一元函數的凹凸性在證明不等式中的應用

吳建軍 劉晶

【摘要】函數的凹凸性是函數的重要性質之一，它描述和刻畫的是函數圖象的彎曲程度。本文首先介紹了描述函數凸性的四種定義，其次對函數凹凸性的相關性質進行了討論，總結了函數凸性的判別法和凸函數的一些重要的性質，得到了幾個關于函數凹凸性的命題，并對函數凹凸性的應用進行了研究，最后簡要地給出了函數凸性在證明不等式方面的一些應用，利用函數凹凸性的定義證明了幾個重要的不等式。

【關鍵詞】凹凸性;可導;單調;連續

【基金項目】本文系省級課題“基于核心素養理念下的數學史知識在高中數學課堂教學中的運用研究”（課題編號：GS〔2017〕MSZX141）。

函數是基礎數學研究的一個重要組成部分，更是高中數學教學研究的中心課題，了解和掌握函數的內在本質就需要我們從“數”和“形”兩個方面去探究和分析。在具體的研究實踐中，我們更多的是通過研究函數的基本性質去刻畫和描述函數的圖象，再通過觀察函數的圖象發現更多的更加深刻的函數的基本性質。函數的凹凸性作為函數的基本性質，它反映在函數圖象上就是曲線的彎曲方向。探究和分析函數的凹凸性，可以較好地掌握函數對應曲線的性狀，所以深入研究函數的凹凸性對于我們掌握和了解函數的整體性質和圖象具有不可替代的重要意義。

一、下凸函數的幾種定義

1.下凸函數的定義1

定義1 設函數在區間?I?上有定義，?f（x）?稱為?I?上的下凸函數當且僅當，有，若不等號嚴格成立，則稱?f（x）?是?I?上的嚴格下凸函數.

2.下凸函數的定義2

定義2 設函數在區間?I?上有定義，?f（x）?稱為?I?上的下凸函數當且僅當，有

若不等號嚴格成立，則稱?f（x）?是?I?上的嚴格下凸函數.

3.下凸函數的定義3

定義3 設函數在區間?I?上有定義，?f（x）?稱為?I?上的下凸函數當且僅當曲線?f（x）?的切線保持在曲線之下.若除切點之外，切線嚴格保持在曲線的下方，則稱?f（x）?是?I?上的嚴格下凸函數.

二、 判定函數凸性的方法

定理1.1.設函數在區間?I?上有定義，則以下條件等價（） ：

〈Ⅰ〉?f（x）?在?I?上為下凸函數; 〈Ⅱ〉;

〈Ⅲ〉; 〈Ⅳ〉;

〈Ⅴ〉 曲線y=?f（x）?上的三點A（，f（））， B（，f（））和

C所圍的有向面積.

（對嚴格的下凸函數有類似的結論，只要將“≤”改為“<”即可）

證明：10. 〈Ⅰ〉〈Ⅱ〉：對?I?中任意，根據下凸函數的定義，條件〈Ⅰ〉等價于≤.另一方面，將條件〈Ⅱ〉中的不等式乘以，移項變形，可知其等價于

可見，，令=，則，于是，，從而由 〈Ⅰ〉可推到<Ⅱ〉 .

反之，λ（0，1），若令，則，故 〈Ⅰ〉〈Ⅱ〉 。

20.類似可證〈Ⅲ〉， 〈Ⅳ〉與〈Ⅴ〉等價。

30.證明〈Ⅱ〉與〈Ⅴ〉等價。將〈Ⅱ〉中的不等式乘以并移項，可知〈Ⅱ〉中的不等式等價于：，此即：

命題1.2.?f（x）?是區間?I?上的下凸函數，則對?I?的任意內點，其單側導數都存在，且都為增函數，且，（），（其中是?I?的內部）.

定理1.3.設函數?f（x）?在區間?I?上有定義，則?f（x）?為?I?上的

下凸函數的充要條件是：，.

證明：（必要性）：因下凸函數，由命題1.2，可知，存在且單調遞增且趨于。由此任取，則時有?f（x）（）+?f?（）;同理，當取，則時有f（x）?≥a（x-x0）+?f（x0）.因，故對任意的：

恒有?f（x）（）+?f（）。

（充分性）：設是區間?I?上的任意點。由已知條件，對存在，使得?f?（x）（）+f（），.由此，令 x=和x=，可得：

，由定理1.1知?f（x）?為下凸函數.

推論1.4.設?f（x）?在區間?I?內可導，則?f（x）?為?I?上的下凸函數的充要條件是：，.

注：由此可見，若?f（x）?可導，則下凸函數的定義1，2，3等價.

定理1.5 .設?f（x）?在區間?I?上有導數，則?f（x）?在?I?上為下凸函數的充要條件是：單調遞增（）.

證明：10.（充分性）（不妨設）及（0，1）.記來證

即： （1）

（1）式等價于

（2）

應用Lagrange中值定理，，使得

但

故〈2〉式左端

（3）

由已知單調遞增，知從而〈3〉式. （1）式得證.

20.（必要性）據命題3.2，在內單調遞增，因存在，故亦在內單調遞增，若?I?有右端點?b?，按已知條件?f?在?b?點有左導數，易知同理，若?I?有左端點a，則由此得證?f（x）?在?I?上是遞增的.

定理1.6.若?f（x）?在區間?I?上有二階導數，則?f（x）?在?I?上為下凸函數的充要條件是：.

證明：可由定理1.5及函數單調性的充要條件推出。

三、函數凹凸性的若干性質

性質3.1 若（x）在區間?I?上為下凸函數，則?I?上任意三點x1.

證明：由定理1.1易得證。

注：對曲線y=f（x）上任意一弦AB，若用KAB表示弦AB的斜率，點.則上不等式的幾何意義為KAB

性質3.2：若（x）在區間I上為下凸函數，則過點的弦的斜率是x的增函數。（若?f?為嚴格下凸的，則嚴格的單調遞增）。

性質3.3：若是區間?I?上的下凸函數，則?I?上任意四點，有。（若?f?是嚴格的下凸函數，則取“<”）

性質3.4：若?f（x）?在區間?I?上為下凸的，則?f?存在任意內點上連續。

證明：由命題1.2知，與存在，故?f?在?x?處左右都連續。

性質3.5：若在區間?I?上為下凸的，則，在曲

線上一點可做一條直線L：，使曲線位于的L上方。

注：若為嚴格的下凸函數，則除點之外，曲線嚴格的在直線?L?的上方，這是著名的分離定理，也是可導下凸函數的幾何特征，而直線?L?稱為?y=f（x）?的支撐。

四、利用函數的凹凸性證明不等式

例1.（Jensen不等式）設?f（x）為[a，b]上的連續下凸函數，證明對于任意的，，成立.

證明：應用數學歸納法.當k=2時，由下凸函數定義知Jensen不等式成立.

現假設當k= n-1時Jensen不等式成立，則當k=n 時，

所以，Jensen不等式對一切正整數n成立.

例2.證明不等式對于正數a，b，c成立.

證 ：設

所以在下凸，因而

利用平均值不等式，得到

即

命題得證.

五、結語

本文通過對函數的凹凸性定義的梳理和刻畫，對函數的凹凸性作了深入的探索，通過對凸函數的一些重要性質的刻畫，讓學生對函數的凹凸性有了更深層次的認識。這對于學生今后認識和學習新的函數，無疑具有重要的意義。本文對函數凹凸性的應用方面的探索也是極富意義的，通過函數的凹凸性證明了數學中的若干重要的不等式，這對于開拓今后的數學研究者思路和思維，也具有積極的借鑒意義。

【參考文獻】

[1] 顧榮 .函數凹凸性定義的探討[J].佳木斯職業學院學報，2010（06）：299.

[2] 羅志斌，曾菊華.關于函數凹凸定義的一個注解[J].贛南師范大學學報，2005，26（3）：106-109.

[3] 華東師范大學數學系 .數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.