲也會對各通道幅相造成影響。

為消除這兩部分影響，使用靜態校正的方法，用已知極化和入射角度的輔助源，假設極化與角度已知且到達角為(θ,φ)=(0°,0°)，極化方式為圓極化的輔助源，將參數代入式(2)可得此時導向矢量為：

式中，Z 為0°信號入射立體陣列時縱軸方向達到角參數的影響，P 即為極化參數帶來的影響，這兩部分總影響I=Z.*P，“.*”代表矩陣對應元素相乘，計算消除兩部分總影響后接收數據協方差矩陣

2）幅相不一致補償

消除固有影響后，再對通道的幅相不一致進行補償。

以第1 個通道為參考，W 可以變換為：

式 中 ，W′=diag [1,g2/g1exp(j(φ2-φ1)),…,gN/g1exp(j(φN-φ1))]為以第1 通道為參考的幅相誤差矩陣。由式(23)可得存在幅相誤差的陣列接收數據協方差矩陣可以表示為：

式中，R 是消除固有影響且不存在通道幅相誤差時的陣列接收數據協方差矩陣。理想條件下，在只有一個0°入射信號時，R 中的元素滿足(i,j=1,2,…,N )，xi為不存在幅相誤差時第i 個通道接收的數據，可以得到：

通道幅相誤差校正方法總結如下：

1）使用一個到達角參數為(0°,0°)，極化方式為圓極化的輔助源，根據式(22)計算陣列接收數據消去固有影響的協方差矩陣

3）根據式(27)校正公式對導向矢量矩陣進行校正，得到校正后的導向矢量矩陣再進行入射信號的參數估計。

3 仿真實驗

采用模型為圖1 所示的八陣元分布式極化敏感立體陣列，每個陣元的位置坐標(x,y,z)分別為（0.1，-0.05，-0.01），（0.15，0.03，-0.03）（0.1，0.08，-0.04），（0，0.1，-0.05），（-0.1，0.08，-0.04），（-0.15，0.03，-0.03），（-0.1，-0.04，-0.01），（0，-0.1，0），坐標單位為m。第n 個陣元的擺放角為αn=360°n/8，βn=90°n/8。基于此陣列進行以下計算機仿真。

3.1 通道幅相誤差校正

假設單信源入射到陣列中，信號到達角和極化參數為(θ,φ,γ,η)=(30°,40°,20°,35°)，快拍數為100，信噪比為15 dB，頻率為4 GHz，使用極化MUSIC 算法仿真得到幅相誤差校正前后的參數估計結果如圖4—7所示。

假設單信源入射到該陣列，信源到達角參數在±60°內隨機給出，極化參數為(γ,η)=(45°,20°)，入射信號信噪比分別為0 dB、4 dB、8 dB、12 dB、16 dB、20 dB 時，快拍數為100，搜索步進為0.2°。在校正前后使用極化MUSIC 算法各做100 次Monte-Carlo 實驗，得到不同信噪比下的單信源均方根誤差如圖8 所示。

估計均方根誤差(RMSE)定義為：

圖4 校正前DOA 估計結果

圖5 校正后DOA 估計結果

圖6 校正前極化參數估計結果

圖7 校正后極化參數估計結果

式中，N 為Monte-Carlo 實驗中測向結果正確的次數，θ和φ 的估計值與真實值的差值均在2°以內視為測向正確。分別為俯仰角和方位角的估計值，θ 和φ 為俯仰角和方位角的真實值。

圖8 幅相誤差校正前后均方根誤差

由圖4—7 可以看出，幅相誤差校正后譜峰明顯尖銳許多，DOA 估計結果更加準確，證明了通道幅相誤差校正方法的正確性。且由圖8 可以看出，經過通道幅相誤差校正后的測角精度得到明顯提高。

3.2 測角性能比較

假設單信源入射到該陣列，信源到達角參數在±60°內隨機給出，極化參數為(γ,η)=(45°,20°)，入射信號信噪比分別為0 dB、4 dB、8 dB、12 dB、16 dB、20 dB 時，快拍數為100，搜索步進為0.2°。使用極化MUSIC 算法以及傳統MUSIC 算法各做100 次Monte-Carlo 實驗，得到不同信噪比下的單信源均方根誤差如圖9 所示。

圖9 均方根誤差隨信噪比變化情況

由圖9 可以看出，極化MUSIC 算法的測角性能要優于普通標量陣列下的MUSIC 算法，尤其在低信噪比的情況下，且隨著信噪比增大，均方根誤差逐漸減小，DOA 的估計性能也越好。

3.3 分辨力比較

假設有2 個信源同時入射到該陣列，信源a 的到達角和極化參數為(θ,φ,γ,η)=(θ1,φ1,45°,20°)，信源b 的 參 數 為(θ,φ,γ,η)=(θ1+Δ,φ1+Δ,20°,30°)，(θ1,φ1) 在 ±60° 內 隨 機 給 出 ，Δ 分 別 取±1°、±1.5°、±2°即比較對極化參數不同但到達角只相差Δ 情況下的2 信號分辨情況。入射信號信噪比為5～20 dB，頻率為4 GHz，快拍數為100。θ 和φ 的估計值與真實值的差值均在2°以內視為測角成功。使用極化MUSIC 算法和傳統MUSIC 算法各進行1 000次Monte-Carlo 實驗，得到不同信噪比下測角成功率如圖10 所示。

圖10 不同信噪比下2 信源測角成功率

由圖10 可以看出，極化MUSIC 算法可以在2 信源角度間隔1°及信噪比15 dB 以上時達到99%測角成功率，分辨力遠優于普通標量陣列下的MUSIC算法。

4 結束語

本文提出了一種分布式極化敏感立體陣列。首先給出了該陣列的幾何結構并建立了接收信號的數學模型，之后將適用于極化敏感平面陣列的秩虧極化MUSIC 算法移植到立體陣列中，并采用靜態校正的方法對通道幅相誤差進行校正，即先消除固有影響后補償通道幅相不一致，實現了到達角和極化參數的聯合估計。相較于平面陣列和錐面、球面、柱面立體陣列，本文提出的陣列模型擺放形式更加靈活，可以更方便地應用于共形陣列?！?/p>