在數學公式教學中培養學生邏輯推理核心素養

張群香

【摘要】? 數學公式是初中數學教材的重要組成部分，是數學知識的主要載體。數學公式反映了數學對象的屬性之間的關系，揭示了數學知識的基本規律。在教學中，數學公式的教學占有重要的地位，教師在數學公式的教學過程中，不能僅僅停留在公式的表面，應該以公式作為載體，注重公式的推導過程，引導學生親身經歷數學公式形成的過程，讓學生真正對數學公式理解透徹，掌握公式的結構特征，熟悉公式的各種變換，并且能夠運用公式解決數學問題。本文以一元二次方程求根公式的教學為例，談談在公式教學中培養學生邏輯推理素養的幾點做法。

【關鍵詞】? 邏輯推理 公式引入 公式推導 公式應用

【中圖分類號】? G633.6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】? A 【文章編號】? 1992-7711（2020）03-097-020

隨著基礎教育課程的深化改革，“核心素養”已成為當代教育關注的熱點話題。在教學過程中可以通過創設合理的教學情境培養學生的數學學科核心素養，這樣才能提高學生學習的自主性和創新意識，進一步推動學生的整體發展。數學公式的教學貫穿在整個中學數學教材中。因此，我們一定要以數學公式教學為載體，培養學生的邏輯推理核心素養。我們可以通過研究公式的來龍去脈，學生能從中學會推理的基本形式，形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維習慣和交流能力，形成舉一反三的能力。那么，如何在數學公式中實現邏輯推理核心素養的培養目標呢？

一、對公式教學的認識

數學公式是初中數學教材的重要組成部分，是數學知識的主要載體。數學公式反映了數學對象的屬性之間的關系，揭示了數學知識的基本規律。因此，教師在數學公式的教學過程中，不能僅僅停留在公式的表面，應該以公式作為載體，注重公式的推導過程，引導學生親身經歷數學公式形成的過程，讓學生真正對數學公式理解透徹，掌握公式的結構特征，熟悉公式的各種變換，并且能夠運用公式解決數學問題。數學公式的教學過程主要由引入、推導和應用三個環節。在每一個環節中都要以培養邏輯推理核心素養為出發點和落腳點，圍繞這一總目標設計教學。

（一）注重公式的引入

新事物的學習需要一個循序漸進的過程，心理學的研究調查標明，同樣學習一個知識點，意義識記的學習效果要顯著優于機械識記的學習效果。因此，在數學公式的教學中，教師不能一上來就把公式拋給學生，直接讓學生觀察公式中的字母、符號和文字，而是應當注重揭示數學公式的引入過程。在新公式的引入階段，為了激發學生的意義學習，加深對所學公式的感知和理解，教師應盡力創設有利于學生集中注意力、激發學習動機的情境，并以此情境為契機，促進學生調動原有知識結構與經驗基礎積極同化新公式。

公式的引入也可以以一些簡單的、可操作的數學實驗來呈現。數學知識的發現并不一定都以嚴密的邏輯推理或證明的形式呈現。教師可以設計與教學內容有關的，便于課堂實施的實驗，以此為索引，引導學生操作、歸納、猜想新知識，再通過邏輯論證得到數學公式。如扇形面積公式的引入，可以在學生制作紙質的扇形圖形，將幾何體剪開得到側面展開圖的操作過程中引導學生找到弧長公式和扇形的面積公式。

（二）注重公式的推導

當學生通過各種情境對公式有初步朦朧認識的時候，數學公式的教學就要轉向公式的推導，讓學生在教師的帶領下感受知識的產生、發展、主動參與新知識的構建。教師在探究數學公式的證明過程中，要讓學生親身經歷公式來源的過程，讓學生體會到公式邏輯瑰麗的證明過程應該是一個從特殊到一般的推理過程。在推理過程，每當學生展現一次思維過程，教師可通過問題系列的設計將學生帶入更深層次的思考，要注重培養學生運用類比、歸納的數學思想解決數學問題的能力，在比較復雜的問題情境把握不同對象之間的關聯。

（三）注重公式的應用

學生掌握了公式的來龍去脈后，將進入公式運用階段。學生學會應用數學公式是理解數學公式的前提，教師需要對新學的公式進行合理的強化，這一階段教師要給學生創設由簡單到復雜、由單一到多重、從抽象到實際的問題背景，同時，教師加強學生對公式的變形、公式的正向應用、公式的反向應用等多方面的練習。這樣，不僅可以達到強化新知識的目的，還促進學生對公式的理解，從而讓學生對數學公式能夠運用自如。從而提高學生對數學公式的運用能力，培養學生的發散思維、逆向思維和創造性思維，發展學生的數學運算能力。

二、核心素養視角下的數學公式教學設計

本文接下來將以人教版《義務教育教科書九年級數學上冊》中的“用配方法推導一元二次方程的求根公式”為例，研析如何將數學學科核心素養滲透于數學公式教學中。

（一）創設情境，引入新課

問題1.你能快速說出方程的解嗎？

（1）（x+1）2=3

（2）x2=0

（3）x2=-3

問題2.用配方法解下面的方程：

（1）6x2-7x+1=0

（2）2x2-4x+3=0

問題3：用配方法解一元二次方程一般步驟有哪些？

問題4.通過解上述兩方程，你覺得配方法有哪些優勢和不足？你發現了哪些問題？我們能否針對一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）用配方法求解呢？

[設計意圖]

復習用配方法解數字系數的一元二次方程的相關知識，這為后續公式的分類討論打下基礎，同時引導學生經歷總結歸納的過程。與公式法有實質性聯系的內容是前一節所學的配方法，教師以此為新知識生長點呈現練習題：用配方法解上述兩方程，既激活了學生頭腦中與新知識密切相關的已有知識經驗，又鞏固了配方法。使學生認識到每一個數字系數的一元二次方程都可用配方法來求解，并且用配方法解具體一元二次方程的思路及步驟都相同，同時體驗到配方法的局限性，即形如（1）的一元二次方程，一次項系數不是2的倍數或數字較大時配方運算較繁瑣、用起來不方便。方程（2）配方后完全平方式為負數，原方程無實數根卻花費時間配方，由此產生疑難和困惑，感悟到具體的配方法已經不夠用了。鼓勵學生對一元二次方程的求解方法做出大膽的猜想，促進學生由特殊到一般的問題的猜想和歸納能力的發展。

（二）公式的推導與發現

1.公式的推導

公式推導過程應根據班級中學生的實際情況選擇不同的處理方法，對于自主推導有困難的班級可以選用在老師的引導下經歷推導公式的歷程，讓學生看到真實的思維過程是怎樣的。這一過程并不一定要直接指向正確的解答，而是讓學生看到教師或前人如何發現成果或如何從困境中尋找新的思路。

問題5.對一般形式的一元二次方程如何配方？你打算如何思考？能否類比前面的研究方法？請用配方法自主探索一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法。

師生活動：學生自主探究，嘗試推導。兩名學生板演，教師巡視。

師生共同觀察分析黑板上的同學的探索過程

ax2+bx+c=0（a≠0）

ax2+bx=-c

教師：這是配方法中的哪一個過程（移項）

教師：這是配方法中的哪一個過程（將二次項的系數化為1）

教師：這是配方法中的哪一個過程（配方）

教師：這是什么運算（開平方運算）

（因為a≠0所以4a2>0，如果使≥0，那么只有b2-4ac≥0）

教師：如果b2-4ac<0時，可以進行開平方運算嗎？（不可以，因為負數沒有平方根）

教師：在用配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）時，需注意什么？

讓學生暢所欲言。

歸納總結：對于ax2+bx+c=0（a≠0），當b2-4ac≥0時，在這里我們把x=稱為一元二次方程的求根公式，用公式可以直接解一元二次方程。

[設計意圖]

在使學生體驗到一般形式配方必要性的基礎上，類比數字系數的一元二次方程的配方法，引導學生對一般形式進行配方;在學生未考慮判別式的符號直創設教學情境，引發數學命題學習的需求得到求根公式時，教師運用啟發性提示語給予暗示，從而形成恰當程度的認知沖突，使學生產生了新的疑難和困惑，引發其深層思維和探索興趣，并認識到對b2-4ac需要進行分類討論。同時使求根公式由潛在發展水平轉化為學生的現有發展水平，又為一元二次方程根的判別式與根的關系這一新的潛在發展水平做了鋪墊，使學生進入新的最近發展區。

2.公式的理解

問題5.觀察公式你有哪些發現，從數學的角度談一談？對今后解一元二次方程有什么幫助？

師生活動：學生討論交流，教師適時點撥。

[設計意圖]

通過討論加深對求根公式的理解，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a，b，c確定，同時讓學生進一步感受到數學公式、方法的簡潔美和統一美。理解一元二次方程求根公式中各字母代表的意義及條件，把握公式的結構特征，突出數學問題的本質。

（三）應用新知，體驗公式

1.試一試

用求根公式解前面的方程：6x2-7x+1=0

[設計意圖]

回到情境中的練習，運用求根公式解方程6x2-7x+1=0，使學生體會到求根公式的優越性，感悟科學的研究方法是——發現問題、提出問題和解決問題。

2.解方程

（1）6y2+13y+6=0

（2）5x+2=3x2

（3）x（x-2）=5-8x

思考：由以上解方程的過程，你能總結一下使用公式法解方程的步驟嗎？

[設計意圖]

使學生進一步體味求根公式的實質，并歸納用求根公式解一元二次方程的基本思路，即先化簡為一元二次方程的標準形式再運用求根公式，概括出在用求根公式解一元二次方程時可先確定判別式的值再代入求根公式，從而豐富和優化學生的認知結構。

（四）梳理小結，盤點收獲

（1）回顧公式的探究推導過程，我們經歷了怎樣的思考過程？

（2）公式法的優點是什么？

（3）使用這個公式的步驟有哪些？

建立開平方法、配方法與求根公式法的內在聯系，使學生感悟化歸思想和分類討論思想。

求根公式法————→配方法————→開平方法

↓? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ↓

用公式時先考慮判別式的符號化歸的目標為降次

[設計意圖]引導學生建立知識之間的內在聯系，概括本節課的核心知識及運用的數學思想和研究方法，旨在使學生生成組織良好的數學認知結構網絡。

總之，公式教學應是公式自然出現、公式探索推導、公式靈活運用三位一體的過程。

每個環節都需要教師在邏輯推理核心素養目標指引下，精心設計，學生充分參與，長此反復，公式教學才能成為培養學生邏輯推理核心素養的不竭源泉。

[ 參? 考? 文? 獻 ]

[1]人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心組編的《初中數學核心內容教學設計案例集》.

[2]蔣海燕，主編的《中學數學核心素養培養方略》山東人民出版社.

[3]曹一鳴，等主編的《基于學生核心素養的數學學科能力研究》北京師范大學出版社.