基于行列式的預編碼碼字選擇方法

王海泉，李國彬，鄭思思，沈 雷

(杭州電子科技大學通信工程學院 杭州 310018)

大規模多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)技術[1]能夠大幅度提升系統的頻譜效率和傳輸可靠性，是第五代移動通信技術的關鍵技術之一[2-4]。在大規模MIMO系統中，基站配置有大量的天線，達到數十根甚至幾百根，能夠充分挖掘并利用空間維度資源，在同一時頻資源中為多個用戶提供服務。

在大規模天線實際應用環境中，大量線性陣列天線在有限空間基站中的部署難度極大，因此，為了能在實際可操作的環境中部署大規模天線，FD(full-dimension)-MIMO應運而生[5-7]。FD-MIMO系統中天線的排列部署方式為2D(two-dimension，二維)或者3D天線陣列結構，不僅在垂直方向上排列天線，還能在水平方向上排列天線，充分利用空間自由度，能夠有效地部署數目龐大的天線并發揮出大規模天線優勢。

在FD-MIMO下行系統中，獲取信道狀態信息(channel state information,CSI)是一個十分重要的步驟。對于時分雙工(time division duplexing,TDD)系統，上下行鏈路通過相同頻段信道下的不同時刻進行區分，具有互易性[8]，因此，基站能通過利用上行CSI來估計出下行CSI。而在頻分雙工(frequency division duplexing,FDD)系統中，上下行鏈路的信息傳輸是在不同的頻率上進行，互易性不再存在，因此基站為了獲取CSI，需要發送訓練序列給用戶，經用戶估計、量化，再反饋回基站[9]。本文研究工作是在FDD模式下FD-MIMO有限反饋系統的預編碼設計。文獻[10]提出了一種基于DFT的雙碼本設計方案，在2D信道中具有良好的性能。文獻[11]提到了Kronecker積碼本，在FD-MIMO系統中，運用已有的格拉斯曼(Grassmannian)碼本分別去量化垂直與水平方向的信道信息，再通過Kronecker積運算得到預編碼碼字。文獻[12]通過將信道進行奇異值分解，并分別用DFT碼本對其中一組奇異向量進行量化，最后通過Kronecker積生成最終碼字。然而，該方法忽視了分解后的其他奇異向量對信道的貢獻，只采用一組奇異向量并不能很大程度上還原出信道特征，放棄對其他奇異向量的利用勢必會對系統性能產生不利影響。

在有限反饋系統中，預編碼碼字的選擇與反饋開銷是兩個核心的問題，本文深入研究FD-MIMO有限反饋系統中的這兩個核心問題。相較于[12]中的方法，本文方法利用了兩個奇異值所對應的奇異向量，兩組奇異向量能更加逼近信道特征，并提出了基于行列式的選碼準則，將兩組奇異向量的信息用一個行列式進行表示，選出更加準確的碼字。同時，還給出了確定合理反饋比特數的方法。最后進行仿真驗證與結果分析。

1 系統模型

本文考慮基于FDD的FD-MIMO下行系統的典型系統模型，遵循文獻[12-13]的信道模型假設，天線按照均勻平面陣列(uniform planar arrays,UPA)結構排列，在垂直和水平方向上均有波束成形增益。

基站端安裝有M=Mv×Mh根天線，其中Mv是垂直方向上的天線數，Mh是水平方向上的天線數，dv是垂直方向上的天線間距，dh是水平方向上的天線間距，圖1給出了天線陣列排列的示意圖。

式中，

a∈{v,h}；ψv=sinφv；ψh=sinφhcosφv； φv表示波束仰角； φh表 示波束方位角[14]； λc是中心頻率fc所對應的波長，滿足c=fcλc；c是光速。則信道h可寫成：

在該系統中，基站向單天線用戶發送信號，用戶接收到的信號表示為：

式中，ρ是系統的歸一化信噪比；h∈CM是前面所述的信道模型；f∈CM是預編碼向量；s∈C是基站向用戶發送的數據符號，且滿足E [s]=0和E [|s|2]≤1；n～CN(0,1)是加性復高斯白噪聲。

在該FD-MIMO有限反饋系統中，用戶接收到信號后，在預先設定好的碼本集中選出最優的碼字fo，即：

式中，a∈{v,h}；Bv為垂直方向反饋比特數；Bh為水平方向反饋比特數。將選出的最優碼字的索引值信息通過反饋鏈路傳送給基站，由基站生成最終的預編碼碼字f。

系統的歸一化增益 Γ[12]定義為：

系統的吞吐量C表示為：

本文設計出更為有效的預編碼碼字選擇方案，并確定合理的反饋開銷大小來提高系統歸一化增益與系統吞吐量，從而改善系統性能。

2 Kronecker反饋碼本與反饋開銷

在目前的理論研究和實踐中，Kronecker積碼本在FD-MIMO系統中受到廣泛關注。文獻[12]將FD-MIMO信道模型進行分解，表示成數對向量的Kronecker積的線性組合，再利用其中一對向量進行選碼，將選出的碼字進行Kronecker積組合成預編碼碼字。本節具體說明其做法，隨后提出一種確定反饋開銷的方法。

2.1 Kronecker反饋碼本方案

2.1.1 碼本的生成

2.1.2 選碼過程

令：

式中，h[a:b]表示取出向量h中第a個元素到第b個元素組合成的向量。即將前面所述的FD-MIMO系統中的信道h進 行重排列，得到的是一個Mv×Mh的信道矩陣，其第k行第l列個元素表示FD-MIMO信道中第k行第l列根天線與用戶間的信道。之后，進行奇異值分解(singular value decomposition,SVD):

式中，U和V分別是左奇異向量矩陣和右奇異向量矩陣； Σ是由各奇異值 σk按降序排列組成的對角陣。

再考慮對u1和v1進行量化，其中u1和v1分別是經SVD后的矩陣U的第1列和矩陣V的第1列，即最大奇異值所對應的左奇異向量和右奇異向量。用DFT碼本用來量化信道，量化準則為：

2.1.3 最優碼字

令：

式中，fv與fh分別由式(11)和式(12)確定。則fkron為最優碼字。

在該方案中，通過將信道進行重排列并分解，采用最大奇異值所對應的特征向量分別對垂直與水平兩個輻射路徑進行量化，最后通過Kronecker積運算生成最終碼字。最大奇異值對應的特征向量一定程度上反映了信道特性，同時采用該方案在特定情況下也能達到一定的系統性能。然而只采用一對特征向量會忽視其他信道特征，該方案的系統歸一化增益與吞吐量仍有很大的提升空間，本文首先提出一個確定反饋比特數的公式，然后在該方案的基礎上提出一個更優的預編碼碼字設計準則，對系統有更好的性能提升。

2.2 反饋比特數的確定

反饋比特數的確定在有限反饋系統中是一個十分重要的環節，反饋開銷過小會降低系統可靠性，而反饋開銷過大則會影響系統的資源利用率與實現復雜度，因此確定適當大小的反饋比特數至關重要。

令：

下面對該反饋比特數確定公式進行解釋：

記輻射路徑方向向量為：

碼本中第i個碼字fi為：

選碼的基本原理是在碼本中選擇碼字fi0使得達到最大。即：

則有：

式中右邊所有Ma個加項中，角度最大的項的角度為|(φ?θi)(Ma?1)|。為了使得加上每一項后幅值都能有所增加，即讓每一根天線都能產生增益，需要所有角度(φ?θi)l(l=0,1,···,Ma?1)限定在某一集中區域。這里，要求：

式中，α是一個待定的數，且 0 ＜α＜π/2，可以稱之為角度分辨率，該值越小，數值就越大，增益也隨之增大，但反饋比特數Ba也越大。這里α=π/4是一個合適的取值，隨后有仿真驗證，則有：

為了更好地說明式(21)第一步推理，如圖2所示，當反饋比特數為Ba時 ，碼本集中共有個碼字，可以看成將0到 2 π的角度區間分成等分，每個角度分區間大小為 2 π/，在最壞的情況時，信道角度 φ剛好落在每個角度分區間的中間位置，此時信道與碼字的角度差(φ?θi)為分區間的一半長，即 π/。

3 基于行列式的預編碼碼字選擇

本文的預編碼碼字選碼方案利用了信道矩陣奇異值分解出的兩對特征向量，并應用信道矩陣與碼字的最大系統波束成形增益基本原理，推出了基于行列式的選碼準則。通過利用行列式準則能夠同時篩選出垂直和水平方向上的最優碼字，最后通過Kronecker積生成預編碼碼字。

3.1 信道模型的分解

式中，uk和vk分別表示矩陣U和V的第k列；uk,m表示uk的第m個元素。由此可以看到，信道h可以由重排列后的信道經SVD產生的對奇異向量線性組合得到。各奇異向量可以表征信道信息，奇異向量越多，表征的信道信息越完整。當h的空間相關性較大時，利用前面較少的一部分uk和vk的線性組合便能較準確地還原出信道h，前面提到的方案便是利用了其中一對奇異向量。

3.2 基于行列式準則的選碼方案

在前一節描述的方案中，只利用了最大奇異值所對應的奇異向量進行碼字選擇，當空間相關性較小時，最大奇異值所對應的奇異向量并不能較完整地反映信道特性，利用該方案并不能準確有效選出最佳碼字。因此，為了更準確地進行碼字選擇，需要量化更多個奇異向量的信息，這樣量化后的最佳碼字能夠更接近實際信道。充分利用信道分解后的兩個奇異值對應的奇異向量進行最佳碼字的選擇。

由式(22)，可以寫出：

利用兩組奇異向量近似表示信道h。

令最優碼字fo為：

式中，fv,o和fh,o分別是垂直方向和水平方向上選出的最優碼字。則最優碼字需滿足：

由式(23)，有：

要選出最優碼字，即令式(26)右邊達到最大。將式(26)右邊換一種形式，表達為：

最后得到最優碼字fo=fv,o?fh,o。

4 仿真結果與分析

通過仿真比較和驗證反饋比特數確定的合理性以及所提預編碼碼字選擇方案的性能。仿真環境在前面所述的FD-MIMO典型場景下，表1給出了系統仿真時的參數設定。

表1 系統仿真參數設定

為了驗證確定反饋比特數式(14)的合理性，圖3給出了各天線反饋比特數與歸一化增益關系曲線。對于各組天線，歸一化增益均隨反饋比特數的增加而增大，且均有先迅速增大后慢慢變緩的趨勢。對于天線數Mv×Mh為4×4的天線，當反饋比特數小于4時，隨反饋比特數的增加，歸一化增益的增幅很大，而當反饋比特數繼續增加時，歸一化增益的上升趨勢并不是很明顯，因此綜合反饋開銷成本以及系統性能，此時垂直或水平方向上的反饋比特數選擇為4。同樣的，當天線數為6×6和8×8時，反饋比特數小于5時的歸一化增益增幅十分明顯，大于5時就變得緩慢。對于8×8、10×10的天線，反饋比特數小于6時的歸一化增益上升趨勢較大于6時要明顯許多。因此，將上述各天線的垂直(水平)方向反饋比特數設定成式(14)確定的4、5、5、6、6是合理可行的。

圖4和圖5所示的兩條曲線分別是應用文獻[12]的原有方法與本文所提方法的系統誤碼率和吞吐量曲線。圖4中，發送天線設定為4×4，垂直(水平)方向反饋比特數由本文確定反饋比特數的公式得出，設定為4。可以看到，本文方法的誤碼率性能優于文獻[12]的方法，特別地，在高信噪比環境下，本文方法性能提升近2 dB。圖5中，對應于各天線，兩種方法垂直(水平)方向反饋比特數均分別設定為4、5、5、6、6。可以看出，對于各天線數，本文方法的系統吞吐量均高于文獻[12]的方法。因此本文提出的方法優于原有方法，具有更優性能。

5 結 束 語

本文研究了FD-MIMO有限反饋系統中，預編碼碼字的量化選擇方案以及反饋開銷的確定。首先在給出的FD-MIMO系統典型信道環境中，采用基于DFT碼本的Kronecker積碼本構造方案，將信道重排列并進行奇異值分解，利用前兩個大的奇異值所對應的奇異向量分別對垂直和水平兩個輻射路徑進行量化，即利用行列式準則進行碼字選擇，給出并解釋了合理確定反饋比特數的公式。仿真結果表明，本文提出的反饋比特數確定的方法合理可行，利用行列式選碼方案，能夠更充分地反映信道特征信息，在相同反饋比特數目下，系統的性能較已有結果有較好地提升。