基于新息異常檢測的改進抗差自適應卡爾曼濾波算法

葛寶爽，張 海，唐志坤

(1.北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院，北京 100191；2.國家空域管理中心，北京 100094)

0 引言

卡爾曼濾波作為一線性最優估計，被廣泛地應用到導航系統與目標跟蹤系統中。在狀態空間模型是線性且噪聲統計特性完全已知并為相互獨立的高斯白噪聲時，卡爾曼濾波可以得到在最小均方意義下的最優解。然而在工程實踐中，由于外界環境的干擾，量測噪聲統計特性通常是未知或時變的，在此情況下將無法直接使用標準卡爾曼濾波(Standard Kalman Filter, SKF)；另外，量測中不免會含有異常值，由于SKF自身不具有抵抗異常值的能力，這就導致盡管很少的量測異常便會引起濾波振蕩，致使濾波精度下降[1]。

針對工程實踐中面臨的量測不穩定問題，SKF有不同的改進方案，如：適用于模型參數或噪聲統計特性未知的自適應卡爾曼濾波(Adaptive Kalman Filter, AKF)[2-3]；結合抗差估計理論的抗差濾波[4-5]等。在卡爾曼濾波中，新息作為濾波中的關鍵量，含有量測的全部信息，并且對異常量測值極為敏感。因此，無論是在AKF還是抗差濾波中，經常利用新息的特性估計量測噪聲方差或異常檢測，以期在保證濾波精度的前提下提高算法的魯棒性與容錯性。

文獻[6-7]利用新息正交特性對量測中的異常值進行辨識，然后利用抗差估計理論中的Huber方案構造等價權函數(活化函數)，并引入到卡爾曼濾波算法中，該活化函數通過降低量測異常值的權重提高了組合導航系統的抗差性能。文獻[8-9]依據新息服從多維正態分布的特性，采用3σ準則對量測異常值進行辨識，隨后通過調節濾波增益陣減弱異常值對濾波結果的影響。文獻[10-11]依據概率統計知識，構造新息的卡方統計量，并成功地應用到目標跟蹤與組合導航的異常值檢測中。雖然文獻[10]從理論上證明了所構造的等價權函數能夠保持新息的特性不變，但在實際應用中因其需要計算矩陣平方根的逆，存在數值穩定性問題；文獻[11]將Huber方案構造的等價權因子與卡方檢驗的臨界值相結合構造了新的方差膨脹因子，當量測異常發生時，通過方差膨脹因子放大量測噪聲方差陣降低了異常量測權重，因此增強了濾波的抗差性能。文獻[12]將AKF與抗差估計理論相結合，利用抗差估計理論構造等價權因子的方法構造了AKF中的自適應調節因子，并利用新息構成的統計量實時檢測調節量測等價權矩陣，以平衡狀態預測與量測間的權重。文獻[13]在保留移動開窗法估計量測噪聲方差陣的同時，引入了自適應因子來調節量測異常值對整個濾波系統的影響，較SKF提高了濾波精度且增強了濾波穩定性。

以上有關卡爾曼濾波改進算法的研究具有一定的理論意義和工程實踐應用價值，并且能夠較好地應對量測噪聲統計特性未知及量測中的孤立型異常值。但是，量測中連續型異常值的出現嚴重制約了上述算法的應用范圍與濾波效果。為此，本文首先從新息的角度分析了量測異常對濾波結果的影響；隨后，針對工程實踐中量測噪聲統計特性未知且含有連續型異常值的情形，構造了魯棒性更強的自適應Sage-Husa濾波算法；通過仿真實驗比較了改進算法與常規抗差自適應濾波算法的性能，驗證了改進算法抑制量測異常的有效性。

1 卡爾曼濾波量測異常影響分析

考慮量測中含有異常值的離散狀態方程為

Xk=Φk,k-1Xk-1+Wk-1
Zk=HkXk+bk+Vk

(1)

式中，Xk為狀態量，Φk,k-1為狀態轉移矩陣，Zk為量測量，Hk為量測矩陣,bk為異常量測，Wk-1與Vk為相互獨立的高斯白噪聲。

(2)

當bk=0時，式(2)便退化為SKF；當bk≠0時，即量測中含有異常值時，由式(2)中的新息定義可知，量測中的異常值必然引起新息的異常，受異常值污染的新息不僅會使當前時刻的濾波精度下降，同時還將會通過一步預測值向后續時刻傳遞，引起濾波振蕩。對于連續型異常值，若不采取必要的檢測和修復算法則很可能導致濾波最終發散，不能滿足導航或目標跟蹤的定位要求。另一方面，由式(1)中受異常污染的量測方程可以直接看出，若異常bk表現為連續型隨機噪聲的形式則可看作為量測量新增加性噪聲，因此會引起量測噪聲統計特性的變化。

2 改進抗差自適應卡爾曼濾波

2.1 改進Sage-Husa自適應量測噪聲方差估計

Sage-Husa自適應濾波算法通過對新息序列或殘差序列進行開窗估計出當前時刻的量測噪聲方差陣[14]。在基于新息與殘差的開窗估計算法中，基于殘差的自適應估計(Residual-based Adaptive Estimation, RAE)算法避免了基于新息的自適應估計算法估計量測方差陣時可能出現的負定現象。但RAE在估計量測噪聲方差陣Rk時需要用到當前時刻的狀態估計方差陣Pk，而計算Pk又需要已知Rk。為了避免上述矛盾，常規做法是采用上一時刻的狀態估計方差陣Pk-1來代替Pk，如式(3)所示

(3)

考慮量測異常的影響，本文采用模值更大的預測方差陣Pk/k-1來代替原算法中的Pk-1陣，對Rk估計時起到放大作用，以降低異常量測權重。改進后的估計算法如式(4)所示

(4)

2.2 改進自適應濾波穩定性分析

改進后的Sage-Husa自適應濾波在估計量測噪聲方差時采用了當前時刻的預測方差陣Pk/k-1。為了證明改進后的自適應濾波算法仍然是濾波穩定的，首先給定如下假設條件：原系統可控、可觀且對任意時刻k>0有

(5)

(6)

2.3 改進抗差估計策略

盡管Sage-Husa自適應濾波算法可以對時變噪聲方差進行在線估計，但其對量測中的異常并無抵制能力。為此可將抗差估計的思想引入到Sage-Husa濾波中以構造具有抗差能力的自適應濾波算法。

由多元正態分布的基本性質可知p元正態分布是p個相互獨立的一維正態變量的聯合分布，據此可依據新息服從多元正態分布的特性對量測異常進行逐維檢測判別。另受IGG函數與Huber函數的啟發，構造如下權函數

(7)

式中，c0可取(0.8～1.5)σi，c1可取(3.0～5.0)σi，σi為第i維新息標準差。K(:,i)=0表示將卡爾曼增益陣的第i列元素置零。

由式(7)可知，抗差權函數的降權區采用了較為簡潔的Huber函數降權形式。拒絕區則不同于原IGG函數直接將新息置零，而是將加權異常新息的濾波增益置零，由此可在抑制新息異常的同時調諧狀態估計方差陣。改進的拒絕區避免了連續異常出現時新息持續置零，但未相應調節狀態估計方差陣致使其不能反映當前時刻受異常影響濾波估值的可信度，最終導致濾波發散的情況。

2.4 改進抗差自適應濾波方案

改進抗差自適應卡爾曼濾波(Improved Robust Adaptive Kalman Filter, IRAKF)算法流程如圖1所示。

圖1 改進抗差自適應濾波方案Fig.1 Improved robust adaptive filter scheme

圖1中，C為閾值因子。由圖1可知，改進的抗差自適應濾波算法分為兩部分。第一部分為抗差Sage-Husa自適應濾波，在開窗估計量測噪聲方差的同時,利用所構造的三段權函數依據新息的不同幅值對其施加權重以控制量測異常的影響；另外，為了避免因開窗估計調節量測噪聲方差引起漏檢率升高，第二部分采用SKF中的新息輔助量測異常檢測，當檢測出量測異常時，直接通過軟件方式實現卡爾曼濾波增益陣列置零。經過雙重檢測可以有效地控制量測異常對濾波結果的影響。

3 仿真驗證

為了能夠驗證本文所提IRAKF算法對不同類型量測異常的抑制能力，本文以目標跟蹤為例進行了仿真驗證實驗，并與SKF及現有抗差自適應濾波算法如基于殘差的抗差自適應濾波(Robust Residual-based Adaptive Estimation, RRAE)[16]、自適應抗差卡爾曼濾波(Robust Adaptive Kalman Filter, RAKF)[17]、簡化抗差Sage-Husa自適應濾波(Robust Simplified Sage-Husa Adaptive Kalman Filter, RSSHAKF)[18]算法的濾波精度作了比較。

在仿真實驗中，系統狀態量為二維位置與速度，即X=[x,Vx,y,Vy]T，狀態初值設為X0=[1.25×105m,-100m, 1.25×105m,-100m]T。狀態空間方程如下

Xk=

(8)

仿真實驗1中，在x軸位置量測20～70歷元間，每隔5個歷元疊加均值為10，方差為64的孤立型異常值。仿真實驗2中，在x軸位置量測50～70歷元之間，加入均值為0，方差為64的連續型異常干擾。針對以上兩種情況，分別進行100次Monte Carlo實驗，仿真結果如圖2和圖3所示。濾波結果均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)定義如下

(9)

(a) X軸位置濾波誤差

(b) X軸速度濾波誤差

(c) Y軸位置濾波誤差

(d) Y軸速度濾波誤差圖2 孤立型量測異常濾波誤差Fig.2 Filtering errors with isolated outliers in measurement

由圖2(a)和圖2(b)可知，當出現孤立型量測異常時，IRAKF能夠有效抑制異常值對濾波結果的影響，說明所提算法能夠提高濾波精度且具有一定的魯棒性。SKF濾波結果產生了較大的偏差，這主要是因為其不具有抵抗量測異常的能力。RRAE算法可以有效抵制孤立型異常的干擾，并且具有自適應調節量測噪聲方差陣的能力。進一步對比IRAKF與RRAE濾波的RMSE，前者位置RMSE為1.5942m，后者位置RMSE為2.1969m，IRAKF位置精度提高了27.43%。RAKF受量測異常影響嚴重，這主要是因為在RAKF算法中更加依賴量測值。雖然RSSHAKF能夠在一定程度上抑制量測異常的干擾，但較IRAKF其效果有待提高，RSSHAKF位置RMSE為2.1818m。由圖2(c)和圖2(d)可知，在未有量測異常時，除RRAE算法波動較大外，其余算法濾波效果相當。

圖3中僅給出了有量測異常發生時的濾波誤差圖。由圖3可知，當連續型異常量測發生時，IRAKF仍能夠有效抑制，其位置RMSE為1.4663m，速度RMSE為0.3367m/s。SKF、RAKF與RSSHAKF濾波位置最大誤差均超過了10m，且在50～70歷元間持續振蕩。雖然RRAE濾波效果優于除IRAKF外的其他算法，其位置RMSE為1.9583m，速度RMSE為0.5475m/s，但其存在濾波發散的風險。

(a) X軸位置濾波誤差

(b) X軸速度濾波誤差圖3 連續型量測異常濾波誤差Fig.3 Filtering errors with continuous outliers in measurement

4 結論

本文針對卡爾曼濾波中量測異常的問題，提出了一種改進的抗差自適應濾波方案。算法分析與實驗結果表明：

1)量測異常通過污染新息進一步影響濾波結果。本文所提出的改進濾波方案采用雙重檢測方式，通過新息統計量檢測量測異常，提高了異常檢測的有效性。

2)新構建的量測異常抑制權函數合理分配權重，有效控制了量測異常對整個濾波過程的影響，提高了濾波精度。

3)本文所提改進抗差自適應濾波方案，因采用了雙濾波結構，因此在一定程度上增加了計算量。對一些對計算量有嚴格要求的工程應用，可只采用抗差Sage-Husa自適應部分以減少計算量。