探究概率論與數理統計課程與數學建模思想的融合

陸光洲

（百色學院，廣西 百色 533000）

數學建模指的是基于數學基礎知識，以抽象性的思維和工具為依托，將基礎知識轉變為模型的一種方法。數學建模通常被應用在對研究對象進行假設的過程中，是一種提前檢驗論證結果，以實現針對性的過程調適的數學工具。數學建模的獨特作用在于，其所呈現的是實際問題的本質描繪，可以很好的幫助人們轉換問題的呈現方式，促進人們對不同的知識結構進行認知和了解。《概率論與數理統計》這門課程主講概率學和統計學，是高校必修的基礎課程。該課程中包含的計量經濟學、時間序列等知識點，在各個行業中都有著較強的應用價值。但其內容卻多以復雜的理論為主，難以理解且與實際應用相對脫節。因此大學生在學習《概率論與數理統計》課程時，常常會表示所學內容過于枯燥，且實用性較差。對此，為令《概率論與數理統計》課程可以更易被學生理解和吸收，教師或可以運用數學建模思想，在課堂中有效應用數學建模的優勢功效促進學生學習。

一、概率論與數理統計課程中融合數學建模思想的必要性與可行性

1、融合的必要性

“數學”存在的目的是，通過數據、圖像等形式解釋某個原理的本質。理論上，數學可以解釋所有在現實生活中出現的，被人們所定義的問題。而數學學科就是通過階段性的教學，逐漸培育人們掌握“解碼”這個世界的方法。也因此，隨著學年的增長，學生所面對的數學這一基礎知識課程的難度越大、內容原理越復雜。《概率論與數理統計》就是高等院校理工、經管類專業的重要基礎課程，更是考研階段的重點學習內容。該課程屬于近代數學，發展性和應用性較強。內容包括統計學和概率學，而這兩個知識體系的應用方向極廣，包含工業、農業、科學乃至軍事行業。在現代科學技術的開發中更是發揮著十分重要的推動作用。因此，在高等教育階段中，《概率論與數理統計》課程的重要性不言而喻。《概率論與數理統計》課程中，教師不但要傳遞概率學和統計學的原理知識，更要幫助學生建構觀測試驗、理性思慮的學識技能。其中包含著大量的數學方法，需要學生了解、熟練掌握并融會貫通。如果教學方法不能激發學生們的學習主動性，或者在有限的教育教學時間內，學生無法充分吸收知識點，學生們便無法建構實際有效的知識結構。

調查《概率論與數理統計》課程教學質量較低的原因可知，絕大多數教學質量的低迷都是因為教師未能選擇一種便于理解的教學方法進行教授。數學科目本身就相對枯燥，概率學和統計學又涉及到巨量的數據信息，學生在未能建立清晰思路之時，會本能的對巨量數據的處理產生焦躁心態。繼而影響其參與學習的心態，降低課堂學習的質量。而數學建模思想是一種根據實際問題去建立數學模型，再通過模型求解幫助人們解決問題的“思考工具”。在《概率論與數理統計》課程中使用數學建模技術，明顯可以將繁冗的數據立體化、現實化處理。也就是說，通過數學建模技術可以將數據轉換成實際的問題，令學生們可以在認知實際問題、解決實際問題的過程中，了解處理問題的概率學、統計學方法，更能夠在處理實際問題的過程中，有效將理論原理與現實應用結合，真正做到“融會貫通”。而這種將問題具體化、立體化的技術，是獨屬于數學建模思想的特殊優勢。故而，考慮到《概率論與數理統計》課程的重要性，和促進學生通徹理解知識點的急迫性，在《概率論與數理統計》課程中融合數學建模思想，明顯具有較強的必要性。

2、融合的可行性

對可行性的論證可以從兩個角度去分析。首先是原理的角度，《概率論與數理統計》課程的主要教育內容，就是將生活中的問題量化處理，再通過實際的樣本數據去推算和檢驗，直至得出具有代表性的驗證結果。數學建模思想強調要先了解對象信息，做出簡化的假設，再分析內在規律，并利用符號或語言來建立模型。“先量化具體問題”，“再抽取樣本去檢驗”的這兩個重要構成，明顯與數學建模的基本原理相差無幾。這說明，一方面教師在《概率論與數理統計》課程中應用數學建模思想，幾乎不用考慮適用性的問題。另一方面則說明教師無需大幅度改良《概率論與數理統計》課程本身的教育結構，這可以有效減少課程創新建設的資源輸出，對于校方和院系而言具有較強的正面意義。

其次是條件的考慮，條件分為實物和非實物兩類。實物條件指的是可以支撐數學建模技術在《概率論與數理統計》課程中應用的技術條件，例如智慧教室、計算機工具等等。而當前我國高校基本已經完成了現代化教育轉型，每個院校內都會配置計算機設備完善、互聯網條件完備的現代教學課堂。因此，將《概率論與數理統計》課程與數學建模思想融合，在實物條件上講具有較強的可行性。非實物條件指的是教師的操作能力。一般而言理工、經管類的專業都不會特別開通數學建模相關的課程，但若要應用數學建模，教師需要具有完善和熟練的操作能力。而相關專業內的教師，大多對數學建模技術有著深刻的認知和了解，系統性學習后便可以熟練運用相關軟件開展教學。因此，從原理和條件兩個角度去論證，最終都會得到一個結果，那就是在《概率論與數理統計》課程中融合數學建模思想，具有較強的可行性。且無需大幅度改變《概率論與數理統計》課程本身的技術面貌，從實用性的角度看更加適應高校的改革能力，可行性進一步強化。

二、概率論與數理統計課程中融合數學建模思想的條件預備

1、升級專業課教師的數學建模能力

雖然在《概率論與數理統計》課程中融合數學建模思想的終極目標，是促進學生的理解，幫助學生建構發現問題和解決問題的思路。但實際上只有當教師對課業內容產生全面、立體的理解時，學生才能更加輕松和有效的理解知識點內涵。因此，要將《概率論與數理統計》課程與數學建模思想融合，最應該做好的條件預備，就是要保證教師的操作能力。校方可以要求專業課教師們積極參與數學建模座談會、講座，及時了解數學建模思想的更新內容，保證不與時代脫節。教師們更要積極以線上學習、遠程學習等方式為主，在課余時間內充實自身的數學建模相關知識儲備，了解各種數學符號、數學公式、程序、圖形的組合應用技巧。同時，教師們在自我提升期間，也要以模擬仿真的形式，去探索如何將數學建模思想有效融合在統計學、概率學知識的講解過程中。要根據不同的知識點，將應用思路分解為風險評估、水平評測、質量管控評測等類別，不斷設立和完善對應的融合思路。該行為的根本目的在于，通過大量的模擬實驗，幫助教師們掌握有效應用數學建模的合理方法。以避免出現教學內容與數學建模思想不相容所導致的知識屏障問題。當教師熟練掌握將概率、統計等思想以數學建模的方式去解決的知識技能后，教師們可以積極參與數學建模的專業比賽，以賽促學在賽事中認知自身能力的長處和短板，學習和吸收其他選手的優勢技術。

2、更新教學工具與教學方法

良好的工具和方法，是保障教學成效的關鍵。《概率論與數理統計》課程教師需要結合自己在學習階段的認知和積累，結合教學的技術性、內容性需要，為校方提供設施建設的清單。清單內包括軟硬件建設的方向、內容，校方需要根據《概率論與數理統計》課程教師給出的意見進行建設，從而為融合教學提供良好的資源輔助。例如，校方需要根據學生的數量和課時的安排，布設好數量足夠的計算機設備和教室資源，以供學生在課上隨時進行建模。校方也需要購買Mathematica、spss 等數據分析類、建模類的正版軟件供教師和學生使用。教師則需要提前熟悉這些軟件的操作方法，并構設出基本的使用教程交給學生，要求學生們提前對這些軟件進行熟悉。而為了在課程中充分發揮出數學建模的優勢作用，建議教師以“應用數學建模思想”作為前提，提前進行教學方法改造的培訓。例如，對方差的概念、參數的估計等內容，都使用數學建模進行講解。令學生熟悉以數學建模為主的學習思路，進而以“熟悉”作為推動，提升整個課堂從知識講解到知識吸收的效率。

三、概率論與數理統計課程中融合數學建模思想的融合路徑研究

1、隨機問題的融合教學

隨機問題的解決是概率論中最常見的知識點，但傳統的理論教學重視對概念的傳遞。雖然隨機變量、分布函數相關的概念可應用性較強，但在不列舉實例的情況下，學生很難建構對該知識點的應用思路。針對此，教師可以先要求學生熟練掌握分布函數的幾種經典形態，例如均勻分布的實驗原型、現實事件中隨機變量的服從規律、分布形態之間的關聯關系等等。掌握這些經典的形態構成，是為了令學生明確現實事件的本質規律。在明確規律的前提下利用數學建模搭建理論與現實的橋梁，便可以令學生迅速建立對知識點的現實應用思路。以均勻分布為例，在教學的前期教師可以圍繞均勻分布的關聯關系進行充分的教學，并留給學生足夠的時間進行討論，直至明確知識點相關的所有機理。隨后，教師可以設立一個數學建模的題目，先要求學生想出該問題中應該設立哪些隨機變量，這些變量又應該設立怎樣的服從機制等等。隨后教師要不斷引導學生沿著建模的基本步驟去思考，完成對優先級的比例調節、優先級在隊列中的調整、檢測安排方式的合理性、對優先級模型的建構。再進行自適應區間內自適應方法的周期性模擬，非FCFS 策略的評價和線性規劃簡化模型等等。教師在臺上需要利用計算機和相關軟件一步步完成對模型的建構，最后與學生一同代入在線數據，實現對模型的仿真模擬。這種情況下，雖然模型的建構由教師作為主導，但過程中學生們可以不斷結合現實背景進行思考和推測，有效鍛煉自身對于隨機問題的處理邏輯。

2、稀有事件預估的融合教學

如何用分布區描述實際的隨機變量，是《概率論與數理統計》課程的另一個教學難點。學生們在面對該知識點時，最大的意見就是自己無法對稀有事件進行有效的把控。針對此，教師也可以使用數學建模思想，利用檢驗驗證的方式去驗證學生的想法，從而令學生能夠在一次次驗證的過程中，掌握隨機變量描述的有效方法。在隨機變量描述中應用數學建模技術可以分為三個步驟進行。第一，教師需要“協同”學生一起對定理條件進行分析，令學生明確不同概率應該服從哪一種分布形式。例如如果是稀有事件這類小概率問題，那么便應該服從泊松定理。第二，教師可以結合一個現實中的小概率案例，要求學生自行利用數學建模軟件完成對假定理論的驗證。例如，廣告產業內運算點擊率往往就是一個小概率命題，很多內容的點擊率都是千分位。那么以該案例為主，學生們可以構設一個稀有事件的邏輯回歸模型，去解決點擊率預估的稀有事件問題。第三，考慮到邏輯回歸模型在樣本不均衡條件下，可能會出現估計偏差的問題。教師可以引導學生對模型進行進一步的校準，在進一步精化評估結果的同時，幫助學生建立辯證性的學習思路。例如可以使用“Prior Correction”策略，基于先驗分布的規律，使用公式進行校準。其中，是負采樣得出的模型參數，是負采樣后的正樣本比例，而是負采樣前的正樣本比例。如果只是對定向投放的廣告點擊率預估進行計算，那么也可以被統計的“點擊通過率”，也就是廣告的實際點擊次數所替代，也就是廣告的實際點擊次數除以廣告的展現量。這一步的重點是，要求學生正視數學建模思想的“幫扶”作用，不要將建模作為依賴性的學習方案。

3、使用頻率對概率進行預估

也是《概率論與數理統計》課程中的重點內容。但頻率也是一種隨機變量，學生們只有在結合實際案例的前提下，才能將眾多的隨機變量處理方法加以區分和靈活應用。基于此，教師可以使用蒙特卡洛模擬法（Monte Carlo method），也就是俗稱的統計模擬方法去解決預估問題。但該方法的使用存在一定限制性，那就是該方法適用于解決難以用數值去處理的部分。例如，該方法通常會被使用于項目風險評估以及決策的過程中。教師會設定一個虛擬的項目，并為學生提供AB兩個方案。學生需要對這兩個方案進行整理調查，羅列出可能的風險變量，再確認不同變量的概率分布以及相應函數中的具體參數。隨后，應設立一個財務凈現值的計算模型，對該項目的基準折現率和生命周期進行預估，在設定95%的置信度后進行多次模擬。最后則要根據評估的最終結果，對比兩個方案的期望值、風險度，風險度較低的方案予以采用。過程中，學生將科學的預估出風險發生的概率，明確如何利用數據和建模技術得出相對科學的決策依據。從整體上看，在《概率論與數理統計》課程中融合數學建模思想，不但未能對教學造成障礙，更提升了理論教學的立體性、生動性，令學生們能夠在學習理論課程的過程中，便體驗到真實的工作內容與情境。這明顯可以升級《概率論與數理統計》課程的教育成效，令其從枯燥、無趣的課程轉變為可以夯實學生理論所得的趣味課程。

結語：

《概率論與數理統計》的改革是一個難度較高又十分復雜的過程。而數學建模思想的應用，可以將《概率論與數理統計》課程的信息傳輸以立體化的方式呈現，從而充分匹配大學生對立體化知識傳輸更加認同的興趣愛好，有效提升課程的可接受性和易理解性。