下行NOMA系統中公平的功率分配方案

田心記，張丹青，李曉靜

(1.河南理工大學物理與電子信息學院 河南 焦作 454150；2.黃河科技學院信息工程學院 鄭州 450000)

隨著移動通信的迅猛發展，傳統的多址接入技術已難以滿足無線數據業務量的爆炸式增長[1-2]。因此，第五代移動通信采用具有更高系統吞吐量和更高頻譜效率的NOMA技術[3-5]。相較于傳統多址接入技術在時域、頻域和碼域的研究，NOMA技術引入了一個新的維度-功率域[6]，在基站端為多個用戶分配不同的功率，然后將這些用戶的信號疊加在相同的時頻資源上，用戶接收到信號后采用串行干擾消除技術檢測期望接收的信號[7-8]。功率分配不僅關系到各用戶信號的檢測次序，還影響到系統的可靠性和有效性，NOMA系統中的功率分配是近年的研究熱點之一。

很多學者對單小區下行NOMA系統中的功率分配方案進行了研究，其中功率分配的目標有3種：最大化和速率、最大化能量效率以及最大化公平性。文獻[9]研究了包含兩用戶的單個NOMA簇在用戶最低速率需求約束下的功率分配方案，目標是最大化兩個用戶的和速率，給出了功率分配方案的閉式解。文獻[10]將文獻[9]中的兩用戶擴展到任意用戶場景，在總功率約束和用戶最低速率需求約束下，提出了最大化單輸入單輸出(single input single output,SISO)NOMA 系統和速率的功率分配方案。文獻[11]研究了包含任意用戶的單個NOMA簇中最大化能量效率的功率分配方案，文獻[12]擴展了文獻[11]的場景，提出了包含多個簇且每個簇包含任意用戶的NOMA系統中最大化能量效率的功率分配方案。對于包含多個用戶的單個NOMA簇，文獻[13]以最大最小公平性為準則，在總功率和強用戶最低速率需求約束下，提出了一種既能滿足強用戶最低速率需求又能最大化弱用戶的最低速率的功率分配方案。文獻[14]以最大公平性(maximin fairness,MMF)為準則，提出了一種能最大化用戶最低速率的功率分配方案。該方案中所有用戶的速率都相同，實現了用戶在速率上的公平性。然而，該方案未考慮單個用戶的速率需求，因此，有可能導致部分用戶的速率高于該用戶的速率需求，一部分用戶的速率低于該用戶的速率需求。

針對文獻[14]的不足，提出了NOMA系統中公平地提高用戶速率的功率分配方案。根據信道條件以及每個用戶的最低速率需求計算每個簇所需的最低功率，在滿足用戶最低速率需求的基礎上，推導了單個簇內兩個用戶提高的最低速率的最大值與該簇的總功率之間的關系，基于此建立滿足用戶最低速率需求的情況下公平地提高每個用戶速率的功率分配優化問題，通過多次調整部分簇的功率得到在滿足用戶最低速率需求的基礎上能最大化每個用戶提高的最低速率的功率分配方案。仿真結果顯示，當用戶的最低速率需求不同時，所提方案中用戶提高的最低速率和中斷概率均優于MMF方案。

1 系統模型

包含1個基站和2K個用戶的下行NOMA系統，如圖1所示，基站和用戶都配置單根天線。用戶被分為K個簇，每個簇包含兩個用戶，分別用uk1和uk2表示第k個簇中的兩個用戶，k=1,2,···,K。假定uk1是近距離用戶，uk2是遠距離用戶。基站到uk1和uk2的信道分別為hk1和hk2，|hk1|2≥|hk2|2。基站為第k個簇分配的功率為pk，其中uk1和uk2的功率分別為pk1和pk2，pk=pk1+pk2，pk1＜pk2。基站為每個簇分配一個子頻段，簇間子頻段正交。

分別用yk1和yk2表示uk1和uk2的接收信號，yk1和yk2的表達形式分別為：

式中，xk1和xk2分別是uk1和uk2的期望接收信號；nk1和nk2分別是uk1和uk2接收到的高斯白噪聲，均值為零，方差為 σ2。

近距離用戶uk1首先檢測出uk2的期望接收信號xk2，并消除xk2對yk1的干擾。uk1譯碼xk2時的信干噪比(signal to interference and noise ratio,SINR)為：

uk2是遠距離用戶，可直接譯碼自身的期望接收信號xk2。uk2譯碼xk2時的SINR為：

uk1和uk2的單位帶寬速率Rk1和Rk2分別為：

分別用rk1和rk2表示uk1和uk2所需的最低單位帶寬速率。用P0表示滿足所有用戶最低速率需求所需的最低總功率，用Pmax表 示基站的總功率。Pmax≥P0時，基站的總功率能夠滿足所有用戶的最低單位帶寬速率需求。所提方案的目標是：在滿足每個用戶最低單位帶寬速率需求的情況下，公平地提高每個用戶的速率。

根據以上所述，Pmax≥P0時，功率分配的目標用公式表示為：

式中，C1表示基站的總功率為Pmax；C2表示uk1的單位帶寬速率不低于rk1；C3表示uk2的單位帶寬速率不低于rk2；C4表示uk1譯碼xk2時對SINR的要求。

2 功率分配方案

本節首先推導了滿足所有用戶最低速率需求時所需的最低總功率P0，然后再給出Pmax≥P0時公平地提高每個用戶速率的功率分配方案。

2.1 最低總功率 P0的推導

首先推導每個簇所需的最低功率。由式(8)中的C2和C3可得：

由于a0是uk1正確譯碼xk2時對SINR的最低要求，因此a0=ak2即可。是x的單調遞增函數且 |hk1|2≥|hk2|2，式(10)成立時，式(8)中的C4必定成立。因此，pk1和pk2滿足式(9)和式(10)時，式(8)中C2、C3和C4成立。

用pk0表示第k個簇所需的最低功率，由式(9)和式(10)知pk0的取值為：

式(11)是單個簇滿足用戶最低速率需求時所需的最低功率，考慮到每個簇都有最低功率要求，因此滿足所有用戶的最低速率需求時所需的最低總功率P0的取值為：

2.2 功率分配

求解式(8)就能得到Pmax≥P0時的功率分配。若由式(8)直接求解功率，復雜度極高。

所提功率分配方案的優化目標是公平地提高每個用戶的速率，文獻[14]中MMF方案的優化目標是最大化系統的公平性，文獻[15]的優化目標是最大化系統的能量效率。雖然所提功率分配方案與文獻[14-15]的優化目標不同，然而三者的場景一致，故式(8)的求解可借鑒文獻[14-15]的方法，即先求解第k個簇的總功率為pk時公平地提高該簇內兩用戶速率的功率分配，然后簡化式(8)并求解簇間功率分配，最后根據簇間功率分配的結果為單個用戶分配功率。

第k個簇的總功率為pk時，該簇內功率分配的目標用公式表式為：

式中，vki表示用戶實際的單位帶寬速率與所需的最低單位帶寬速率的差值(即提高的速率)，vki=Rki?rki，i=1,2；C1表示該簇的總功率約束；C2和C3表示uki的 速率不低于rki時pki需要滿足的條件。

在第k個簇的總功率pk保持不變的情況下，由于pk=pk1+pk2及vki=Rki?rki，i=1,2，增 大pk1時，vk1增大且vk2減小，增大pk2時，vk2增大且vk1減小。所以只有當vk1=vk2時，才能最大化min{vk1,vk2}，此時在滿足用戶最低單位帶寬速率需求的基礎上，兩個用戶提高的速率相等，這樣就公平地提高了兩個用戶的速率。vk1=vk2等價于：

式(14)成立時，pk1與該簇總功率pk之間的關系為：

假定第k個簇的總功率為pk，MMF方案中該簇內兩個用戶的速率相等即Rk1=Rk2時，uk1的功率與該簇總功率pk之間的關系為：

根據式(15)和式(17)，可得：

當rk1＞rk2時，d=2rk1?rk2＞1，pk1＞；

當rk1=rk2時，d=2rk1?rk2=1，pk1=；

當rk1＜rk2時，d=2rk1?rk2＜ 1，pk1＜。

由文獻[14]知，在單個簇的總功率保持不變時，為簇內強用戶分配的功率越大，簇內兩用戶的和速率越高。因此，rk1＞rk2時，所提方案單簇和速率高于MMF方案；rk1=rk2時，所提方案單簇和速率等于MMF方案；rk1＜rk2時，所提方案單簇和速率低于MMF方案。

令vk=max{min{vk1,vk2}}，式(16)給出了單個簇內的vk與該簇總功率pk之間的關系。接下來簡化式(8)并求解簇間功率分配。此時，式(8)可轉化為：

式中，C1表示基站的總功率為Pmax；C2表示滿足單個簇中用戶最低速率需求時該簇的總功率需要滿足的條件。當式(18)中的C2成立且按式(15)分配功率時，式(8)中C2、C3和C4必定成立。

式(8)要求解2K個用戶的功率分配，而式(18)僅求解K個簇的功率分配，因此，式(18)是式(8)的一種簡化表達形式。但是，此時仍無法直接給出式(18)的閉合解，為此接下來給出一種迭代的簇間功率分配方案。該方案的思路如下：首先為第k個簇分配滿足用戶最低速率需求的最低功率pk0，則是用于提高所有用戶速率的功率，再將這些功率平均分配給每個簇作為該簇功率的初始值，然后開始迭代；在每次迭代過程中，計算第k個簇中用戶提高的速率vk并組成向量 m v={vk}，找出mv中的最大元素對應的簇和最小元素對應的簇，分別用簇m和簇j表示，在滿足該簇最低速率需求的條件下，減少第m個簇的功率同時增加第j個簇的功率，繼續下次迭代并并計算得到mv；若本次迭代中的min{mv}大于等于前一次迭代中的min{mv}，則繼續迭代，否則停止迭代，前一次迭代時的功率即為所提方案為每個簇分配的功率。迭代的簇間功率分配方案的具體步驟如下。

1) 根據信道條件以及用戶所需的最低單位帶寬速率計算第k個簇所需的最低功率pk0，令且pk=pk0+β，令minrateup=0且i=1，令矩陣是簇的總數，i表示迭代次數，U的每行用來存放每次迭代過程中的pk。

2)根據pk計算vk，若 min{mv}≥minrateup，令i=i+1、index=0且 minrateup=min{mv}，執行步驟3)及其后面的步驟，若 min{mv}＜minrateup，則U(i?1,k)就是所提方案為第k個簇分配的功率，即令pk=U(i?1,k)，無需執行步驟3)，停止迭代。

3)找出 min{mv}對應的簇，用簇j表示，令pj=pj+θ，0 ＜θ＜β。

4)找出 m ax{mv}對應的簇，用簇m表示，若pm?θ≥pm0，將pm?θ賦值給pm且令index=1，若pm?θ＜pm0，從mv中刪除vm，再次執行該步驟，直到index[=1；]

5)將[p1,p2,···,pK]賦值給U的第i行，再次執行步驟2)。

minrateup表示前一次迭代過程中mv的最小元素值，min{mv}表示本次迭代過程中mv的最小元素值。若min{mv}＜minrateup，則表示前一次迭代時的功率能更公平地提高用戶的速率，停止迭代；若min{mv}≥minrateup，則表示此次迭代的功率能更公平地提高用戶的速率，繼續進行功率調整以更公平地提高每個用戶的速率，即執行步驟3)～5)。在步驟3)中找到min{mv}對應的簇，增加該簇的功率；在步驟4)中，找出 m ax{mv}對應的簇，用簇m表示，若將第m個簇的功率減少 θ后仍不低于該簇所需的最低功率，則將pm?θ賦值給pm，否則不對簇m的功率進行調整，并且從mv中刪除vm，采用同樣的方法找出可以減少功率的簇。

θ表示每次迭代過程中功率的調整量，index表示每次迭代過程中是否調整過功率，index=1表示已經調整過功率，可以進行下一次迭代。

采用上述方法得到第k個簇的功率pk后，為每個用戶分配功率，其中，uk1的功率pk1與pk的關系如式(15)所示，uk2的功率為pk2=pk?pk1。

3 性能比較及仿真

本節仿真了所提功率分配方案的性能，并與文獻[14]中的MMF方案進行了對比。假定單個基站服務了10個用戶，每個簇中有2個用戶，即簇數目K=5，信道服從獨立的瑞利分布，高斯白噪聲的均值為0、方差為1。由2.2節中的分析可知：單個簇的總功率相等的情況下，當rk1≥rk2時，所提方案的單簇和速率不低于MMF方案，當rk1＜rk2時，所提方案的單簇和速率低于MMF方案，故本節分別仿真了rk1＞rk2和rk1=rk2時，兩種方案下系統提高的最低速率及中斷概率。

圖2仿真了rk1＞rk2時兩種功率分配方案下用戶提高的最低速率，即min{vk}。可以看出，參數相同時，所提方案用戶提高的最低單位帶寬速率高于 MMF 方案。信噪比(signal to noise ratio,SNR)范圍為[10,20]dB時，兩種參數下所提方案用戶提高的最低速率比MMF方案高出了0.5 bps/Hz。原因在于所提方案在進行功率分配時考慮了每個用戶的最低單位帶寬速率需求，在滿足用戶最低單位帶寬速率需求的基礎上公平地提高了每個用戶的速率，而MMF方案沒有考慮用戶的最低單位帶寬速率需求。從圖中還能看出，rk1=2，rk2=1時用戶提高的最低速率高于rk1=3，rk2=2時用戶提高的最低速率。原因在于當基站總功率Pmax保持不變時，一部分功率用來滿足用戶的最低速率需求，另一部分功率用于提高用戶的速率，當用戶的最低速率需求越低，用于提高用戶速率的功率越高。

圖3仿真了rk1和rk2相等時兩種功率分配方案下用戶提高的最低速率。可以看出，參數相同時，所提方案提高的最低速率與MMF方案相同。原因在于MMF方案功率分配的目標是最大化用戶的最低速率，所提方案的目標是最大化用戶提高的最低速率，當rk1=rk2時，兩種功率分配方案的目標一致。從圖3中還能看出，rk1=rk2=1時用戶提高的最低速率高于rk1=rk2=2時用戶提高的最低速率。原因在于當基站總功率Pmax保持不變時，用戶的最低速率需求越高，P0越高，從而用于提高用戶速率的功率Pmax?P0越低。因此，用戶的最低速率需求越高，提高的速率越低。

圖4仿真了rk1＞rk2時兩種功率分配方案的中斷概率。中斷概率定義為：用戶的速率Rki＜rki的概率，即P(Rki＜rki)=1?P(Rki≥rki)，i=1,2。仿真參數與圖2中的相同，rk1=3且rk2=2時，所提方案用戶uk1和用戶uk2的門限值分別為3和2，MMF方案中兩用戶門限值均為2.5；rk1=2且rk2=1時，所提方案用戶uk1和用戶uk2的門限值分別為2和1，MMF方案兩用戶門限值均為1.5。MMF方案兩用戶的門限值之和與所提方案兩用戶的門限值之和相等。從圖4能看出，參數相同時，所提方案的中斷概率小于MMF方案，原因在于所提方案在滿足用戶最低速率需求的基礎上公平地提高了每個用戶的速率，MMF方案沒有考慮用戶的最低速率需求，當所有用戶的速率都相同時，有可能部分用戶的速率超出了該用戶所需的速率，而另一部分用戶的速率低于該用戶所需的速率。從圖4中還能看出，rk1=2且rk2=1時兩種方案的中斷概率均低于rk1=3且rk2=2時的中斷概率。原因在于在其他條件相同的情況下，門限值越低，中斷概率越低。

圖5仿真了rk1和rk2相等時兩種功率分配方案的中斷概率。仿真參數與圖3中的相同，rk1=rk2=2時，所提方案和MMF方案用戶的門限值均為2；rk1=rk2=1時，所提方案和MMF方案的門限值均為1。從圖5中能看出，參數相同時，所提方案的中斷概率與MMF方案相同，原因在于當rk1和rk2相等時，兩種功率分配方案的目標一致。從圖中還能看出，rk1=rk2=1時兩種功率分配方案的中斷概率均低于rk1=rk2=2時的中斷概率，原因如前所述。

4 結 束 語

本文研究了單小區下行NOMA系統中的功率分配方案。基于用戶的最低速率需求，建立公平的提高用戶速率的功率分配優化問題，簡化該問題并用迭代算法進行求解。所提功率分配方案既滿足了用戶的最低速率需求，又公平地提高了用戶的速率。由于所提功率分配方案僅考慮了每個NOMA簇包含兩用戶的場景，如何將該方案擴展到多簇且每個簇包含任意用戶的場景有待于進一步研究。