面向空間近距離操作的機械臂與服務衛星協同控制

王興龍，周志成，王典軍，陳士明

(中國空間技術研究院通信衛星事業部，北京 100094)

0 引 言

航天器在軌服務是我國正在建設發展的重要航天系統工程之一[1-2]。目標衛星在軌捕獲等空間近距離操作需要機械臂與服務衛星協同配合完成[3]。服務衛星通過導引、繞飛、逼近等軌道機動，最終懸停保持在目標衛星近距離處，為其搭載的機械臂提供穩定基座；機械臂通過軌跡規劃與跟蹤控制，實現目標捕獲等空間操作。在此過程中，存在兩個較為突出的問題：一方面，機械臂是一個典型的變結構強耦合的非線性系統，存在建模誤差和外部擾動等很多不確定因素；另一方面，服務衛星與目標衛星的相對位置和姿態存在耦合，機械臂運動產生的反作用力/力矩又會對服務衛星控制產生干擾。

針對機械臂控制問題，謝箭等[4]提出了基于神經網絡的自適應控制方法，對系統不確定因素具有較好的適應能力，但在線學習所需時間較長。Herman[5]和Hu等[6]采用滑模變結構方法設計機械臂控制器，具有響應快速、實時性強、魯棒性高等特點，但控制誤差容易產生抖顫現象且無法保證有限收斂時間。服務衛星相對位姿耦合控制方面，李鵬等[7]和Lu等[8]基于C-W方程和姿態四元數建立了相對位置和姿態耦合動力學模型。梁斌等[9]和郭碧波等[10]設計了基于視線的相對導航控制方法，Singla等[11]考慮參數不確定性設計了相對姿軌輸出反饋控制律，但上述方法都未考慮機械臂運動對服務衛星控制的干擾。吳劍威等[12]利用遺傳算法對機械臂運動軌跡進行優化，減小對衛星姿態的影響，但未涉及衛星控制器設計。史也[13]和斯祝華等[14]分別對機械臂和太陽帆板的干擾力矩進行估計補償，并設計衛星控制律，但只考慮了其對衛星姿態控制的影響。徐文福等[15]基于微分運動學方程設計了機械臂捕獲目標的協調控制方法，但同樣未考慮基座衛星的位姿耦合問題。

本文提出一種面向空間近距離操作的機械臂與服務衛星協同控制方法。采用全局終端滑模控制設計機械臂軌跡跟蹤控制律，采用PD控制設計服務衛星相對位姿耦合控制律，并通過前饋補償方式實現兩者的協同控制。最后通過仿真，驗證控制方法的有效性。

1 系統動力學建模

1.1 機械臂和服務衛星組合體動力學模型

空間近距離操作示意如圖1所示。研究服務衛星和目標衛星短時間近距離相對運動時，可將目標衛星軌道系∑to視為慣性系。除特別說明外，文中所有矢量均用其在∑to中的坐標分量表示。

基于多剛體系統建模理論，建立機械臂和服務衛星組合體動力學模型。系統基本假設定義如下：

假設1.機械臂臂桿和服務衛星均視為剛體，不考慮柔性振動和液體晃動等影響。

假設2.機械臂關節視為理想鉸鏈，不考慮關節柔性和摩擦等非線性因素。

假設3.機械臂和服務衛星組合體處于失重環境中，不考慮重力梯度和其它環境影響。

根據上述假設，采用拉格朗日方程[16]推導得到機械臂和服務衛星組合體動力學方程為

(1)

(2)

特別地，當服務衛星在目標衛星近距離處懸停保持時，忽略控制誤差，vs,ωs均可視為零，則式(2)可簡化為基座固定機械臂動力學方程：

(3)

1.2 服務衛星和目標衛星相對位姿耦合模型

基于空間相對運動建模理論，建立服務衛星和目標衛星相對位姿耦合動力學模型。系統基本假設定義如下：

假設4.服務衛星和目標衛星運行在標準圓軌道，傾角和偏心率均可視為零，受到的軌道攝動均可忽略，兩者相對距離遠小于其軌道半徑。

假設5.目標衛星視為剛體，不考慮其柔性振動和液體晃動等影響。

根據假設4，服務衛星和目標衛星之間的相對軌道運動可用C-W方程描述，推導得到兩星相對位置動力學方程為

(4)

式中：rr,vr分別為服務衛星相對于目標衛星的位置和速度矢量在∑to中的分量，參數矩陣M1,C1,N1的表達式分別為

(5)

式中：ms為服務衛星的質量，Ω為目標衛星的軌道角速度標量，E為單位矩陣。

根據假設1和假設5，服務衛星和目標衛星均視為剛體，采用相對四元數建模方法推導得到兩星相對姿態動力學方程為

(6)

式中：λrv為服務衛星相對于目標衛星的姿態四元數的矢量部分，sbωr為服務衛星相對于目標衛星的角速度矢量在服務衛星本體系∑sb中的分量，sbTs為服務衛星的控制力矩矢量在∑sb中的分量，參數矩陣B2,M2,C2,N2的表達式分別為

(7)

式中：λr0為服務衛星相對于目標衛星的姿態四元數的標量部分，sbIs,sbIt分別為服務衛星和目標衛星的轉動慣量在∑sb中的表示，tbIt為目標衛星的轉動慣量在自身本體系∑tb中的表示，sbωs為服務衛星的角速度矢量在∑sb中的分量。

定義相對位姿耦合狀態變量：

(8)

聯立式(4)和式(6)，整理得到服務衛星和目標衛星相對位姿耦合動力學方程為

(9)

式中：

(10)

式中：sbFs為服務衛星的控制力矢量在∑sb中的分量，Asb為∑sb到∑to的轉換矩陣，體現了服務衛星與目標衛星的相對位姿耦合。

2 機械臂全局終端滑模控制

2.1 全局終端滑模控制器設計

為實現目標捕獲等空間近距離操作，并考慮實際星載計算能力限制，設計采用機械臂與服務衛星協同控制策略。針對機械臂和服務衛星分別獨立設計控制器。機械臂按基座固定方式控制，服務衛星控制誤差產生的位姿變化作為機械臂控制器的擾動項。服務衛星進行相對位姿耦合控制，機械臂運動產生的反作用力和力矩作為前饋補償疊加到服務衛星控制器中，實現兩者的協同控制。

基于全局終端滑模控制方法設計機械臂控制器，實現機械臂在基座擾動等不確定因素影響下的精確軌跡跟蹤，同時保證跟蹤誤差在全局范圍的有限收斂時間。

在基座固定機械臂動力學模型的基礎上，考慮各種不確定因素，機械臂動力學方程為

(11)

式中：ΔD為包括基座擾動等在內的不確定項。

ΔD=[Δd1,Δd2,…,Δdn]T

(12)

式(11)所示的機械臂動力學系統具有以下性質：

性質1.M(Θm)非奇異，且對稱正定有界。

(13)

定義機械臂關節軌跡跟蹤誤差Em為

Em=Θmd-Θm=[em1,em2,…,emn]T

(14)

式中：Θmd,Θm分別為關節期望角度和實際角度。

構造全局終端滑模超平面S為

(15)

式中：

(16)

且有αi,βi>0，p,q為正奇數(p>q)。

假定ΔD有界，根據全局終端滑模控制方法，構造機械臂關節軌跡跟蹤控制律為

(17)

式中：

(18)

(19)

且有φi,ηi>0，因而有γi>0，i=1,2,…,n。

2.2 控制系統穩定性分析

定理1.對于式(11)所示的機械臂動力學系統，在滿足性質2條件下，全局終端滑模控制律(17)能夠保證系統漸近穩定。

證.滑模面S對時間t求一階導數，并將全局終端滑模控制律式(17)代入，整理得

(20)

由式(19)可得

(21)

將式(21)代入式(20)，并令H=diag(η1,η2,…,ηn)，整理得

(22)

選取Lyapunov函數為

(23)

將式(23)對時間t求導，并根據性質2，整理得

-STΦS-STHSq/p

(24)

將式(24)中的矩陣展開，寫成元素求和形式，有

(25)

2.3 跟蹤誤差收斂時間分析

定理2.對于式(11)所示的機械臂動力學系統，在滿足性質1條件下，全局終端滑模控制律(17)能夠保證跟蹤誤差Em在有限時間內收斂到零。

證.根據性質1，M(Θm)非奇異，將不等式(22)兩邊乘以M-1(Θm)，又因為M(Θm)對稱正定有界，因此存在矩陣Φ*,H*，滿足

(26)

式中：

(27)

研究機械臂關節i的軌跡跟蹤誤差emi。定義tri為emi從初始狀態si(0)≠0到滑模面si(tri)=0的收斂時間，根據式(26)可得其微分方程為

(28)

從而解得

(29)

在滑模面si=0上，定義tsi為emi從初始狀態emi(tri)≠0到零點emi(tri+tsi)=0的收斂時間，根據式(15)可得其微分方程為

(30)

從而解得

(31)

定義ttotal為機械臂所有關節的軌跡跟蹤誤差在全局范圍內從初始狀態到零點的總收斂時間：

(32)

3 服務衛星相對位姿耦合控制

3.1 相對位姿耦合誤差模型

為實現在目標衛星近距離處的懸停保持，服務衛星采用相對位姿耦合控制。定義相對位置、速度、姿態和角速度控制誤差er,ev,eΛ,sbeω分別為

(33)

式中：rrd,vrd分別為服務衛星相對于目標衛星的期望位置和期望速度矢量在∑to中的分量，Λr,Λrd分別為服務衛星相對于目標衛星的實際和期望姿態四元數，eΛ0,eΛv分別為eΛ的標量部分和矢量部分，sbωrd為服務衛星相對于目標衛星的期望角速度矢量在∑sb中的分量。

定義相對位姿耦合控制誤差：

(34)

將式(33)和式(34)代入式(9)，并考慮機械臂反作用力和力矩，整理得到相對位姿耦合誤差動力學方程為

(35)

式中：urm為機械臂反作用力和力矩矢量在∑sb中的分量。

3.2 相對位姿耦合控制器設計

為實現協同控制，服務衛星采用“前饋補償+PD控制”的方法，根據動力學模型估算機械臂反作用力和力矩，并將其作為前饋補償疊加到相對位姿耦合PD控制器中。服務衛星相對位姿耦合控制結構如圖2所示。

圖2 服務衛星相對位姿耦合控制結構Fig.2 Coupled control structure for relative position andattitude of servicing satellite

(36)

(37)

采用前饋補償+PD控制方法，構造服務衛星相對位姿耦合控制律為

(38)

式中：KP,KD分別為比例和微分系數。通過KP,KD的合理取值，可以保證式(35)所示的相對位姿耦合誤差動力學系統漸進穩定。

4 仿真校驗

4.1 工程算例

通過工程算例在MATLAB和ADAMS聯合仿真平臺上進行仿真，驗證本文控制方法的有效性。機械臂設定為7自由度空間機械臂，整體構型與國際空間站遙控機械臂系統(SSRMS)相似，D-H坐標系如圖3所示，D-H參數如表1所示，動力學參數如表2所示。服務衛星和目標衛星設定采用某成熟型號衛星平臺，動力學參數如表3所示。

圖3 空間7自由度機械臂D-H坐標系Fig.3 D-H frames of 7-dof space manipulator

表1 機械臂D-H參數
Table 1 D-H parameters of manipulator

臂桿iθmi/ (°)αi/(°)ai/mdi/m1θm19000.452θm2-9000.33θm302.70.34θm402.70.35θm59000.36θm6-9000.37θm7000.6

表2 機械臂動力學參數Table 2 Dynamic parameters of manipulator

表3 服務衛星和目標衛星動力學參數Table 3 Dynamic parameters of servicing and target satellites

機械臂全局終端滑模控制和服務衛星相對位姿耦合控制的參數分別為

(39)

4.2 仿真結果

圖4 機械臂關節角度跟蹤誤差Fig.4 Tracking errors of manipulator joint angles

圖5 機械臂關節角速度跟蹤誤差Fig.5 Tracking errors of manipulator joint angular velocities

圖6 機械臂關節控制力矩Fig.6 Control torques of manipulator joints

服務衛星相對位姿耦合控制仿真得到的相對位置、速度、姿態和角速度誤差er,ev,eΛv,sbeω分別如圖7～10所示，服務衛星控制力和力矩sbFs,sbTs分別如圖11～12所示。從圖7～12可以看出，在捕獲過程的全部時間內，er,ev,eΛv,sbeω能夠被控制在期望精度，滿足控制要求。sbFs,sbTs三軸分量的最大絕對值分別小于20 N和60 N·m，不超過設計限定值，工程實現可行。

圖7 服務衛星相對位置誤差Fig.7 Relative position errors of servicing satellite

圖8 服務衛星相對速度誤差Fig.8 Relative velocity errors of servicing satellite

圖9 服務衛星相對姿態誤差Fig.9 Relative attitude errors of servicing satellite

圖10 服務衛星相對角速度誤差Fig.10 Relative angular velocity errors of servicing satellite

圖11 服務衛星控制力Fig.11 Control forces of servicing satellite

圖12 服務衛星控制力矩Fig.12 Control torques of servicing satellite

5 結 論

本文針對空間近距離操作涉及的動力學與控制問題，提出了一種機械臂與服務衛星協同控制方法，并通過數值仿真驗證了方法的有效性和適用性。方法具有以下特點：1)能夠有效實現機械臂的精確軌跡跟蹤控制，并保證一定的控制精度、穩定性和誤差收斂時間；2)能夠實現服務衛星在機械臂反作用力和力矩影響下的相對位姿耦合控制，協同完成空間近距離操作任務。

應當指出，該控制方法還存在一定問題，如計算復雜，每個控制周期都需要實時解算系統動力學模型，對控制系統硬件性能要求較高。考慮工程實用性，可以預先算出服務衛星和機械臂幾種典型構型的動力學參數，工程實施時根據需要直接調用相應參數生成控制力和力矩，由此帶來的建模誤差通過控制律魯棒項予以補償。