二齒差擺盤式活齒傳動的接觸力學

賀亞博，梁尚明，楊勇

(四川大學機械工程學院，四川成都，610065)

活齒傳動屬于行星齒輪傳動的一種特殊形式，具有結構緊湊、傳動比變化范圍大、承載能力強和適用范圍廣等突出特點，近些年與其相關的研究及應用越來越多。擺盤式活齒傳動作為一種新型活齒傳動，相較于原有的活齒傳動類型如具有代表性的擺動活齒傳動、擺桿活齒傳動等，其創新之處在于采用了軸向激波的形式，由此帶來徑向尺寸的大幅縮減，使其能夠適用于徑向空間較小的工作環境[1-3]。目前，對擺盤式活齒傳動的研究仍然較少，原因是其偏心擺盤所造成的力偶不平衡問題與載荷不平衡問題始終難以有效解決，導致其實用性特別是高速工作條件下的穩定性受到影響[4-7]。對于二齒差擺盤式活齒傳動，由于活齒與激波器及端齒輪之間均是以高副相聯接，傳動過程中各嚙合點處的受力較為集中，在高速重載的工作條件下容易產生局部的擠壓變形或疲勞磨損，影響系統的工作性能甚至使部分零件失效破壞，因此，必須予以重點關注。隨著工業技術的不斷發展以及活齒傳動的推廣應用，二齒差擺盤式活齒傳動必將面對更多復雜嚴苛的工況條件，故而對其接觸區域的強度分析具有十分重要的意義。因此，本文作者運用有限元分析方法和接觸力學的經典理論對傳動系統進行分析，得出各參數對接觸應力的影響和確定系統可能疲勞失效的危險區域。

1 二齒差擺盤式活齒傳動的接觸應力有限元分析

1.1 三維模型的建立及傳動原理

圖1所示為二齒差擺盤式活齒傳動的傳動原理圖。從圖1可以看出：活齒1，2，3 和4 與活齒5，6，7和8的運動狀態一一對應，完全相同，這是由二齒差活齒傳動的對稱激波特性決定的。在活齒1，2，3和4中，活齒1和2處于工作過程，活齒3和4處于復位過程，并且在活齒2恰好進入嚙合狀態的同時活齒4剛好嚙出。

圖1 二齒差擺盤式活齒傳動的傳動原理圖Fig.1 Transmission principle diagram of two-toothdifference oscillating-disc movable teeth transmission

圖2所示為二齒差擺盤式活齒傳動的三維模型。對于二齒差擺盤式活齒傳動這樣的對稱性傳動系統，在進行有限元分析時，完全可以對其進行拆分，忽略對稱重復的部分，以此大幅節省運算資源。由于處于復位過程的活齒接觸應力較小，因此，完全可以只取處于工作過程的活齒1和2所在的1/4扇形區域部分進行研究。

為了能夠分別觀察活齒1及活齒2與激波器及端齒輪的接觸狀態，將激波器、端齒輪及活齒架拆分成多實體組件。組件中的各個實體在劃分網格及計算時均被視作整體，而在提取結果時又相互獨立，可以分別觀察。完成分割后的狀態如圖3所示。其中活齒1位于左側，已經嚙入并完成一半的工作過程，活齒2 位于右側，處于剛剛嚙入的位置。

圖3 二齒差擺盤式活齒傳動的簡化模型Fig.3 Simplified model of two-tooth-difference oscillating-disc movable teeth transmission

1.2 材料屬性的設置

本文將所有零件的材料均選為軸承鋼GCr15，其物理參數見表1。

表1 GCr15的物理參數Table 1 Physical parameters of GCr15

1.3 網格的劃分

在有限元分析中，網格尺寸會直接影響求解精度。通常情況下，網格劃分越細，所求結果越接近真實值，但運算量和求解時間會相應增大[8]。由于在接觸力學研究中，接觸點附近區域的受力情況才具有分析價值，因此，網格的劃分完全可以采用整體粗分而對關鍵位置細化加密的方式，以期在達到求解精度的同時盡可能節省求解時間。

綜合以上分析，對二齒差擺盤式活齒傳動模型的網格劃分方式如下：

激波器、端齒輪及活齒采用四面體網格劃分算法，活齒架采用六面體網格劃分算法。

最終模型的網格劃分如圖4所示。從圖4可以看出：網格劃分效果與設計預期較為符合，粗中有細，重點突出，且網格之間過渡平緩。

1.4 仿真環境的設置

根據二齒差擺盤式活齒傳動的實際工作狀況，參考同類活齒傳動的載荷數據[9]，并結合模型尺寸，施加如下邊界條件：

圖4 網格劃分細節圖Fig.4 Grid detailing

對活齒架外圈施加固定約束，約束其上節點的所有自由度，模擬活齒架與機架的固定聯接。

對端齒輪內孔施加固定約束，模擬輸出軸被鎖死的狀態。

對激波器內孔施加柱面約束，并將旋轉自由度打開，僅約束軸向位移及徑向位移的自由度，使激波器能夠自由旋轉以傳遞轉矩。

對端齒輪及激波器的外端面施加無摩擦約束，約束其軸向位移的自由度，模擬推力軸承的支撐。

對1/4圈激波器內孔施加10 kN?mm的轉矩。

對于非線性問題的求解，通常還應將大變形選項打開。打開大變形后，求解器在迭代計算時每一子步均會根據前一子步的模型尺寸構造剛度矩陣，然后進行求解計算，即剛度矩陣會隨著求解的進行不斷更新，這樣計算出的結果更加接近真實值。

1.5 計算結果的分析

計算完成后，可根據分析的需要對各個實體分別提取不同的計算結果。Von Mises 等效應力綜合考慮了各獨立的正應力與切應力的共同影響，具有比較大的參考意義，因此對活齒1、活齒2 以及與二者相接觸的所有子實體(暫命名為激波器1、激波器2、端齒輪1、端齒輪2、活齒架1、活齒架2)分別提取等效應力的計算結果，部分零件的應力云圖見圖5。

從圖5可以看出：各個零件的應力分布狀態基本符合預期，主要集中在接觸點附近的微小橢圓區域內，由此可以證實前文采用的網格劃分方法是準確而高效的。不難發現，相對于其他零件，活齒架1的接觸應力較小，僅為27.457 MPa；接觸應力最大值出現在活齒1與激波器1的接觸點，達到728.27 MPa。

在有限元分析中，若要確保計算結果的準確，需要不斷細化網格直至計算結果收斂于一個定值，實際應用中通常在2次計算結果的相對變化率足夠小時(常取為5%)即認為該結果已收斂。

本文通過對接觸區域進一步添加網格細化的方式，不斷提高網格細化等級，直至各計算結果均收斂，收斂過程見表2，最終細化等級為3 時接觸區域網格截面效果如圖6所示。

對比觀察不難發現：激波器、端齒輪與活齒架的應力在網格細化后均有明顯增幅，而活齒的應力則基本不變。可見對于接觸問題，不同區域、不同接觸狀態均可能影響接觸應力的分布狀況與集中程度，進而導致實際所需的網格精度并不相同。由此說明網格的細化與結果的收斂對于精確求解關鍵位置的應力是十分必要的。

以上分析均是針對各零件處于當前特定的接觸狀態而言的。實際工作中，各零件的接觸狀態是不斷變化的，這將導致各零件的接觸應力也發生相應改變。因此，有必要對活齒工作過程中的多個相位予以分別建模求解，以掌握各個零件在動態工作過程中的應力變化情況。

2 活齒相位對接觸應力的影響

圖5 各零件接觸應力云圖Fig.5 Contact stress cloud diagram of each part

表2 各零件的應力收斂過程Table 2 Stress convergence process of each part MPa

圖6 接觸區域的網格細化效果圖Fig.6 Grid refinement effect of contact area

在上述二齒差擺盤式活齒傳動簡化模型中，將活齒恰好嚙入時的相位設為0 rad(即φ=0 rad)，則在相位由0～π rad 的變化過程中，活齒恰好完成整個工作過程，而激波器和端齒輪轉過的角度分別為90°和18°。現將這一過程12 等分，依舊采用前文所述方法對處于不同活齒相位時的系統進行建模計算。通過在Pro/E中對裝配體直接進行調整與剪切，可以快速建立上述各模型。又由于活齒1與活齒2的相位差恰好為π/2 rad，求解一次即可得到2個結果，因此，實際上只需對前7個相位進行建模計算，這大大減少了計算工作量。記錄所有零件在各相位的接觸應力，通過Origin的曲線擬合功能繪制如圖7所示。

圖7 接觸應力隨活齒相位變化圖Fig.7 Contact stress versus active tooth phase change

從圖7可以看出：在活齒的一個完整工作過程中，活齒架的應力相對其他零件始終較小；各零件的最大應力隨活齒相位而變化的總體趨勢都是先增大后減小，最大值均出現在φ=π/2 rad 處，這與先前學者關于其他類型活齒傳動的研究結果較為一致[10-11]。

以上工作對二齒差擺盤式活齒傳動系統在傳動過程中各零件的接觸應力的變化情況進行了初步探究，并總結出一套具有針對性的快速有效的有限元分析方法(局部的網格細化、模型的對稱性簡化、利用組件功能一求多解)，這使得后文中大量的有限元計算成為可能。

3 參數對接觸應力的影響

由Hertz 理論可知：在材料不變的情況下，影響接觸應力的主要因素是接觸點的法向載荷與主曲率。對于活齒傳動系統，在傳遞轉矩不變的情況下，法向載荷與主曲率均由齒面形狀決定。考慮到參數R與i對系統的影響較大(分度圓半徑R決定系統的徑向尺寸，i為傳動比)，兩者在實際工況中通常為提前設計好的恒定值，調整空間有限。溝曲率半徑系數f是軸承設計中的重要參數，定義為滾道曲率半徑與滾動體直徑的比值，表征著滾動體與滾道接觸的密合程度，通常的取值范圍為0.51～0.56[12-14]。在二齒差擺盤式活齒傳動中，參數f對端齒輪及激波器的空間結構有較大影響，在設計時具有一定的參考價值。

綜上所述，本文采用控制變量法逐一分析參數活齒振幅A、活齒半徑r、溝曲率半徑系數f對二齒差擺盤式活齒傳動中各零件接觸應力的影響。由于活齒架在傳動過程中的接觸應力始終較小，故后文中不再予以討論。

3.1 活齒振幅對接觸應力的影響

圖8所示為活齒振幅A對二齒差擺盤式活齒傳動中各零件在整個傳動過程中的接觸應力的影響。從圖8可知：圖8中各圖線相互交叉的情況較多，說明A對接觸應力的影響較為復雜。歸納后發現如下特點：在圖像中部區域即φ=π/2 rad附近，A與各零件的接觸應力基本呈負相關；在圖線接近兩端的過程中，A對接觸應力的影響逐漸下降，表現為圖線收攏直至相交；在圖像兩端，A與各零件的應力關系并不相同，在φ=0 rad 處與激波器呈負相關而與端齒輪及活齒呈正相關，在φ=π rad 處與端齒輪呈負相關而與激波器及活齒呈正相關。

分析原因是：A在不同相位對接觸應力的影響機理不同。在φ=π/2 rad附近區域，A對激波器及端齒輪在接觸點附近的導槽斜率有較大影響，而對接觸點的主曲率則影響較小，故前者可能是影響接觸應力的主要因素。在φ=0 rad 及φ=π rad 附近，A對接觸點處導槽斜率的影響較小，對主曲率則有較大影響，致使后者成為影響接觸應力的主要因素。

3.2 活齒半徑對接觸應力的影響

圖9所示為活齒半徑r對二齒差擺盤式活齒傳動中各零件在整個傳動過程中的接觸應力的影響。從圖9可知：圖9中各圖線沒有出現相互交叉的情況，說明r對接觸應力的影響情況比較簡單。不難看出：各零件在不同相位時的接觸應力均與r呈負相關。

分析原因是：活齒半徑r的變化改變了接觸點附近活齒一側的主曲率，使之成為影響接觸應力的主要因素。

3.3 溝曲率半徑系數對接觸應力的影響

圖10所示為溝曲率半徑系數f對二齒差擺盤式活齒傳動中各零件在整個傳動過程中的接觸應力的影響。

圖9 r對各零件接觸應力的影響Fig.9 Effect of r on contact stress of each part

圖10 f對各零件接觸應力的影響Fig.10 Effect of f on contact stress of each part

與活齒半徑r相似，溝曲率半徑系數f對各零件的接觸應力的影響情況也比較簡單，圖10中各圖線之間同樣沒有出現交叉。與r不同的是，f與各零件在不同相位的接觸應力均呈正相關。

分析原因是：溝曲率半徑系數f的變化改變了接觸點處導槽一側的主曲率，使之成為影響接觸應力的主要因素。

4 二齒差擺盤式活齒傳動的接觸疲勞分析

查閱相關資料可知[15]，軸承鋼GCr15經淬火加回火處理后的屈服強度可達1 665～1 815 MPa，遠大于前文所得結果。并且，發生塑性變形并不代表結構破壞失效。對于接觸面積較小的球體、圓柱等曲面接觸，在實際工作中，接觸部位一旦受壓，即會發生塑性變形，使接觸面積增大，接觸應力迅速降低，塑性區不會擴大，整個結構仍能正常工作。

在循環接觸條件下工作的零件的失效形式通常是接觸表面的疲勞破壞。由于接觸應力的循環作用，使材料次表面發生反復切向滑移，導致初始疲勞裂紋的產生，并逐步擴展到表面，最后形成片狀剝落，即疲勞點蝕。點蝕會降低零件傳遞載荷的能力，引起振動和噪聲。因此，有必要對次表面的應力分布及系統的接觸疲勞強度做進一步分析討論。

關于應力對接觸疲勞的影響，通常認為：次表面下材料的塑性變形與最大切應力有關，而疲勞裂紋的發生和擴展則是由交變切應力所導致[16]。

考慮到在二齒差擺盤式活齒傳動系統的傳動過程中，球形活齒是不斷滾動自旋的，在活齒的每個工作過程中其受載最大的區域是不斷變化的，在不發生過載壓潰的情況下，其疲勞強度顯然比危險區域固定不變的激波器和端齒輪的大。因此，后文僅以激波器和端齒輪為分析對象，研究其接觸表面以下的各應力分布狀態。

4.1 次表面應力分布狀態

圖11所示為激波器與端齒輪的等效應力的截面圖(φ=π/2 rad)，截面垂直于激波器轉動的切線方向。從圖11可以看出：等效應力最大值均出現在接觸表面以下；在次表面深度為0.2～0.4 mm 的范圍，沿著與運動方向相垂直的方向形成了一道狹長的弧形應力集中區域。

等效應力遵循材料力學第四強度理論，該理論認為當物體內某一點的等效應力達到某一定值時，該點即進入塑性狀態。從等效應力的分布可以直觀地找到各零件易發生破壞的危險區域。

圖12所示為激波器與端齒輪的最大切應力的截面圖，截面平行于激波器轉動的切線方向。從圖12可以看出：最大切應力同樣分布于接觸點下方，分布深度與等效應力基本相同，位于0.2～0.4 mm的范圍。

圖11 等效應力截面圖Fig.11 Equivalent stress section

材料力學第三強度理論認為最大切應力是導致材料屈服的主要因素。因此，在最大切應力較大的位置需要特別關注材料可能發生的塑性變形，而次表面的塑性變形導致的材料切向滑移是引發初始疲勞裂紋的重要因素。

不同方向的切應力對接觸疲勞均有影響，其中沿滾道周向的切應力影響最大[17-18]。圖13所示為激波器與端齒輪在接觸點處的切應力截面圖，截面平行于激波器轉動的切線方向，可見切應力在接觸點下方沿運動方向呈正負交替分布。

在二齒差擺盤式活齒傳動循環接觸的傳動過程中，正負交替變化的切應力反復作用于端齒輪和激波器的導槽次表面，最終導致疲勞裂紋的不斷擴展直至形成點蝕。

4.2 疲勞壽命分析

在二齒差擺盤式活齒傳動中，激波器與端齒輪的接觸應力最大值十分接近，在正常工作條件下，兩者應當具有相近的疲勞強度。但由于傳動比的存在，兩零件的工作頻率并不相同，這將可能導致工作頻率高的零件成為系統中疲勞失效的危險區域。因此，有必要對兩零件共同工作時各自的疲勞壽命進行計算，從而對系統疲勞失效的危險區域進行預先判斷。

圖12 最大切應力截面圖Fig.12 Maximum shear stress section

圖13 切應力截面圖Fig.13 Cut stress section

Workbench 中的Fatigue 模塊提供一種快速的疲勞分析方法，該模塊對諸如平均應力、載荷條件及疲勞強度的縮減等影響疲勞壽命的因子予以綜合考慮，采用線性累積損傷理論進行疲勞壽命的計算。

定義疲勞強度因子為0.8，考慮到零件在工作時的受力狀況，定義載荷類型為脈動循環變載荷，進行求解。所得結果為以循環次數為單位的疲勞壽命：端齒輪為6.419 6×1011r，激波器為6.768×1011r。

上述結果為零件的每一處危險區域(即φ=π/2 rad時與活齒的接觸點)在當前仿真條件下所能達到的循環次數。由于活齒數為8，端齒輪及激波器每旋轉1周，各危險區域均經過8次循環，再考慮到傳動比為5，端齒輪每旋轉1 周，激波器對應旋轉5周。因此，若以傳動系統的輸入軸轉數作為疲勞壽命單位，經換算后可得端齒輪為4.012 2×1011r，激波器為8.46×1010r。

可見，換算后的激波器的疲勞壽命比端齒輪的小，說明在實際工作過程中，激波器因為轉速較大，更容易發生疲勞破壞而導致系統整體失效，故而可以考慮為激波器選用強度更高的材料，以延長傳動系統的使用壽命。又由前面分析可知，接觸表面以下深度為0.2～0.4 mm 的范圍是初始疲勞裂紋產生的危險區域，因此還可以考慮對導槽進行表面強化處理，通過調整工藝參數得到適宜的硬化層深度和硬度，以提高零件的接觸疲勞強度。

5 結論

1)依據二齒差活齒傳動的對稱性原理對系統模型進行了簡化，通過ANSYS Workbench 運用有限元分析方法求解了各零件在接觸點附近的等效應力。各零件的應力均集中在接觸點附近的微小區域內，分布狀態符合預期，屬于典型的接觸問題，同時驗證了差異化網格劃分的合理性。

2)對于二齒差擺盤式活齒傳動，在活齒的一個完整的動態工作過程之中，各零件的接觸應力整體呈現先增大后減小的趨勢，并在活齒相位φ=π/2 rad 時達到最大，其中活齒架的應力始終較小。在以上分析與計算過程中總結出一套針對活齒傳動的快速有效的有限元分析方法，具體可概括為：局部的網格細化、模型的對稱性簡化、利用組件功能一求多解。

3)各參數對接觸應力的影響情況不同，其中活齒振幅的影響較為復雜需要分段討論，而活齒半徑及溝曲率半徑系數的影響則相對簡單。若僅考慮各零件的接觸應力最大值，則三者的影響較為明確，即振幅增大、活齒半徑增大、溝曲率半徑系數減小均會導致接觸應力最大值的減小，反之亦然。

4)在靜強度校核的基礎上，應用接觸力學的各經典理論，研究了接觸點次表面不同類型應力的分布狀態，并對系統進行了疲勞分析，計算了系統的接觸疲勞壽命并確定了系統疲勞失效的危險區域。系統在10 kN?mm的負載下不會發生靜強度失效，其疲勞壽命若以輸入軸轉數計則為8.46×1010r，其中激波器由于轉速較高，將最先發生失效，而接觸表面以下深度為0.2～0.4 mm 是初始疲勞裂紋產生的危險區域。