考慮不同索賠類型及可變年免賠額的最優獎懲系統

宋良有

摘要：在獎懲系統中加入免賠額會減少被保險人支付的保費，提高被保險人風險意識，也可以減少大量的小額賠款事件發生，節省管理費用。文章研究了具有不同索賠類型和可變年免賠額的獎懲系統下的分配問題，提出了一種具體的分配方案。最后通過數值例子，解釋了分配方案的可行性。

關鍵詞：獎懲系統;年免賠額;溢價;無差別原則

一、引言

在車險理賠中，通常使用獎懲系統（Bonus-Malus system，簡稱BMS），該系統劃分了不同的等級，由被保險人的歷史索賠數據來確定等級，并根據投保年內被保險人有無申請理賠，重新劃分被保險人等級，從而支付等級對應的保費。當被保險人在投保年內沒有申請理賠時，保險公司會給出一定的獎勵，并重新劃分等級，降低保費，直至最低保費限額;當被保險人在投保年內申請一次甚至幾次理賠時，保險公司會做出相應的處罰，仍重新劃分等級，并提高保費，直至最高保費限額。

該獎懲系統會有一些缺點。首先，被保險人的等級提升只考慮發生索賠的次數，這會使發生幾次小索賠而申報所受的懲罰高于一次高額索賠，這顯然是不利于穩定被保險人的續保。其次，因為申報理賠會有相應的懲罰，使得投保人對一些小額理賠不申報索賠，會影響保險公司的預算，一旦有幾次高額索賠，可能會導致保險公司虧損嚴重。此外，當保險等級過高，被保險人會逃避高保費，出現撤保情況，會引起保險公司的損失，并使得其他保險公司低估新被保險人的風險。

為了避免這些情況，可以在原有的獎懲系統上引入免賠額。Lemaire研究了汽車保險獎懲系統的初期模型，根據被保險人的特征給出分級模型，以及簡單的轉移規則，使汽車保險行業更有秩序性及有效性。由于傳統的獎懲系統有些不足的問題，Pitrebois等和孫景云等研究了帶免賠額的獎懲系統，使得被保險人的保費與道德意識聯系，從而進一步完善獎懲系統的機制。Denuit等和Pitrebois等研究了無差別原則，將增收保費部分轉化為免賠額，使被保險人提高安全意識。Ragulina，李義年和張永霞等利用馬爾可夫矩陣求出穩態概率，使等級轉移有規律可循。Norberg研究了溢價的表達式，求最小均方誤差形式得出溢價。Denuit等研究了次索賠和年索賠模式下的無差別原則以及混合分配形式。

本文考慮具有不同索賠類型和年度免賠額的獎懲系統，利用無差別原則、平穩概率和溢價求得年免配額的合理分配策略。

二、模型構建

本文采用Lemaire中關于BMS平均最優自留額分析的基本假設。假設有m+1個索賠類型，每種索賠都有對應的處罰，被保險人處于哪一種索賠類型由年索賠額S決定。將索賠額分成很多個小區間，定義（0，c]為索賠類型0，（c，c]為索賠類型1，...，（c，∞）為索賠類型m。假設一個獎懲系統有s+1個等級，從0級到s級，最高的等級有最高的保費，隨著等級的降低，保費也越來越少，且在0級時，被保險人擁有最低的保費。新的被保險人會有一個初始等級，每當一個無理賠年，被保險人的級別就降低，直至0級，同樣被保險人在一個投保年內申報一次甚至多次理賠，將會面臨懲罰，即提升等級，增收保費。

用N表示索賠數目，λ表示先驗年度期望索賠頻率，Θ表示未觀察到的剩余傾向，用表示組合保單的分布函數，故實際年索賠頻率為λΘ。假設N服從混合泊松分布，可得N的條件離散概率質量函數為Pr[N=K|Θ=θ]=（1）

為了不用多次考慮參數，可以用后驗分布來表示參數并消除條件。因此N的無條件概率質量函數為Pr[N=K]=Pr[N=K|Θ=θ]dF[θ]，k=0，1，2，…，記C1，C2，…，CN為一個理賠年中第k次損失額，因此總的索賠額為S=∑Ck。

其中，設損失額C1，C2，…，CN獨立同分布，并與索賠次數N獨立。被保險人的等級完全由被保險人的表現決定，而等級的升高更多是由被保險人申請的索賠次數決定，而不是索賠額的多少。為了使假設與實際接近，記C1，C2，…，CN與Θ也相互獨立。由分級模型，定義年索賠額在各索賠類型中的概率為q0=P[Sc]，因此每個年索賠額所落在的區間，會有一個對應的概率，可以看出∑qi=1，且每個qi>0。

本文假設在知道被保險人當前保費水平以及本年度索賠次數就可以推出下一保單年的等級水平。因此，獎懲系統可由Markov矩陣表示。由一步轉移矩陣得，穩態概率為πl=Pr[L=l]=πl（λθ;q）dF（θ），0≤l≤s，溢價為rl=。

在支付保費過程中，第級被保險人應交保費為λrlE[C]。當rl≤1時，他們支付的保費不會高于基礎保費λE[C]，故仍為λrlE[C]。當rl>1時，取s0=min{l;rl>1}，表示最小溢價，即在rl>1或s0≤l≤s時，引入轉移概率αl，使被保險人實際支付的保費等于（1-αl）λrlE[C]，剩下的部分用作添加免賠額的形式在下文給出，這里選取0≤αl≤1。本文只討論rl>1的情況。年免賠額分配模型如下：

λrlE[C]=λE[C]+E[S|S≤dl]Pr[S≤dl]+dlPr[S>dl]（2）

分配理念參見文獻，其中免賠額由dl表示，表示當溢價大于1時，被保險人支付的保費由基礎保費和自付的免賠額與對應概率的乘積組成。

為便于分析，需要給出如下幾點假設

假設1：不等式1≤（1-α）r≤（1-α+1）r+1≤…≤（1-αs）rs成立。

假設2：

1.對所有的l（s0≤l≤s） 0≤dl，0≤c，0≤dl，1≤c，0≤dl，2≤c，…，0≤dl，m≤c

2.對任意固定的l（s0≤l≤s） dl，0≤dl，1≤dl，2≤…≤dl，m

3.對任意固定的i（0≤i≤m） d≤d≤…≤ds，i

被保險人少支付的保費，由保險公司給每個索賠制定相應的免賠額，從索賠額中分離出來并等于dl，i，顯然dl，i的取值依賴于被保險人的等級和索賠類型i。

三、年可變免賠額的最優分配策略

對l級被保險人使用無差別原則，并在年免賠額分配模型的基礎上引入轉移概率，剩下的αlλrlE[C]通過添加免賠額的形式取代，其中在s0≤l≤s條件下，可寫為，

αlλrlE[C]=E[S|S≤dl，0]Pr[S≤dl，0]+dl，0（q0-Pr|S≤dl，0）+dl，1q1+…+dl，mqm（3）

定理（3）存在一個解，對所有的S0≤l≤s，結合假設1，有

αl≤min{1-，}（4）

其中? ?f（c，c，…，c）=E[S|S≤c]q0+cq1+…+cqm

考慮特殊情況，dl，i=0（s0≤l≤s-1）和0≤i≤m，級是最高免賠額對應的等級。為了滿足假設1，我們需要（1-αs）rs≥rs-1，得1-rs-1/rs，故可以選任意正的αs，例如，

αs≤min{1-，}（5）

選擇適當的ds，0，ds，1，…，ds，m，令（4）中的l=s，得

αsλrsE[C]=（E[S|S≤ds，0]Pr[S≤ds，0]+ds，0（q0-Pr[s≤ds，0]）+ds，1q1+…+ds，mqm）（6）

如果（5）嚴格，則（6）有無窮多個解，針對免賠額，我們考慮如下的分配方案：高額索賠嚴格處罰，小額索賠輕微處罰。

先驗證最高級處罰。首先，令ds，0=ds，1=…=ds，m-1=0，ds，m=c，并帶入（6），如果αsλrsE[C]>cqm，則免賠額可以分配為ds，0=ds，1=…=ds，m-1=0，ds，m=，否則αsλrsE[C]>cqm，也應處罰m-1型索賠，直到得到所有分配。只要等式（5）成立，分配就是可能的。

四、數值計算

設定一個索賠等級模型，給出4個等級，即0～3級;4個索賠類型，也是0～3類，其中每一類分別用q0，q1，q2，q3表示。如果投保年沒有申請索賠，則被保險人的等級就降一級。初始等級是0的被保險人發生一次索賠類型為0的索賠，則升1級;發生一次索賠類型1的索賠，則升2級;發生一次索賠類型2，3的索賠，則升3級。但發生2或3類型的索賠，有不同的免賠額。同樣，初始等級是1的被保險人發生一次索賠類型1的索賠，則升1級;發生一次索賠類型2或3的索賠，則升2級，最高3級，以此類推。

假設后驗分布函數為FΘ（θ）=1-e-θ，其中N服從泊松分布，索賠額服從參數為μ的指數分布的。由（4）得f（c，c，c）=E[S|S≤c]q0+cq1+cq2+cq3

例1：令λ=0.3，μ=1，c=1，c=2，c=4使用Matlab計算得q0=0.8903，q1=0.0635，q2=0.0381，q3=0.0081。類似的，πl，rl可求。

αs≤min{1-，}≈{1-，}≈min{0.2813，0.3237}=0.2813對應最高類型索賠的不同免賠額，調節，可得表1如下：

表1表示了調節dl，2的數額時，dl，3也隨著變化。展示了不論哪個等級，第2類型索賠額取不同值，很大程度影響了第3類型的免賠額。即假設2（3）成立。

前面選的αl比較小，則考慮較大的αl有表2如下：

表2把模型理念很好的表示出來，已知數值取值滿足假設1，2，高等級被保險人所支付的保費高，相應的免賠額也高，也符合實際。

五、結論

最初的車險獎懲系統是建立在由當前投保年申請索賠的次數決定下一個投保年的保費的基礎上，雖然會使汽車保險變得有秩序，但是隨著時間推移以及申報理賠原因越來越多，使得險種豐富，越來越體會出原有的獎懲系統并不是最完善的。國內外有一些學者研究了次索賠基礎上的免賠額問題，但在年度索賠問題也有很大的發展空間，一些集團和集體會以整體或是整年的形式去投保，這樣會節省處理時間以及每次理賠管理的費用，有一定的實用價值。

由舉例可以看出，對不同的轉移概率，免賠額會有不同的分配，我們的目的是選取適當的轉移概率使得獎懲系統仍有意義，高等級被保險人保費比低等級高的基礎上，完整分配免賠額，使得較高等級的被保險人都有一個對應的免賠額，提高被保險人自身的道德與安全意識。

參考文獻：

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[7]張永霞，孟生旺.我國商業車險獎懲系統研究[J].保險研究，2016（10）.

[8]Norberg， R. A credibility theory for automobile bonus system[J]. Scand. Actuar. 1976.

（作者單位：遼寧師范大學數學學院）