動能攔截器運動偽裝末制導律設計

楊 彪，荊武興，李澗青，高長生

(1. 哈爾濱工業大學航天工程系，哈爾濱 150001；2. 浙江大學電氣工程學院，杭州 310027)

0 引 言

動能攔截器在現代防御體系中發揮著重要的作用，它是一種在大氣層外利用自己的動能攔截來襲目標的先進武器。動能攔截器的殺傷方式是直接碰撞，這要求其必須具有高精度的制導系統[1]。目前動能攔截器在大氣層外主要通過垂直安裝的姿軌控發動機提供的常值脈沖推力來實現精確攔截。為了減小發射質量和提高攔截成功率，設計具有制導精度高、消耗推進劑少等特點的動能攔截器末制導律是尤為重要的。

在攔截器末制導律設計問題中，比例導引律以其制導指令形式簡單、易于工程實現等特點得到廣泛的推廣與改進[2]。文獻[3]提出了一種偏置比例導引律，根據撞擊角和視場角約束設計偏置項來打擊機動目標。Prasanna等[4]針對高速目標攔截問題，提出了一種新的比例導引形式，此種制導律具有更大的捕獲區域和更小的終端橫向過載。此外，最優制導律和滑模變結構制導律等現代制導律也被深入研究[5-6]。文獻[7]設計了一個擴展卡爾曼濾波器估計機動目標參數，在此基礎上設計的最優制導律具有很高的制導精度。針對機動目標加速度邊界未知的攔截問題，文獻[8]基于平滑二階滑模和有限時間收斂擾動觀測器設計了一種連續魯棒沖擊角約束制導律，具有廣泛的攔截角度和有限時間收斂性。

運動偽裝理論最早用于描述生物界捕食者和獵物之間的運動位置關系，由Srinivasan等[9]首次提出。運動偽裝理論主要指捕食者、獵物和偽裝背景在捕食過程中處于一條直線，從獵物的角度不能明顯感知捕食者的位置變化[10]。因其偽裝特性具有較大的軍事應用價值，近年來也被應用于制導律設計領域[11]。針對導彈制導問題，文獻[12]在Frenet框架下建立相對運動模型，設計了一種運動偽裝反饋制導律，并比較了不同反饋增益下的制導性能。文獻[13]建立了導彈和目標的雙二階動力學模型，在此基礎上設計了用于攔截機動目標的運動偽裝制導律。一種適用于沖壓動力導彈的運動偽裝制導律在文獻[14]中被提出，可以有效降低命中點的過載，具有較好的制導性能。動能攔截器在末制導過程中，受結構設計的影響，推力為常值脈沖推力并且垂直于攔截器縱軸方向，因此上述制導律生成的連續制導指令不能符合動能攔截器推力大小和方向受限的制導需求。

發動機推力為常值脈沖推力時，采用脈沖寬度脈沖頻率(Pulse width pulse frequency,PWPF)調節器可以實現對推力效果的調節[15-16]。文獻[17]設計了一種適用于大氣層外攔截器的并行逼近制導律，引入閾值評估機制改進PWPF調節器，從而產生制導系統的等效推力。文獻[18]針對PWPF調節器參數設置上的局限性,提出了一種非線性優化目標函數,利用提出的優化目標函數,應用遺傳算法對PWPF調節器參數進行優化設計。文獻[19]主要從飛行器控制效果、發動機開關頻率和燃料消耗等方面評估PWPF調節器的性能，并通過模擬和系統分析給出了調節器的最佳參數范圍。文獻[20]針對大氣層外攔截器末制導問題，引入非線性擾動觀測器設計了魯棒性逐漸增強的三維終端滑模制導律，并設計了可變死區的PWPF調節器來適應命中點附近視線角速率變化劇烈的情況。文獻[21]在交會對接最終逼近段通過PWPF調節器實現等效變推力，設計了高精度的制導控制律并進行半物理仿真校驗。

諸多學者在目標與對象運動模型、保持偽裝狀態的方法、性能評估等運動偽裝理論方面進行了研究；國內外相關文獻已經在空間交會、攔截彈等背景領域開展了研究；目前結合具體制導控制執行機構研究該理論還鮮有文獻報道，此外，當前的PWPF調節器參數大多通過經驗估計或優化方法得出，缺少理論基礎?？紤]上述制導律和PWPF調節器設計方法在動能攔截器末制導中存在的不足之處，本文首先基于運動偽裝理論設計了三維攔截制導律，得到的制導指令作用在視線法向方向。針對動能攔截器推力大小和方向受限的情況，采用PWPF調節器對制導指令進行調節。并結合系統的可控條件和運動偽裝攔截條件對PWPF調節器的參數進行理論設計。

1 動力學模型

1.1 攔截器動力學模型

攔截器在飛行過程中，其動力學方程在彈道坐標系下可以表示為：

(1)

式中：vm，θm和ψv分別為攔截器的飛行速度、彈道傾角和彈道偏角；nx，ny和nz分別代表切向過載，法向過載和副法向過載；g為重力加速度，本文統一取值為9.81 m/s2。

1.2 相對運動方程

圖1 攔截器和目標相對運動關系Fig.1 Relative motion of interceptor-target

在攔截過程中，攔截器和目標的相對運動關系如圖1所示，其中M為攔截器，T為目標。設攔截器指向目標方向為視線方向，則攔截器和目標的相對位置矢量可以表示為：

r=rt-rm=rer

(2)

式中：rm為攔截器位置矢量，rt為目標位置矢量，er為視線方向單位矢量，r為視線長度。

定義視線旋轉坐標系由視線方向單位矢量er，視線瞬時旋轉角速度單位矢量eω和與二者同時正交的單位矢量eθ構成，即

(3)

式中：ω為視線瞬時旋轉角速度，ω為視線瞬時旋轉角速率。

根據矢量求導法則可得

(4)

(5)

對式(2)求導可得

(6)

對式(6)求導可得

(7)

結合式(4)和(5)可得

(8)

設am和at分別為攔截器和目標的加速度，在視線旋轉坐標系的表達式為

am=amrer+amθeθ+amωeω

(9)

at=atrer+atθeθ+atωeω

(10)

式中：amr和atr為攔截器和目標的切向加速度，amθ和atθ為攔截器和目標的法向加速度，amω和atω為攔截器和目標的副法向加速度。

攔截器和目標的相對加速度可以表示為

(atr-amr)er+(atθ-amθ)eθ+

(atω-amω)eω

(11)

可以導出相對運動關系方程為

(12)

2 運動偽裝末制導律

2.1 運動偽裝理論

運動偽裝指利用視覺特性，使攻擊者在目標的偵查視覺中看來與偽裝背景(參考點)具有相同的圖像特征，使目標不能感受到攻擊者的運動特征，從而達到欺騙的效果。運動偽裝要求攻擊者、目標和偽裝背景(參考點)時刻保持在一條直線上，這樣會使攻擊者與偽裝背景的視差最小，攻擊者、目標和參考點的相對運動關系如圖2所示

圖2 運動偽裝相對運動關系Fig.2 Motion camouflage scenario

假設目標的位置狀態為xt，攻擊者的位置狀態為xm，參考點的位置狀態為xr，記目標和參考點之間的相對位置矢量為

xtr=xt-xr

(13)

設運動偽裝控制參數為p(t)，在運動偽裝條件下則有

xm=xr+p(t)xtr

(14)

由于運動過程中參考點的位置和控制參數可以任意選取，滿足式(14)的運動偽裝軌跡有無數條，軌跡的彎曲程度和速度會因選取不同的參數而有所差別。

運動偽裝過程中選取的參考點不同會產生不同的效果，如圖3所示。當選取的參考點位置為固定偽裝背景等有限點時，運動偽裝過程類似于制導理論中的三點法；當選取的參考點位于無窮遠時，視線方向始終平行，類似于制導理論中的平行接近法。因此基于運動偽裝理論的導引方法具有三點法和平行接近法的導引特點。除擊中目標外，運動偽裝還適用于運動跟蹤，運動規避，潛伏到預定位置等，有較大的應用價值。

圖3 偽裝參考點分類Fig.3 Classification of camouflage reference point

2.2 末制導律設計

基于運動偽裝理論，在動能攔截器打擊目標過程中，可以將攔截器視為攻擊者，逐漸向目標接近。由于動能攔截器在高空進行攔截，目標難以清晰敏感到較遠的地表，同時空中也缺乏固定的參考點。因此將參考點設為無窮遠處，則有：

r=rr-rm=p(t)er

(15)

攔截器的速度在垂直于視線的方向可以表示為

(16)

同理，目標垂直于視線的速度可以寫為

(17)

結合式(16)和(17)可以得到垂直于視線的相對速度矢量

(18)

運動偽裝特性的結論[12]有：當且僅當λ=0時，攔截器和目標是處于運動偽裝狀態下。這一結論說明，當且僅當攔截器與目標在垂直于視線上的相對速度為0時，攔截器和目標處于運動偽裝狀態。

攔截器最終目的是擊中目標，即彈目距離為0，定義比值L

(19)

由式(19)可以看出，由于彈目視線旋轉角速率的存在，L值會在-1與+1之間取值。結合式(18)與(19)可得

(20)

(21)

將式(12)代入

(22)

攔截器的制導律可設計為

(23)

則攔截器會滿足運動偽裝攔截條件，最終成功攔截目標。

證.將其代入式(22)得

(24)

(25)

進而可以得到

(26)

令μ取為

(27)

式中：r0>0，σ>0。

對于任意r>r0有

(28)

當r>r0時，式(24)可以改寫為

(29)

由于制導律中包含目標的加速度信息，目標的加速度是有界的，即

|atθ|≤A

(30)

則基于運動偽裝的制導律可表示為

(31)

可以看出，在視線旋轉坐標系下基于運動偽裝理論的制導律只有視線法向上的分量。設計的制導律需要視線旋轉角速率、彈目距離、相對速度和攔截器速度等信息，與傳統的比例導引律相比需要較多的測量信息，對導引頭要求較高。但是引入了相對運動信息，成功攔截機動目標的同時可以保證攔截末端過載較小。

3 PWPF調節器設計

3.1 PWPF調節器

PWPF調節器由一階慣性環節，施密特觸發器和負反饋環節構成，如圖4所示。其中E為末制導過程中根據運動偽裝制導律得出的制導指令；Km和Tm分別為一階慣性環節的放大系數和時間常數；Uon和Uoff分別為繼電器的開啟閾值和關閉閾值；Um為脈沖幅值。在末制導過程中，制導指令E通過PWPF調節器后得到相應的發動機推力脈沖串，實現對制導指令的近似。

圖4 PWPF調節器Fig.4 PWPF modulator

根據PWPF調節器的結構框圖可知，當發動機處于開啟狀態時

U(t)=Km(E-Um)(1-e-t1/Tm)+

Uone-t1/Tm,0≤t1≤Ton

(32)

當發動機處于關閉狀態時

U(t)=KmE(1-e-t2/Tm)+

Uoffe-t2/Tm,0≤t2≤Toff

(33)

可以解出脈沖開啟時間

(34)

脈沖關閉時間為

(35)

發動機的最小脈沖寬度可以在E=Uon時推導得出

(36)

式中：h=Uon-Uoff，上式也可表示發動機的最小工作時間。

PWPF調節器變推力的實現主要和其工作原理中的占空比特性相關，占空比指發動機開啟的時間與一個脈沖周期的比值，即

(37)

根據文獻[18]可得DC-E曲線如圖5所示，其中

(38)

圖5 DC曲線Fig.5 DC curve

從圖5可以看出，在PWPF調節器作用下發動機的工作狀態主要分為三類：(1)E≤Ed時，處于死區狀態，此時發動機不工作；(2)Ed≤E≤Es時，處于線性區狀態，是調節器的基本工作區，此時通過調節器可以對推力脈沖串進行調寬和調頻；(3)E≥Es時，處于飽和區狀態，此時發動機持續穩態工作。

3.2 參數設計

上文設計的運動偽裝制導律可以在末制導過程中提供連續制導指令，但是這種指令無法直接通過動能攔截器的脈沖推力實現，此時需要利用PWPF調節器來調節推力脈沖，使其能夠實現制導指令的作用效果。在此過程中，PWPF調節器的參數對最終效果影響較大，因此有必要針對運動偽裝末制導律進行PWPF調節器的參數設計。

根據PWPF調節器的工作區可知，當處于飽和工作狀態時，系統必須可控。實際末制導過程中采用直接力的執行方式，發動機輸出推力脈沖，輸出的推力都是一個確定的數值，此時推力受限的制導律形式可以表示為amθ=Umsgn(ω)，此時可控條件為：

證.令X=ωr，則式(12)可改寫為

(39)

選取Lyapunov函數

(40)

其導數為

(41)

將制導律代入可得

(42)

(43)

(44)

根據式(43)和式(44)有

(45)

(46)

若t1時刻制導指令為E=Uon/Km，此時輸出為最小脈沖寬度Δ，希望在Δ的作用下，Z值能夠收斂至-1，即X=ωr在t1時刻收斂至零，此時amθ=Um，atθ=at(t1)。根據式(39)有

(47)

(48)

令t=t1可得

(49)

綜合式(48)與式(49)可得

(50)

令X(t1+Δ)=0可得

(51)

代入制導指令可得

Uon=Km(μvm(Um-at(t1))·

(52)

(53)

4 仿真校驗

為了檢驗本文提出運動偽裝攔截制導律的有效性和PWPF調節器設計的合理性，針對高超聲速機動目標攔截進行仿真校驗。本文選取的初始條件為：目標位置矢量為[170 km,85 km,20 km]；目標速度矢量為[-1000 m/s,-100 m/s,-600 m/s]，大小為Ma3.4；目標在空間內做正弦機動，加速度幅值為9.8 m/s2，周期為100 s；攔截器位置矢量為[130 km,75 km,15 km]；攔截器速度矢量為[1500 m/s,150 m/s,-500 m/s]，大小為Ma4.7。

首先選用真比例導引律(TPN)和運動偽裝制導律(MCG)進行對比驗證，其中真比例導引系數N取2.3，運動偽裝制導律中μ取1.2，A取10。仿真結果如圖6至圖9所示。

圖6 攔截器和目標彈道Fig.6 Interceptor and target trajectory

圖7 法向過載Fig.7 Normal overload

運動偽裝制導律脫靶量為0.06 m，真比例導引律為0.17 m。由圖6和圖7可以看出，相對于真比例導引律，運動偽裝攔截制導律的彈道更加平直，在制導前期作用在視線法向上的過載較大，所以在制導末期的過載會小于比例導引律的過載。圖8表明運動偽裝制導律在制導末期視線旋轉角速率的變化比真比例導引律更小。運動偽裝指標L值的變化如圖9所示。攔截末端目標與攔截器距離很近時，視線旋轉角速率會變化劇烈，真比例導引律指令主要依賴于視線旋轉角變化率，因此過載也會變化劇烈。而運動偽裝制導律還引入了相對運動信息，因此可以較好的抑制視線角變化率，過載變化較小。

圖8 視線旋轉角速率Fig.8 LOS angular velocity

圖9 L值變化Fig.9 Variation of L

將運動偽裝制導律應用到動能攔截器時，需要利用PWPF調節器。攔截器具體參數如下：質量為60 kg；推進劑質量為25 kg；發動機推力為4700 N；比沖為2800 s。由初始條件可知，攔截器與目標相對距離為41.533 km，相對速度為2514.5 m/s，初始視線旋轉角速率為0.01 rad/s，滿足第3.2節中的可控條件。則PWPF調節器中Um取值為78.4，最小脈沖寬度選為40 ms，通過式(53)可以選取Uon/Km=9.2，Uoff/Km=0.8。Km取值30，根據式(36)可計算得到Tm=0.38，同時可得Uon=276，Uoff=24。此次仿真中選用真比例導引律進行對比驗證，制導參數與上節相同，仿真結果如圖10至圖15所示。

圖10 攔截彈道Fig.10 Interception trajectories

圖11 視線旋轉角速率Fig.11 LOS angular velocity of interceptor

圖12 MCG法向過載Fig.12 Normal overload of MCG

圖13 TPN法向過載Fig.13 Normal overload of TPN

圖14 L值變化Fig.14 Variation of L

運動偽裝制導律和真比例導引律的脫靶量分別為0.08 m和0.21 m。由圖10可以看出，相比于圖6，增加PWPF調節器后的兩種彈道曲線更為接近，這主要因為推力值固定的情況下，運動偽裝制導律在制導前期過載較大的情況不會出現。從圖11可知在制導末期，運動偽裝制導律的視線旋轉角速率變化波動較小。圖12和圖13為兩種制導律指令經過PWPF調節器后的視線法向過載曲線?？梢钥闯觯捎眠\動偽裝制導律時，因其前期過載較大，前幾秒發動機處于飽和工作狀態，之后進入線性工作區進行脈沖調頻調寬；采用真比例導引律時，發動機基本工作在線性區進行調節。對比兩圖的過載曲線疏密程度可以看出，運動偽裝制導律的過載曲線前期更密集，后期更稀疏，即前期發動機開關頻繁，后期開關頻率降低。因此會出現圖15所示的結果，由于飽和工作和脈沖密集，運動偽裝制導律前期消耗更多的燃料，后期消耗較少，整個制導過程中比真比例導引律消耗的燃料更少。圖14表明制導滿足運動偽裝狀態。

圖15 燃料消耗Fig.15 Fuel consumption

5 結 論

本文結合動能攔截器的具體制導執行機構特點進行了制導律設計。在視線旋轉坐標系下建立了相對運動模型，基于運動偽裝理論設計了制導指令作用在視線法向的制導律。考慮動能攔截器推力大小和方向受限的特點，結合運動偽裝制導律攔截條件對PWPF調節器的參數進行了理論設計，使運動偽裝制導律更加符合動能攔截器的制導需求。與真比例導引律進行數值仿真對比，結果表明本文設計的適用于動能攔截器的運動偽裝末制導律能夠有效攔截目標，并且在命中點附近過載較小，整個制導過程消耗燃料更少。