改進的鯨魚優化算法及其在燒結配料中的應用

伍鐵斌，朱紅求，龍文，李勇剛，劉云連

(1.湖南人文科技學院能源與機電工程學院，湖南婁底，417000；2.中南大學自動化學院，湖南長沙，410083；3.貴州財經大學貴州省經濟系統仿真重點實驗室，貴州貴陽，550025)

智能優化算法不需要目標函數具有連續的偏導數，具有穩定性強、能求解多極值問題、全局尋優能力較強等優點，在工業生產過程等得到了廣泛應用[1-5]，典型智能算法主要有PSO[6]，ABC[7]，CS[8]，BA[9]，GWO[10]，GA[11]和 WOA[12]等。MIRJALILI 等[12]提出的鯨魚優化算法(whale optimization algorithm,WOA)是通過模擬鯨魚群體捕食獵物的過程提出的，具有原理簡單、易于實現等優點，求解精度比PSO 的高。鯨魚算法已經在電力無功功率的優化[13]和配電網的電容器選址[14]等工程領域得到應用，但WOA與其他智能算法一樣存在易早熟的缺點。劉浩然等[15]提出了一種基于交叉變異算子和動態參數調整策略的WOA 算法。褚鼎立等[16]將模擬退火思想引入WOA 算法，并同時采用自適應權重的方法，兼顧了全局尋優能力和局部尋優能力。鄭威迪等[17]用萊維飛行方法代替了原始WOA 的參數隨機選擇方法，加快了WOA算法的收斂速度。許瑜飛等[18]采用對立算子產生初始種群，使用精英反向學習策略提高了全局搜索能力，并結合差分進化進行變異修正，提高了算法的局部尋優能力，利用實際工程中的渣油加氫參數優化問題驗證了算法的有效性。針對鯨魚算法存在的問題，本文設計一種改進的鯨魚算法(improved whale optimization algorithm,IWOA)，基于指數函數的收斂因子平衡算法探索與開發能力，采用旋轉因子提高局部尋優能力，并引入自適應變異操作以減少算法陷入局部最優的概率；通過標準測試函數驗證改進的鯨魚算法的有效性，并將其應用于燒結配料過程。

1 鯨魚算法

基于鯨魚獨特的泡泡網覓食行為，MIRJALILI等[12]于2016年提出了鯨魚優化算法(WOA)。在該算法中，假設鯨魚種群規模為N，搜索空間為d維，第i只鯨魚在d維空間中的位置可表示為Xi=(x1i,x2i,…,xdi)，其中，i=1,2,…,N。獵物的位置對應于問題的解。

在WOA算法中，假設當前群體中的最優位置為獵物，群體中其他鯨魚個體都向獵物靠近以更新自己的位置。利用下式更新位置：

式中：t為當前迭代次數；Xp=(x1p,x2p,…,xdp)，為獵物位置，

式中：r1和r2為[0,1]之間的隨機數；a為線性遞減的收斂因子；k為當前迭代次數；kmax為最大迭代次數。

在WOA算法中，模擬鯨魚螺旋式運動以捕獲獵物的特點，設計了螺旋更新位置的方法，其數學模型為

式中：D′=|Xp(t)-X(t)|，為第i只鯨魚和獵物間的距離；b為限定螺旋形狀的常數；隨機數l∈[-1,1]。鯨魚不僅在獵物收縮圈周圍游來游去，而且沿著螺旋形路徑進行游弋。

除了泡泡網捕食行為外，鯨魚也可以自由尋找食物，即根據彼此位置進行隨機搜索，如下式所示：

式中：Xrand為從當前群體中隨機選取的鯨魚個體位置向量。

2 改進鯨魚優化算法

2.1 基于指數函數的收斂因子

群體算法的全局探索能力與局部開發能力一樣重要，必須平衡好全局探索能力與局部開發能力，收斂因子a越大，算法的探索能力越強，但不利于算法收斂；反之，則開發能力越強，同時也更容易早熟。在基本的WOA 算法中，收斂因子a隨迭代次數從2 線性減小到0，特別是在求解多峰函數時，容易陷入局部最優。為此，提出一種基于指數函數的隨著進化迭代次數呈非線性變化的收斂因子，在前期強調全局尋優能力的同時，在后期兼顧局部尋優，a的更新公式為

式中：λ為非線性調節系數(1＜λ≤3)；e 為自然常數；t為當前迭代次數；tmax為最大迭代次數。

2.2 基于旋轉操作的精英學習方法

原始的鯨魚算法具備一定的局部尋優能力，但在局部精細搜索上存在不足。為提高算法的局部尋優能力，引入一種基于旋轉操作[9]的精英學習方法。本文選取精英比例δ較大的個體(15%＜δ＜40%)進行局部細搜索，如下式所示：

式中：R為[-1,1]之間服從均勻分布的隨機向量(1×d維)；R?X(t)表示隨機向量R與X(t)的點乘；β為旋轉算子，為正數，

βmax為β的最大值(0.1≤βmax≤1)；ω為收縮系數(1＜ω≤2)；ε為很小的數(10-10＜ε＜10-3)。在算法進化過程中，每進化1 代，則β除以調節系數ω，直到β小于ε時，重新給β賦值為βmax。

該旋轉操作在以某一個個體為中心、β為半徑的超球面內進行隨機細搜索。β是動態變化的，因此，算法能在δ較大的個體周圍進行多層次、小范圍搜索，能有效提高尋找到次優解附近最優解的概率。

2.3 自適應變異操作

與其他群體算法一樣，鯨魚算法在進化后期容易陷入局部最優，且缺乏跳出局部最優的操作。因此，本文設計一種自適應變異操作算子，變異概率pm隨著種群多樣性的變差而增大，使得算法在進化后期能有效跳出局部最優。變異概率為

(1)地表出露的斑巖為以巖脈、巖株形式產出并侵入香夼組地層以及南部的南莊組地層，并具有大致順層的特征。另外，隱爆角礫巖多位于淺成—超淺成中酸性斑巖體頂部[13]，Wolfe[21]認為形成隱爆角礫巖的淺成—超淺成斑巖體往往是與深部大隱伏巖體相連的沿著軟弱帶向上侵入的小巖株，推測深部存在較大的隱伏巖體，巖脈、巖株向下匯聚為花崗閃長斑巖體。

式中：p0為變異概率的初始值(0.05＜p0≤0.15)；η為增幅系數；ζ為陷入局部最優解的診斷系數，若可能陷入局部最優，則ζ=1；若沒有陷入局部最優，則ζ=0.5。

將所有解對應的適應度f按從大到小排序，fmin為最小適應度(fmin對應的解作為當前最優解)；然后，選取適應度較小的61.8%(黃金比例)部分，假設該部分適應度的平均值為fGR_mean，ρ1/100和ρ2/100為群體多樣性診斷參數(滿足0＜ρ1/100＜ρ2/100＜10/100，ρ1和ρ2為(0,10)之間的常數)。當fmin=0 時，η取0.3。顯然，|越小，則解的多樣性越差，因此，需要取更大的變異概率，以便有效跳出局部最優。

式中：k為當前迭代的代數(當k＜3時，ζ取1)。當連續3代的最優解沒有改善(即連續3代的最優解相同)時，極有可能陷入了局部最優，因此，需要取較大的變異概率以便跳出局部最優，此時，ζ取值為1。

2.4 改進的鯨魚算法步驟

本文提出的改進的鯨魚算法(簡稱IWOA)流程圖如圖1所示。

3 數值實驗及比較

3.1 測試函數及性能指標

為了驗證本文提出的IWOA 算法的性能，選取10 個具有代表性的標準函數進行測試。10 個標準測試函數如表1所示，其中，F1～F4為維數可變的單峰函數，F5～F8為維數可變的多峰函數，F9和F10為固定維數的多峰函數，fmin為理論最優值。

3.2 實驗結果

將本文提出的IWOA 算法與基本WOA 算法[12]、基本PSO 算法[6]進行比較，為公平比較，取這3 種算法的種群規模均為30，最大的迭代次數tmax均為500次。在IWOA算法中，收斂因子中的非線性調節系數λ=1.5，旋轉系數βmax=0.5，收縮系數ω=1.2，精英比例δ=25%，變異概率中p0=0.1，增幅參數η初始值為0.15。這3 種算法在上述參數下獨立運行20 次，記錄最優值和平均值。這3 種算法對各測試函數的尋優收斂曲線(隨機選取某一次)如圖2所示。從圖2可知：IWOA 收斂速度明顯比其他2種算法的高，尋優精度也較高。表2所示為PSO[6]、灰狼優化算法(GWO)[20]、WOA[12]和本文的IWOA 這4 種算法獨立尋優20 次的統計結果，其中，GWO的平均值為文獻[20]中的仿真結果(文獻[20]中函數F1～F8的變量取30維)。

圖1 改進的鯨魚算法流程圖Fig.1 Flow chart of improved whale algorithm

表1 測試函數Table 1 Test functions

表2 IWOA，WOA，PSO和GWO算法對10個測試函數的尋優結果比較Table 2 Comparison of IWOA,WOA,PSO and GWO algorithms for 10 test functions

4 IWOA 算法在鋼鐵燒結配料中的應用

燒結過程是我國鋼鐵冶煉的關鍵工序，對保障高爐煉鐵極其重要；貧鐵礦或鐵精礦粉必須經過燒結成塊，才能進入高爐冶煉。煉鐵燒結過程主要由一次配料、二次配料和燒結熱過程這3個級聯工序組成。一次配料為燒結前的關鍵工序，是將多種化學組分不一樣的鐵礦石粉混合在一起形成鐵礦石中和粉，決定了燒結塊的化學成分[21]。通過配料過程既降低成本，同時將有害的化學成分控制在一個合理的區間內。

圖2 基法IWOA、基本WOA和基本PSO對10個標準測試函數的尋優曲線Fig.2 Optimization curves of 10 standard test functions based on IWOA,basic WOA and PSO

4.1 燒結配料數學模型

由于不同的鐵礦石化學成分和價格都不一樣，不同的配比導致價格差異非常大。某鋼鐵企業的7種鐵礦原料中TFe，P，S，Al2O3，SiO2和MgO 的質量分數(分別用p1，p2，p3，p4，p5和p6表示)和價格如表3所示。

表3 鐵礦粉的化學成分（質量分數)與價格Table 3 Chemical composition(mass fraction)and price of iron ore powder

4.1.1 目標函數

配料的目的是要提高燒結礦的質量和降低成本，因此，建立以經濟成本最小為原則的目標函數。

式中：k為參與配料的礦的種類；ck為每種礦的單價(元/t)；xk為每種礦的用量(xk≥0)。

4.1.2 混合礦中TFe約束條件

4.1.3 混合礦中磷（P）和硫（S）的約束條件

4.1.4 混合礦中Al2O3，SiO2和MgO的約束條件

4.2 模型求解

采用本文提出的IWOA 求解該配料問題，并與標準PSO 算法、基本WOA 算法進行對比(都采用Deb 準則處理約束)，結果如表4和表5所示。從表4和表5可知：假設某企業每年配料為100 萬t，在滿足各約束的條件下，采用IWOA 算法與采用標準粒子群算法、GWO 算法和WOA 算法相比，每年分別可以節約632.76 萬元、227.77 萬元和400.77萬元，取得了顯著的經濟效益。本算法有效地解決了鋼鐵冶煉過程中的燒結配料優化問題，由于其他冶金領域的配料問題與鋼鐵燒結過程的配料問題具有相似性，因此，本算法也適用于解決其他冶金領域的配料問題。

表4 不同算法優化計算的最佳礦比及成本價的對比Table 4 Comparison of the best ore ratio and product cost resulting from different algorithms %

表5 采用不同算法優化得到的混合料中各元素質量分數Table 5 Mass fraction of some elements of mixed material obtained by different algorithms %

5 結論

1) 鯨魚優化算法(WOA)是一種模擬鯨魚捕食行為的新型智能算法，針對基本鯨魚優化算法的不足，提出一種改進的鯨魚優化算法(IWOA)。

2)利用10 個標準測試函數驗證了IWOA 具有收斂速度快、全局尋優能力強的優點。將IWOA應用于鋼鐵燒結配料過程，仿真結果表明IWOA能有效降低配料過程的成本。