“高觀點”視角下的初中數學教學

孫曉芳

“高觀點”視角是指，用經典的高等數學與現代數學知識、思想與方法研究初等數學的一種方法策略。“高觀點”視角下的初中數學教學是以高等數學知識為研究工具，以初中數學教學內容為研究對象，通過尋找與挖掘初中數學內容與高等數學知識之間的異同點，幫助學生更深層次地理解數學概念、剖析數學問題、掌握數學方法。數學教學不是簡單的、機械的知識傳授，而是幫助學生完成知識體系的構建。因此，“高觀點”視角下的初中數學教學更加致力于深入挖掘數學知識的本質，讓學生感受與體驗數學知識的形成，從而讓學生明晰數學知識產生的前因后果，把握知識脈絡，最終實現對學生數學核心素養的培養。

一、“高觀點”在概念教學中的應用

數學概念是學生進行數學運算、邏輯推理和解決問題的重要依據，也是數學教學中的重難點。數學概念具有極強的抽象性和邏輯性，需要教師充分調動學生的已有認知結構和經驗，促使其思維從具體化向形象化過渡，才能順利地完成對數學概念的構建。然而，在初中數學教材中，有些數學概念如果不用“高觀點”的知識背景進行闡釋，會讓學生產生一種模棱兩可的印象，甚至會疑問重重。因此，在初中數學概念教學中，應用“高觀點”突破概念難點，往往能起到事半功倍的效果。

例如，在進行“方程”的概念教學時，現階段大部分數學教材中給出的定義是“含有未知數的等式叫作方程”。這種定義形式雖然嚴謹性不強，但更易于初中生理解與認同。首先，學生要了解這個概念，首先需要弄清“等式”的概念。

師：是否所有含未知數的等式都叫作方程呢？

生1：不一定，比如：a+b=b+a、x2-y2=（x+y）（x-y）。（學生知其然而不知其所以然）

師：是呀，那么究竟什么樣的等式才可以叫作方程呢。下面我們一起來看看有關等式的定義。（引入高等數學中有關等式的概念）

定義1：“看下面的例子：4+x=7，s=ab， 1+2=3，像這樣表示相等關系的式子就是等式?！?/p>

定義2：“用符號將兩個解析式連接起來，所得的式子如果分別用兩個解析式或數 f（x，y，，z），g（x，y，，z）表示，則f（x，y，，z）=g（x，y，，z）就是一個等式?！?/p>

師：根據定義1和定義2，我們不難看出，等式可以分為條件等式、恒等式及矛盾等式三種類型，比如，像剛才同學們提到的x2-y2=（x+y）（x-y）， a+b=b+a都屬于恒等式，而像為矛盾等式， 5x-3=9為條件等式?？梢?，定義1中只包含了恒等式與條件等式，定義2中包括了這三種類型。

對于學生而言，定義1僅具有形式的外殼，學生無法真正地弄清楚方程的思想，但是對于定義2，學生雖然能夠認為4+x=7是等式，但是當x=2時， 4+x=7是否仍然為等式呢？很多學生以為是答案的錯誤，但事實上，當x=2， 4+x=7仍然是等式，只不過是等式中的矛盾等式這一類。由于在初中數學教材中并未給出矛盾等式的概念，容易導致學生混淆概念，因此，我們可以認為方程的定義是“含有未知數的條件等式叫作方程。”但在這種定義下又會產生新的問題，比如x2+1=0在實數范圍內屬于矛盾等式，如果其定義域的范圍進行擴展到復數范圍，方程仍然可以看作是條件等式。由此可見，不同的定義有不同的優缺點，在“高觀點”視角下，引入這些定義不僅是對數學教材內容的補充，更為重要的是讓學生在思考、判斷與分析過程中掌握方程的概念、體會到方程的實質。

二、“高觀點”在解題教學中的應用

著名教育家斯托里亞爾說過：“可以把現代數學的重要思想轉化為學生能接受的語言，這就為二者的融合提供了理論基礎。”融合的關鍵在于在數學課堂教學中如何滲透數學思想方法。在“高觀點”視角下，更加強調將數學思想方法貫穿于課堂教學中，用高等數學的思想、方法與觀點來指導學生解題，從而溝通初中數學與高等數學之間的聯系，幫助學生降低解題難度，并形成解題規律。

例1（不定方程組求解問題）：假設某種電子產品有A、B、C三種型號的配件，若購買A型號3件、B型號7件、C型號1件，一共需要3.15元;若購買A型號4件、B型號10件、C型號1件，一共需要4.2元。如果分別購買A、B、C三種型號各一件需要多少元？

解析：假設A型號配件單價為x元，B型號配件單價為y元，C型號配件單價為z元。根據題意可得：

這是一道不定方程組求解的題目。我們常規的解題方法是根據方程組的特點，采用配方法、乘法公式、因數分解等對方程組進行變形后再進行求解。這樣通過分析，發現直接利用（1）×3 -（2）×2即可求出x+y+z的結果。

師：這道題目還有沒有別的解法呢？怎么將上述問題轉化為解析幾何問題呢？（設計意圖，站在“高觀點”視角下，引導學生利用空間解析幾何中的平面知識進行解題，深刻體會數形結合的思想方法）

師：在解析幾何中，我們可以將方程（1）、（2）看作是兩個平面，求解上述問題的關鍵在于如何確定一個過平面（1）、（2）交線的平面，即： x+y+z=k。平面的交線就是聯立方程組求解。在空間解析幾何中，已知兩個平面的交線，如何確定經過交線的平面，可以采用以下方法，根據上面條件，可得經過交線的平面束為：λ（x+y+z-3.15） +μ（4x+10y+z-4.20）=0，通過拆項，移項，可得：λ=3， μ=-2，所以， k=3.15×3-4.20×2=1.05。

利用空間解析幾何探究的目的，是幫助學生建立代數與幾何的對應關系，雖然這部分知識超出學生的學習范圍，但通過對解題方法的深入探討，讓學生了解到不定方程組的另一種求解思路，當題目中的參數發生變化時，不失為一種有效的解題方法。

三、“高觀點”在小結課教學中的應用

在初中數學教材中，有不少的數學公式、定理、運算等需要學生進行歸納與總結，在課堂教學中無論教師是否會安排專題進行教學，但始終都離不開數學公式、定理及運算等內容的推廣與轉化。因此，在“高觀點”視角下，教師可以通過有選擇的安排專題，將課內的知識進行系統化，即每學完一個版塊內容后，引導學生回顧并登高鳥瞰，這樣有利于幫助學生構建完整的知識體系。

例2：（二次函數最值問題綜合題）

（1）求以下函數的最值： y=x+1，y=-， y=x2-6x+5。

（2）分別求出當1≤x≤2，1≤x≤4， 4≤x≤6時，二次函數y=x2-6x+5的最小值。

（3）當1≤x≤4時，分別求出二次函數y=x2-6x+m，y=x2-mx+5，y=mx2-6x+5（m≠0）的最小值。

這是學生在學習完二次函數最值內容后小結課中設計的一道習題，其中問題（1）屬于基礎題，是站在函數的角度，將一次函數、反比例函數與二次函數這三種形態的函數結合起來考查學生對函數最值的掌握程度。問題（2）是以問題串的形式，讓學生體會到當定義域發生變化時，二次函數最值的變化情況，尊重了學生的認知規律與知識內部之間的聯系。當1≤x≤2時，反映了函數的遞減性;當4≤x≤6時，反映了函數的遞增性，而當1≤x≤4時，則反映了函數從減到增的過程。問題（3）同樣是以問題串的形式，對含有參數的二次函數最值進行研究，由于含有參數，因此，二次函數的解析式無法確定，如何求解它在某一定義域內的最值問題，其關鍵在尋找到在定義域范圍內函數值的變化規律。要弄清楚這一點，就需要準確地分析函數的開口方向、對稱軸、自變量的取值范圍以及一些關鍵點的位置。而這些都需要借助數形結合的思想方法來完成，充分體現了高等數學教育的價值取向，同時也促進了學生數學知識、經驗與方法體系的構建。

綜上所述，“高觀點”視角下的初中數學教學是一種新的教學理念，是從低起點切入，在學生已有數學知識和經驗的基礎上進行高度提升，讓學生的數學知識更加豐實和厚重，從而對學生未來的數學學習起到引領作用。因此，這需要教師站在更高的視角和數學思想方法的立場上，重新審視初中數學教學的內容體系，在了解兩者之間異同的基礎上，以問題為引領，幫助學生掌握結構化知識和思維，并以不同的方式方法來研究與探討初中數學，促使學生數學整體意識、數學思維與數學能力的提升，為學生的數學生命自然生長積蓄力量。