非奇異快速終端滑模及動態面控制的軌跡跟蹤制導律*

陳 琦，王旭剛

(南京理工大學 能源與動力工程學院， 江蘇 南京 210094)

為了執行特定的任務，通常要求飛行器按照預先設定的軌跡進行飛行。一般情況下，這些預設軌跡是由直線和復雜的曲線構成，對軌跡跟蹤技術提出了較高的要求。此外，實際飛行中也會存在初始偏差以及各種干擾。因此，為了保證飛行器能夠準確地跟蹤預設軌跡，需要研究相應的軌跡跟蹤制導律。

針對軌跡(或彈道)跟蹤問題，國內外學者進行了大量的研究，并取得了一系列的成果。文獻[1-3]研究了一類基于位置誤差的線性化彈道跟蹤方法。該方法主要是根據飛行器和方案彈道之間的位置誤差，采用線性控制理論設計彈道跟蹤算法。文獻[4]提出了一種航跡點跟蹤方法。該方法通過在方案彈道上設置一系列的航跡點，然后設計相應算法使得飛行器依次經過這些航跡點，最終實現對方案彈道的跟蹤。但是這種方法做了較多的近似處理，隨著方案彈道曲率的增加，其跟蹤誤差也逐漸增大。Liang等[5-6]研究了基于航跡點的再入式飛行器制導問題，同時考慮了禁飛區等約束條件，取得了很好的制導效果。近年來，非線性控制理論被逐漸應用于設計彈道跟蹤制導律。Park等[7]提出了一種基于虛擬點的圓軌跡跟蹤方法，該方法在參考軌跡上設置虛擬目標點，并且使得目標點與飛行器之間保持固定的距離，通過追蹤目標點形成制導指令。王旭剛等[8-9]將該方法推廣到了三維空間，提出了一種適用于旋轉制導炮彈的方案彈道跟蹤與控制方法，該方法可保證跟蹤誤差在合理的范圍內取得較好的彈道跟蹤效果；為了進一步提高圓軌跡跟蹤法的收斂時間和跟蹤精度，文獻[10] 研究了一種適配于滑翔機的自適應非線性彈道跟蹤制導律，并取得了不錯的彈道跟蹤效果。針對復雜環境下的軌跡跟蹤問題，文獻[11]和[12]提出了一種基于矢量場的無人機軌跡跟蹤方法，該方法在參考軌跡周圍構造矢量場，從而使得飛行器逐漸跟蹤參考軌跡，在常值風的干擾下，該方法依然可保證飛行器漸進收斂于參考軌跡，魯棒性較強，但是矢量場的構造過程較為復雜而且算法的在線計算量較大，實際應用起來具有一定的難度。

采用末制導律追蹤虛擬點的方法是求解軌跡跟蹤問題的另一種思路。Medagoda等[13]通過在參考軌跡上設置虛擬目標點，將軌跡跟蹤問題轉化為末制導問題，然后采用速度追蹤法得到過載指令。但是，當參考軌跡的曲率變化較大時，該方法會導致較為明顯的跟蹤誤差。針對這一問題，文獻[14]提出了一種彈道成型軌跡跟蹤方法。該方法依然在參考軌跡上設置運動的虛擬目標點，之后采用彈道成型末制導律[15]來追蹤虛擬目標點。該方法不論對直線軌跡還是圓弧軌跡均具有很好的跟蹤性能，同時其收斂速度也明顯優于文獻[13]中的方法。然而，該方法是在線性化模型的基礎上推導而來的，具有一定的線性化誤差，較大的初始彈道跟蹤誤差會影響其跟蹤性能。此外，上述方法均忽略了自動駕駛儀動態特性的影響，在實際的工程應用中，特別是對于機動能力有限的飛行器，自動駕駛儀的動態特性會對軌跡跟蹤效果產生較大的影響。針對以上問題，有必要研究一種新型的軌跡跟蹤制導律。

滑模控制方法對不確定性因素(如參數攝動和外界干擾等)具有很好的魯棒性，因此該方法被廣泛應用于制導律的設計中[16-19]。為了提高軌跡跟蹤速度同時避免奇異性，本文采用非奇異快速終端滑模控制方法，設計了一種新型的軌跡跟蹤制導律。通過在參考軌跡上設置虛擬目標點，將軌跡跟蹤問題轉化為對虛擬目標點的末制導問題。同時為了保證跟蹤精度，提出了一種參考軌跡曲率半徑的末端視線角約束條件，采用二階動態環節來近似自動駕駛儀的動力學特性，并在制導律的設計中引入動態面控制方法以避免虛擬控制量在求導過程中產生微分爆炸的問題。所設計的軌跡跟蹤制導律不需要對軌跡跟蹤問題進行線性化近似，因此可以獲得更高精度的軌跡跟蹤效果。

1 問題描述及數學模型

1.1 相對運動關系方程

通過在參考軌跡上設置虛擬目標點T，飛行器M在制導律的作用下逐漸追蹤該虛擬目標點，進而追蹤預設軌跡[20]。虛擬目標T和飛行器M之間的相對運動幾何關系如圖1所示。圖1中，R表示相對距離，q表示視線角，θt和θm分別為虛擬目標和飛行器的航跡角，vt和vm分別為虛擬目標和飛行器的速度，at和am分別為虛擬目標和飛行器的法向加速度。飛行器的速度vm假設為常數，參考文獻[14]，則虛擬目標的運動速度為：

(1)

式中，R*>0表示目標與飛行器之間的最小距離，視為制導律中的可調參數。

圖1 飛行器與虛擬目標相對運動關系Fig.1 Engagement geometry between the vehicle and the virtual target

根據圖1中的關系，并結合式(1)，飛行器和目標之間的相對運動學方程[20]可寫為：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

對式(3)兩邊相對時間t求導，然后將式(2)、式(4)～(6)代入其中，可得：

(7)

1.2 角度約束條件

通過引入虛擬目標點的概念，軌跡跟蹤問題便可轉化為針對虛擬目標點的末制導問題。然而，為了保證跟蹤精度，需要在跟蹤過程中對飛行器和虛擬目標之間的視線角加以約束。由于式(1)的存在，飛行器和虛擬目標并不會進行直接碰撞，而是最終保持最小距離R*。因此，本文的視線角約束與帶攻擊角度約束制導律中所考慮的期望視線角[17-19]有所不同，本節針對軌跡跟蹤問題所需的角度約束條件進行推導。

實際中的參考軌跡往往可以通過直線和圓弧或二者的組合進行近似(如一般曲線可通過不同曲率的圓弧組合近似)[20]。為了分析方便，分別以直線參考軌跡和圓弧參考軌跡進行分析。圖2為飛行器與虛擬目標之間保持最小距離R*時，直線參考軌跡的跟蹤示意圖，圖中d表示跟蹤誤差，δ表示視線與參考軌跡的夾角。

圖2 直線軌跡跟蹤Fig.2 Straight path following

根據圖2中的角度關系有：

δ=q-θt

(8)

基于小角度假設，有：

(9)

根據式(8)和式(9)可得跟蹤誤差為：

d≈R*(q-θt)

(10)

因此，當R→R*時，為了使跟蹤誤差為0，要求q=θt。故而，對于直線軌跡跟蹤情形，R→R*時的期望視線角可取為：

qd=θt

(11)

圖3為飛行器與虛擬目標之間保持最小距離R*時，圓弧參考軌跡的跟蹤示意圖，圖中α為虛擬目標點的速度矢量和理想情況(零跟蹤誤差)下視線之間的夾角。

圖3 圓弧軌跡跟蹤Fig.3 Circular path following

假設當R→R*時，有d?2Rc，因此有：

(12)

式中，Rc為圓弧的曲率半徑。

(13)

根據圖3中的幾何關系，有：

δ=q-(θt-α)

(14)

基于小角度假設，有：

(15)

根據式(14)和式(15)可得跟蹤誤差為：

d≈R*(q-θt+α)

(16)

將式(12)代入式(16)得到：

(17)

(18)

對于直線參考軌跡，易知at=0，Rc=+∞，此時式(18)變為qd=θt。可見，當跟蹤直線參考軌跡時，式(18)將自動退變為式(11)。綜上，將式(13)代入式(18)，整理得到針對軌跡跟蹤問題的期望視線角約束條件：

(19)

結合式(10)和式(17)，可得相應的軌跡跟蹤誤差為:

d≈R*(q-qd)

(20)

可以看出，當期望視線角為式(19)時，在直線軌跡和圓弧軌跡兩種情形下，跟蹤誤差均與視線角誤差成簡單的比例關系，且其比例系數由R*決定。因此，如能控制視線角誤差為零，則可保證軌跡跟蹤誤差為零。此外可看出，減小參數R*的值，也有助于降低跟蹤誤差。

1.3 軌跡跟蹤數學模型

由于自動駕駛儀的存在，實際過載會滯后于制導指令，特別是當飛行器的控制能力較弱時，過載的滯后效應更加明顯[20]。因此，為了進一步提高軌跡跟蹤效果，需要考慮自動駕駛儀的動態特性。為此，采用如式(21)所示的二階動態環節來近似自動駕駛儀的動力學特性。

(21)

式中，am為飛行器的法向加速度，u為制導指令，ωn為自動駕駛儀的固有頻率，ξ為阻尼比。

定義狀態變量

(22)

(23)

結合式(7)、式(21)和式(22)，可得軌跡跟蹤動力學方程為：

(24)

其中，φm=q-θm,φt=q-θt， 從式(22)可看出，x1和x2分別表征了視線角以及視線角速度的跟蹤誤差。因此，軌跡跟蹤制導律的設計任務變成通過設計控制量u，使得x1→0，x2→0。

2 軌跡跟蹤制導律設計

針對式(24)所描述的軌跡跟蹤動力學系統，采用非奇異快速終端滑模控制方法，并結合動態面控制方法，對軌跡跟蹤制導律進行設計。

步驟1：設計x3的虛擬控制x3c。

為了保證跟蹤誤差的收斂速度并且避免奇異問題，選取第1個動態面為：

(25)

式中：β1,β2,g,h,p,q均為正數；g,h,p,q為奇數并滿足1

對式(25)進行微分并結合式(24)得到：

(26)

選擇一個虛擬控制量x3c，使得s1→0。

(27)

其中，M1>0,M2>0, 0<γ<1。

采用時間常數為τ1的一階低通濾波器對x3c進行濾波，得到濾波虛擬控制量x3d。

(28)

步驟2：設計x4的虛擬控制律x4c。

定義第2個動態面為：

s2=x3-x3d

(29)

對s2進行微分得到：

(30)

選擇一個虛擬控制量x4c，使得s2→0。

(31)

式中，k1>0。 采用時間常數為τ2的一階低通濾波器對x4c進行濾波，得到濾波虛擬控制量x4d。

(32)

步驟3：設計實際控制律u。

定義第3個動態面為：

s3=x4-x4d

(33)

對s3進行微分得到：

(34)

設計實際控制量u, 使得s3→0。

(35)

式中，k2>0。式(35)為最終的制導指令。

3 跟蹤誤差收斂性分析

定理針對式(24)，如果期望視線角設計為式(19)，制導指令設計為式(35)，當選定的參數滿足

摘 要：高校教育資源體系生態化構建戰略主要是按照生態化管理的要求，保證高校教育資源體系能夠以社會生態的和諧發展為根本目的，促進生態能源資源體系的科學構建。其與傳統的高校教育資源體系的構建有著本質上的不同，注重生態化的高校教育資源開發，通過科學、系統、合理的分析，實現高校教育資源的開發、整合以及利用，從而以保護生態環境、生態資源的再生性為根本目的，構建生態化高校教育資源體系。

(36)

則可以使非奇異快速終端滑模面s1一致最終有界，視線角誤差x1和視線角速度誤差x2一致最終有界。當參數M1,M2,k1和k2足夠大，且τ1和τ2足夠小時，可使軌跡跟蹤誤差任意小。

證明：定義新的誤差變量：

y1=x3d-x3c

(37)

y2=x4d-x4c

(38)

將式(37)和式(38)分別代入式(29)和式(33)，得到：

x3=x3c+s2+y1

(39)

x4=x4c+s3+y2

(40)

(41)

由于p和r均為奇數，因此λ≥0。將式(40)代入到式(30)，有：

(42)

將式(35)代入式(34)，有：

(43)

分別對y1和y2求導，有：

(44)

(45)

定義以下Lyapunov函數：

(46)

對式(46)求導，可得：

(47)

式中：

(48)

考慮到λ≥0，因此選擇合適的M2>0，有式(49)成立。

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

因此

(55)

綜上，通過恰當地選擇參數使得式(36)成立，則式(55)可以表示為：

(56)

式中：

(57)

求解式(56)，可得：

(58)

因此，s1,s2,s3,y1和y2均一致最終有界。當選定的參數M1,M2,k1和k2足夠大，且τ1和τ2足夠小時，ρ將足夠大，那么就可以使1/(4ρ)任意小。文獻[23]通過引入高斯超幾何函數并采用Lyapunov穩定性準則證明了非奇異終端滑模面(見式(25))可保證x1和x2在有限時間內收斂，具體收斂時間可參見文獻[23]。因此視線角誤差和視線角速度誤差也一致最終有界，并可通過調整參數M1,M2,k1,k2,τ1和τ2, 使得誤差任意小。

根據式(20)可知，軌跡跟蹤誤差d與視線角誤差成簡單的比例關系，當視線角誤差最終任意小時，軌跡跟蹤誤差也將任意小，從而定理得證。

□

為了抑制符號函數所導致的高頻震顫問題，將式(27)中的符號函數sign(s1)修改為連續函數：

(59)

式中，a為一個反比于邊界層厚度的正常數。

考慮到飛行器在實際中只能提供有限的加速度，同時根據式(27)，當|φm|=π/2時，x3c趨于無窮大，因此使用式(60)對式(35)的制導指令進行限幅處理。

(60)

其中，am max為飛行器所能提供的最大加速度。

4 仿真結果

在不同條件下進行數字仿真以驗證所提出的軌跡跟蹤制導律的性能。飛行器的初始位置為(0 m, 0 m)，速度vm=100 m/s,飛行器所能提供的最大加速度am max=150 m/s2；軌跡跟蹤制導律中各參數設計為β1=1,β2=0.5,g=7,h=3,p=5,r=3,M1=M2=100,γ=0.4,k1=k2=10,τ1=τ1=0.01,a=20；如無特殊說明，飛行器初始航跡角θm(0)=0°, 參數R*=40 m,飛行器自動駕駛儀的阻尼比ξ=0.5, 固有頻率ωn=20 rad/s。

同時，為了驗證本文所提的非奇異快速終端滑模軌跡跟蹤制導律(Nonsingular Fast Terminal Sliding Mode Path-following Guidance, NFTSMPG)的有效性，將文獻[14]中所提的彈道成型軌跡跟蹤制導律(Trajectory Shaping Path-following Guidance, TSPG)一并進行對比仿真。

4.1 直線軌跡跟蹤

圖4給出了對直線軌跡的跟蹤效果。從圖4(a)可以明顯地看出，所提的制導律(NFTSMPG)可以使飛行器準確地跟蹤預設軌跡，而彈道成型制導律(TSPG)則表現出了一定程度的振蕩現象。這主要是由于TSPG假設飛行器可以瞬時響應制導指令，忽略了自動駕駛儀的影響。在實際應用中，這種理想化的假設會導致振蕩現象的出現，同時自動駕駛儀的動態特性越差(對制導指令延遲越大)，這種振蕩現象將越明顯。此外，TSPG本質上是在文獻[15]中的末制導律的基礎上發展而來的，該末制導律在推導過程中需要對問題線性化，具有一定的局限性。而NFTSMPG則不需要任何的線性化處理，同時在設計過程中考慮了自動駕駛儀的動態特性，從而可以對制導指令進行相應的補償，因此很好地解決了振蕩的問題。

圖4(b)為制導指令變化曲線，可以看出，NFTSMPG所產生的制導指令在初始階段達到了飽和值，但隨后則降低到合理的范圍內，且其值在大部分時間內均小于TSPG的指令過載。這樣可以使得飛行器在初始階段能夠快速地向預設軌跡靠近，加快收斂速度。這從圖4(a)中也可以得到驗證。此外，可以明顯看出，TSPG在末段形成了大幅振蕩的制導指令，這直接導致了圖4(a)所示的軌跡振蕩現象。

(a) 軌跡曲線(a) Trajectories curve

(b) 制導指令變化曲線(b) Time histories of guidance command

(c) 滑模面s1和視線角誤差變化曲線(c) Time histories of the sliding mode manifold s1 and the error of line-of-sight angle圖4 直線軌跡跟蹤效果Fig.4 Effect of straight path following

圖4(c)給出了滑模面s1和視線角誤差的變化曲線。圖中tA表示系統狀態到達滑模面的時刻(tA=3.4 s)，tB表示視線角到達期望值的時刻(tB=5.5 s)。而A點和B點之間則表示了滑動模態。可以看出，滑模面和視線角誤差均在有限時間內收斂到0。此外，通過調節趨近律參數M1,M2和γ可以控制A點的位置，調節滑模面(見式(25))中的參數則可以控制系統狀態在滑動模態上的運動速度，進而可以控制B點的位置。

4.2 圓弧軌跡跟蹤

圖5為圓弧軌跡的跟蹤效果。從圖5(a)可以看出，NFTSMPG可以驅使飛行器快速地向預設軌跡靠近并最終實現準確跟蹤。而TSPG則在開始階段響應較慢，同時在跟蹤后期再次出現了圍繞預設軌跡的振蕩現象。這同樣是沒有考慮自動駕駛儀的緣故。

從圖5(b)可以看出，為了加快趨近速度，和圖4(b)類似，NFTSMPG產生的制導指令在一開始便出現了短暫的飽和現象，但隨后便下降到較小的范圍內。而TSPG產生的制導指令在后期出現了大幅的振蕩現象。

圖5(c)描述了滑模面s1和視線角誤差的變化曲線。和直線軌跡跟蹤情形類似，圖中tA表示

(a) 軌跡曲線(a) Trajectories curve

(b) 制導指令變化曲線(b) Time histories of guidance command

(c) 滑模面s1和視線角誤差變化曲線(c) Time histories of the sliding mode manifold s1 and the error of line-of-sight angle圖5 圓弧軌跡跟蹤效果Fig.5 Effect of circular path following

系統狀態到達滑模面的時刻(tA=6.5 s)，tB表示視線角到達期望值的時刻(tB=7.0 s)。從中可以明顯看出NFTSMPG的有限時間收斂特性。同時，A點和B點之間的時間間隔很短(tB-tA=0.5 s)，因此當系統狀態在到達滑模面后，沿著滑模面運動0.5 s便到達相平面內的原點。

圖6展示了飛行器在不同初始航跡角條件下對預設軌跡的跟蹤效果。從圖6(a)可以看出，不論初始航跡角如何變化，飛行器均能夠準確地跟蹤預設軌跡。從而表明了所設計的NFTSMPG對不同初始條件具有很好的魯棒性。圖6(b)所示的制導指令與圖5(b)比較類似，即在開始階段產生短暫的飽和現象，驅使飛行器能夠更快偏轉方向，從而更快地向預設軌跡靠近，而隨后的指令均處于合理的范圍內。

4.3 參數R*的影響

為了評估制導參數R*對跟蹤效果的影響，針對不同的R*對復合型軌跡(由直線和圓弧組成)的跟蹤進行仿真。仿真結果如圖7所示。

可以明顯地看出，隨著R*的減小，TSPG的跟蹤效果逐漸惡化，其振蕩幅度越來越大。前文提到，TSPG缺少對自動駕駛儀的考慮，從而導致跟蹤過程中出現振蕩現象。因此，對于TSPG，小的R*會提高對自動駕駛儀的要求。對于某些機動性能有限的飛行器，如果采用TSPG跟蹤預設軌跡，為了避免振蕩現象，需選擇較大的R*。而式(20)表明，較大的R*對于控制跟蹤誤差是不利的，此外文獻[14]已證明，較大的R*會降低TSPG跟蹤誤差的收斂速度。因此在實際使用中，需要折中考慮這兩方面的因素，合理選擇R*的值，這自然就帶來了一定的局限性。而對于NFTSMPG，從圖7中可以明顯看出，R*的值并不會對其跟蹤效果產生明顯的影響。從而表明了所設計的NFTSMPG對參數R*的變化具有很強的魯棒性。

(a) 軌跡曲線(a) Trajectories curve

(b) 制導指令變化曲線(b) Time histories of guidance command圖6 不同初始航跡角情形下的跟蹤效果Fig.6 Circular path following at various flight path angles

(a) R*=70 m

(b) R*=50 m

(c) R*=30 m圖7 不同R*情形下的跟蹤效果Fig.7 Effect of path following with different R*

4.4 自動駕駛儀動態特性的影響

由于自動駕駛儀的動態特性，飛行器在響應制導指令時存在一定的滯后，自動駕駛儀的動態特性越差，這種滯后越顯著。圖8給出了自動駕駛儀動態特性逐漸變差時的軌跡跟蹤效果。從圖中可以看出，隨著ξ和ωn逐漸減小，即自動駕駛儀對指令信號的響應逐漸變慢，TSPG的跟蹤效果逐漸變差，其振蕩幅度逐漸增大。可見，對于某些機動性能非常有限的飛行器，TSPG將會存在較大的局限性。然而對于NFTSMPG，由于其考慮了自動駕駛儀的動態特性，補償了制導回路和控制系統之間的延遲，因此依然具有很好的跟蹤效果。從而表明了NFTSMPG對自動駕駛儀動態特性的變化也具有很強的魯棒性。

(a) ξ=0.6, ωn=60 rad/s

(b) ξ=0.5,ωn=20 rad/s

(c) ξ=0.4, ωn=10 rad/s圖8 不同自動駕駛儀參數情形下的跟蹤效果Fig.8 Effect of path following with different parameters of autopilot

5 結論

1)通過引入虛擬目標點，建立了基于視線角誤差的軌跡跟蹤動力學模型，為保證跟蹤效果，給出了所需期望視線角的表達式。

2) 所提制導律避免了奇異問題，同時在理論上證明了該制導律能夠保證軌跡跟蹤誤差最終有界任意小。

3)通過和其他軌跡跟蹤制導律相比，本文所提制導律不需要任何的近似處理，且對制導參數R*以及自動駕駛儀的動態特性均具有很強的魯棒性。