基于樣本外預測的GARCH族模型評價研究

張勝杰

摘 要：對金融資產的波動率預測，GARCH族模型是主流的參數法模型。現有研究主要采用樣本內回測進行模型評價，較少運用滾動時間窗或迭代時間窗的樣本外預測來進行評價比較。以滬深300指數為研究對象，經過試擬合后建立七種GARCH族模型，采用四種預測精度評價指標，將預測方式由傳統的樣本內回測擴展為樣本外靜態、滾動、迭代預測，進行預測能力評價。研究表明，傳統方法選擇的樣本內最優模型未必取得最優的預測效果。因此，在對GARCH族模型選擇過程中，應進行樣本外預測評價，適時調整模型形式;對于較大的訓練樣本而言，采用靜態預測方式即可取得較好的樣本外預測效果，而滾動與迭代預測并未明顯提高預測精度。

關鍵詞：GARCH模型;預測能力評價;樣本外預測

中圖分類號：F830.91? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? 文章編號：1673-291X（2020）36-0058-04

引言

金融資產波動率往往具有時變性、聚集性等波動特性，GARCH族模型由于估計簡單、擬合較好、易于解釋，是主流的參數法模型。Engle（1982）提出ARCH模型，考慮了方差的時變性，將條件方差設定為過去殘差平方的函數[1]。Bollerslev（1986）將高階ARCH模型擴展為低階GARCH模型，將條件方差設定為過去殘差平方及過去條件方差的函數[2]。Engle和Bollerslev（1986）[3]隨后又建立IGARCH模型，擬合波動沖擊的持續性。此后GARCH族模型獲得了持續擴展與應用。J.P.Morgan建立基于Risk Metrics模型的VaR風險度量，該模型利用指數加權移動平均法（EWMA）估計條件波動，其實質為擾動項服從正態分布、簡化參數的IGARCH（1，1）模型。Nelson（1991）證明了對于金融資產收益率序列，采用任何一類GARCH模型，即使存在設定錯誤，但當樣本容量充分大時，也能得到條件波動的一致估計[4]。近年來，國內外研究學者Liu[5]（2011）、張路膠[6]（2006）、張術林[7]（2009）、方立兵[8]（2014）、吳俊[9]（2015）等通過建立GARCH族模型對金融資產的波動率進行擬合，并進行衍生品定價、VaR預測、精度評價等實證研究。大量實證表明，GARCH族模型及其各種擴展形式能成功刻畫金融時間序列的這些波動特征。

在傳統分析中，把所有樣本數據用于模型估計，有利于得到最好的擬合結果，但不利于模型檢驗和評價，無法檢驗參數的不變性、模型變量關系的穩定性等，也難以評估預測效果;對GARCH族模型的擬合效果評價，主要采取基于損失函數或VaR超出率的樣本內回測評價，較少見到運用動態滾動時間窗或迭代時間窗的樣本外預測結果進行評價;而且，對不同模型形式和分布假設的橫向比較也研究較少。而White的研究指出，基于樣本外預測結果的計量模型評價結論比基于樣本內結果更加穩定與可靠[10]。

對此，本文擴展預測方式，進行樣本外預測能力的評價研究，主要創新點在于：一是采用樣本外預測方式進行模型評價。把整個樣本觀測區間分為樣本內（insample）和樣本外（outofsample）兩部分，前者用于模型擬合，后者用于預測能力評價。除了采取傳統的樣本內回測（backtesting）之外，將預測方式擴展為樣本外靜態（static）、樣本外滾動（rolling）、樣本外迭代（recursive）預測，進行模型預測能力比較。二是建立多個模型進行橫向比較。經過試擬合，波動率不存在風險溢價效應和杠桿效應，但存在持續效應，因此建立GARCH、IGARCH及Risk Metrics三類模型;對于擾動項的分布，考慮到收益率分布的尖峰厚尾特征，采取國內外學者常用的正態、t、GED等三種假設，最終建立GARCH-N、GARCH-GED、GARCH-t、IGARCH-N、IGARCH-GED、IGARCH-t以及RiskMetrics（即EWMA-N）等七種模型進行橫向比較。

一、條件波動率模型簡介

（一）GARCH模型

GARCH模型可以看作是無限階的ARCH模型，能夠較好刻畫波動的持久性，通常，GARCH（1，1）模型即可具有較好的擬合效果。模型如下：

（二）IGARCH模型

（三）Risk Metrics模型

其實質是建立擾動項服從正態分布的EWMA模型來擬合條件波動，下文統稱EWMA-N模型，模型如下：

二、實證分析

（一）研究變量及樣本數據說明

在我國，滬深300指數由大盤藍籌股構成，代表性強、關注度高，本文選取滬深300指數作為研究變量，為消除除權除息影響，指數價格為向前復權收盤價，第t日收盤價Pt做對數和差分變換，得到日對數收益率序列rt=lnPt-lnPt-1。樣本數據的時間范圍是2014—2018年，共得到日對數收益率的1 219個觀測值。把整個樣本觀測區間分為樣本內（in sample，即訓練集）和樣本外（out of sample，即測試集）兩部分：2014—2017年數據為訓練集，樣本容量為976，用于模型估計和傳統的樣本內回測;2018年數據為預測集，樣本容量為243，用于樣本外預測和模型評價。

整個樣本的時序圖（如下圖所示），其中前974個樣本點為樣本內數據，用于下文的描述統計、模型參數估計與樣本內回測評價。

（二）樣本數據描述統計

樣本數據的描述統計表（如表1所示），主要統計特征為：均值接近零、略微左偏、尖峰厚尾;JB檢驗拒絕正態分布假設;ADF檢驗拒絕存在單位根的原假設，即認為收益率序列是寬平穩的。序列自相關檢驗中，滯后1階Ljung-BoxQ統計量不顯著、但滯后5階Ljung-BoxQ統計量具有顯著性，因此認為收益率序列不存在明顯的短期自相關性，也反映出我國A股市場基本是弱式有效的，故對條件均值建立ARMA（0，0）模型，即不考慮其自相關性，只保留常數項作為無條件均值。

進一步地，對ARMA模型的殘差平方序列進行自相關檢驗，滯后5階的Ljung-BoxQ統計量均具有顯著性;對ARMA模型的殘差序列進行ARCHLM檢驗，滯后階數為5時，F與Chi-Square統計量均具有顯著性，說明收益率序列存在ARCH效應，可以建立GARCH族模型對條件方差進行擬合。

（三）模型參數估計

在確定并估計模型前，對可能的模型形式進行試擬合。首先，擬合GARCH-M模型，條件均值模型中的方差項系數不顯著，認為不存在風險溢價效應;其次，擬合TGARCH模型和EGARCH模型，非對稱項系數不顯著，認為條件波動不存在杠桿效應;隨后，擬合GARCH模型，ARCH項系數與GARCH項系數估計值之和非常接近1，認為波動率受沖擊影響持久，可以建立IGARCH模型。對于擾動項的分布假設，考慮到收益率序列的尖峰厚尾特征，采取國內外學者常用的Normal、t、GED等三種分布假設。最終，建立GARCH、IGARCH模型及Risk Metrics模型，結合擾動項的三種分布假設，共建立GARCH-N、GARCH-t、GARCH-GED、IGARCH-N、IGARCH-t、IGARCH-GED、EWMA-N等七種模型，進行參數估計、預測評價和比對分析。模型估計結果（如表2所示）。

（四）模型預測能力評價

為準確評價上述模型的預測效果，按照預測誤差最小原則，進行模型預測能力評價。采用樣本內回測、樣本外靜態預測、樣本外滾動預測、樣本外迭代預測等四種方式，對7個模型進行預測能力評價與比較。

樣本內回測（Backtesting），就是用所估模型對樣本內數據進行擬合，得到條件方差的擬合值。樣本外靜態預測（Static Forecasting），就是用樣本內數據估計模型后，不再重估模型，用所估模型對樣本外數據進行預測，每次采用最新觀測數據向前預測一步，共估計1次、預測243次，得到樣本外數據的條件方差預測值。樣本外滾動預測（Rolling Forecasting），就是用樣本內數據作為初始訓練集，估計模型并向前預測下一個條件方差，對于樣本外數據，以后每次將樣本觀測窗口向樣本外移動一期、保持樣本容量不變，重估模型并進一步預測，共重估和預測243次，得到樣本外數據的條件方差預測值。樣本外迭代預測（Recursive Forecasting），與樣本外滾動預測的區別是，每次預測時觀測窗口為當日及之前全部數據，即樣本容量增加一個數據，共重估和預測243次，得到樣本外數據的條件方差預測值。

為做出準確判斷，使用平均絕對誤差MAE、均方根誤差RMSE、Theil不等系數TIC、偏差率BP等四項指標作為預測能力評價指標，越小表明預測值與觀測值之間的差異越小，預測精度越高。上述四種預測方式計算出條件方差的預測值后，與相應觀測值比較，分別計算出七種模型的預測評價指標。

結語

首先，從模型形式上看。總體上，對于樣本內回測，無論是依據傳統的似然函數、信息準則，還是評價指標，GARCH-GED是最優模型，尤其是BP指標幾乎為零，反映出波動率擬合的無偏性。這主要是由于GED相比正態、t分布能夠更好地刻畫厚尾特性。對于樣本外預測，無論采取靜態、滾動還是迭代的預測方式。總體上看，EWMA-N模型取得了最優的預測效果，主要是由于EWMA-N模型實質為漂移項為零的IGARCH模型，能更好刻畫波動沖擊的持續與衰減特性。樣本外最優預測模型與樣本內不同，這一現象說明，傳統的樣本內最優模型未必取得最優的預測效果，對GARCH族模型選擇過程中，應考慮樣本外預測，對模型形式進行適時調整。

其次，從預測方式上看。對七種模型而言，樣本外靜態預測均呈現較優的預測效果，而滾動、迭代預測效果并未明顯提高。主要原因是，滾動、迭代預測方式雖然逐日重估模型，但樣本內容量較大，導致樣本外重估并預測的效果并未明顯改善，也反映出滬深300指數的波動特性具有穩定性，若研究者進行短期的波動預測，采用靜態預測方式即可取得較好效果。

參考文獻：

[1]? Engle R. F.Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of UK inflation [J].Econometrica，1982，（50）：987-1008.

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[3]? R.F.Engle， T.Bollerslev.Modelling the persistence of conditional variances[J].Econometric Reviews， 1986，（1）：1-50.

[4]? Nelson D. B.Filtering，Forecasting with Misspecified ARCH Models I：Getting the Right Variance with the Wrong Model[J].Journal of Econometrics，1992，（4）：61-90.

[5]? LIU H. C.，HUNG J. C.Forecasting S&P-100 stock index volatility：the role of volatility asymmetry and distributional assumption in GARCH models[J].Expert Systems with Applications，2010，（7）：4928-4934.

[6]? 張路膠，趙華.中國股市波動率的非對稱性[J]統計與決策，2006，（20）：80-82.

[7]? 張術林，魏正紅.Risk Metrics模型評估與擴展[J].數學的實踐與認識，2009，（5）：34-41.

[8]? 方立兵，郭炳伸，曾勇.偏斜參數對GARCH族模型估計與預測績效的影響[J].統計研究，2014，（10）：106-112.

[9]? 吳俊，楊繼旺.上海銀行間同業拆放市場杠桿效應——基于GARCH族模型的比較研究[J].管理現代化，2015，（1）：4-6.

[10]? White， H.A reality check for data snooping[J].Econometrica，2000，（3）：1097-1126.