考慮變形硬化的管道塑性彎曲屈曲臨界應變預測

鄭茂盛，劉姣姣，王 怡，魏利平，滕海鵬，胡 軍

（西北大學 化工學院載能技術及應用研究所，西安710069）

1 概 述

管道彎曲過程中總是伴隨著屈曲問題，在復雜環境中服役的管道，尤其是在地質災害情況下屈曲更是難以避免。通常，可以采用屈曲管道彎曲來界定管道彎曲的失效。在彎曲過程中，管道橫截面的形狀逐漸從圓形演變為橢圓形。當管道的彎曲和橫截面形狀的變化超過一定值時，彎曲管道的載荷或力矩不再增加，甚至突然減小，這就是彎曲管道的屈曲失效。

早在1927年，Brazier[1]就提出了一種解決管道彎曲時發生屈曲的彈性方案，并且將在極限點處的彎矩和臨界狀態相關聯。他的研究工作表明，當直管經歷均勻彎曲時，管道中會產生縱向拉伸和壓縮應變，它們將抵抗外加彎矩，同時隨著彎曲曲率的增加，管道的橫截面趨于橢圓化或扁平化，這反過來又會降低管道的彎曲剛度。Brazier認為，管道的抗彎剛度具有一個最大值，將其定義為管道不穩定的臨界力矩，即MBR=0.987Et2r/（1-υ2）1/2， 其中r和t分別是管道橫截面半徑和壁厚；E和υ分別是管材的楊氏模量和泊松比。

此后，許多研究人員通過理論分析或試驗進行了大量的管道彎曲的不穩定性分析[2-11]。尤其是近年來，隨著管道的安全性和納米管性能的研究引起了人們的關注，在圓管彎曲穩定性分析方面又做了大量的相關工作。

對于埋地管道，管道彎曲會伴隨屈曲問題，管道屈曲現象可能引起變形和應變，甚至導致基于強度的管道設計失效。因此，管道在彎曲時應變的臨界值應該作為管道設計的指標之一[12-15]。然而，屈曲的臨界應變的評估仍是一個尚未完全解決的問題。雖然經典的解析解具有明確的物理意義，但由于其彈性特征，其預測值遠離試驗結果，其他的回歸或擬合公式則缺乏物理意義或不盡合理。這種情況表明，屈曲時彎曲管臨界應變的預測仍然是一個重要而未解的問題[13-14]。

此外，管道在彎曲過程中也伴隨著起皺問題[16-17]。Guarracino[16]指出，管道的壓縮側起伏的增多會對彎管的整體響應產生軟化作用。Lamam等[17]試驗研究了321不銹鋼管在組合彎曲和內壓下的非彈性起皺和坍塌，其D0/t約為52，其中D0和t分別是鋼管的橫截面直徑和壁厚。他們的研究結果表明，力矩與彎曲曲率之間的響應曲線（M－k）的特點是：在初始線性彈性狀態，管道截面經歷少量的橢圓化，然后進入非彈性階段。而且由于非彈性作用，彈性狀態會平滑地緩變下來。平滑緩變后的曲線進入近似線性的 “硬化”狀態，并且可以持續到較高的彎曲曲率處。相應的直徑變化量ΔD的增加表明橢圓化的過程伴隨著管道周向的塑性凈膨脹。在M－k曲線進入平滑緩變狀態之后不久，在管道的壓縮側就能觀察到小幅度皺紋的隆起。在零內壓條件下，在管道的壓縮側的皺紋出現以后，很快就會有一個鼓包的局域化現象，導致局部向內彎曲。然后，就會呈現M－k曲線的急劇下降，這是一個突發事件。相應地，此時就出現了一個最大的力矩。這意味著管道的極限承載能力和屈曲可以通過彎曲時M－k曲線的響應來表征[17]。

在管道存在內部壓力的情況下，平滑緩變后的M－k響應會變得較硬一些，但是也會遵循線性 “硬化”路徑，該路徑會高于無內壓的純彎曲的曲線[17]。即使在較低的內部壓力條件下，也會延遲橢圓化。例如，在非零內壓力情況下，P/P0=0.467，P0=2σ0t/D0（σ0為屈服管的強度），皺紋起初是相對良性的，它們幾乎是不可見的，并且其振幅也隨曲率非常緩慢地增長。當曲率達到約4k1（k1=t/D02）時，大部分的壓縮側會起皺，并且皺紋的幅度開始變得更快，并且通過肉眼清晰可見。最終，其中一個皺紋以向外凸起的方式局域化。這種向外凸起的皺紋導致M－k響應曲線的力矩突然下降，表明結構已經開始坍塌。管道的屈曲點就界定在最大力矩所對應的曲率處。隨著內壓的增加，平滑緩變后的M－k曲線的響應保持大致相同的斜率，但隨著壓力增大而逐漸向后移動。零內壓情況下的M－k曲線在屈服后的斜率與有內壓的情況不同，因為導致鋼管截面的橢圓化現象較為顯著[17]。

總之，彎曲管的極限承載能力可以通過屈曲時的M－k曲線的響應來表征，管道的屈曲點界定在最大力矩所對應的曲率處。

2 評估管道彎曲臨界屈曲應變的典型方法

2.1 彈性解方案 （經典彈性解）

圓形殼的Donnell方程的經典彈性解是

式中：R——圓形殼的半徑；

t——圓形殼的壁厚；

E——圓形殼的彈性模量；

υ— 泊松比；

σcr— 圓形殼沿其軸向的均勻應力。

對于鋼，泊松比υ=0.3，公式 （1）變為

相應的應變是

對于彎曲的圓形殼體，假設橫截面保持圓形并且壓縮應力等于相應軸向壓縮下管道的經典屈曲的應力水平，可以得到與公式 （3）相同的結果。然而，臨界應變試驗數據顯示，公式 （3）明顯高估了測試結果[18]。

2.2 臨界應變其他表達方式

近年來，人們也提出了一些其他方法來預測彎曲管道屈曲時的臨界應變，例如

Sherman（1976）： εc=16（t/D）2；

Stephens（1991）： εc=2.42（t/D）1.59；

Vitali（1999）：εc=（t/D-0.01）（1+5σk/σy）（σb/σy）1.5；

回歸法：

但與試驗結果對比表明，這些公式的預測結果不盡合理[18]。

2.3 行業所用的一些規范

2.3.1 CSAZ662－07

CSAZ662－07的C.C6.3.3.3提供了臨界局部屈曲應變的估算，包括初級載荷、次級載荷或兩者兼有的情況[18]，即

式中：εc——管壁的最終壓縮應變能力；

t——管壁厚度，mm；

D——管道外徑，mm；

pi——管道的最大設計內壓，MPa；

pe——管道的最小外部靜水壓力，MPa；

Es——彈性模量，Es=207 GPa；

Fy——有效最小屈服強度，MPa。

2.3.2 DNV－OS－F101

DNV－OS－F101的第507條規定了特征壓縮彎曲應變能力[18]，即

式中：t——管壁厚度；

D——管道直徑，mm；

σh——環向應力，MPa；

σy——材料屈服強度，MPa；

αh——最大屈強比；

αgw——環焊縫系數（對于沒有焊縫的試樣，αgw=1）。

然而，研究表明兩個規范的預測結果準確性也是有限的[18]。文獻[18]采用文獻[13-14]的試驗數據檢驗了基于能量法的塑性彎管截面橢圓化模型的有效性，獲得了良好的一致性。

3 基于能量法的圓管塑性彎曲截面橢圓化模型

文獻[18]考慮塑性彎曲管道截面的橢圓化，并采用剛性-完全塑性材料模型，分析圓管彎曲的屈曲問題。建立管道彎曲過程中截面橢圓化的能量和管道彎曲能量的變化率，并將其組合在一起，得出管道的宏觀彎矩。此外，給出了產生彎曲管道屈曲時的宏觀彎矩的最大值，以及彎曲管的臨界屈曲應變的表達式。

對于薄圓管[18]，t<

進一步推導出彎曲管道屈曲狀態下外纖維線的表觀應變[18]為

公式 （8）是從幾何上得到的管道在彎曲屈曲狀態下外纖維線的表觀應變的表達式。同時，采用了剛性-完全塑性材料模型和管道橫截面橢圓化。其中的因子0.19最接近試驗結果[18]。

文獻[18]采用文獻[13-14]的測試數據，檢驗了圓管彎曲的塑性橢圓截面模型預測的有效性，獲得了良好的一致性。

4 改善塑性彎管的臨界屈曲應變 （包括應變硬化效應）

4.1 應變硬化對管道塑性完全臨界屈曲應變的影響

由于金屬材料具有應變硬化或變形強化能力，使之可以廣泛應用于許多領域，描述這種能力的最常用的關系式是Hollomon公式，即

式中：σ——真應力；

ε——真應變；

k——強度因子；

n——金屬的硬化指數。

Okatsu等[19]對具有不同應變硬化指數n的Hollomon型材料的小型管件進行了試驗，試驗結果表明，較高的應變硬化指數n對應于較高的臨界屈曲應變εc。臨界屈曲應變εc與小規模管道D/t的關系如圖1所示。

圖1 臨界屈曲應變εc與小規模管道D/t的關系

隨著管材性能的提高，管線鋼從X65發展到X100鋼級，管線鋼的屈強比從0.80增加到0.90～0.93，甚至更高。屈強比過大會導致鋼管的應變硬化性能降低，不利于在大變形環境中管道的安全使用。屈強比的增加還會導致均勻伸長率的降低[20]，管線鋼均勻伸長率εu與屈強比的關系如圖2所示。

圖2 管線鋼均勻伸長率εu與屈強比的關系

另外，隨著鋼管D/t增加，鋼管的可變形性降低。由于采用高強度管線鋼，鋼管壁變薄，進一步限制了管線鋼管的最終塑性變形能力。因此，采用兩相結構作為結構特征，大變形管線鋼的屈強比、優化的均勻伸長率和加工硬化指數已成為管線鋼的重要研究和發展方向，這是管道結構安全保障的必然趨勢。

實際上，應變硬化指數也是管材的重要參數，它反映了材料在變形過程中的強化能力。應變硬化指數的數值等于材料的最大均勻應變，它表示材料以應變硬化使頸縮之前的變形均勻化的能力。Hu等人[21]提出了Hollomon型材料的應變硬化指數n與其屈強比之間的關系式， 即

屈強比隨應變硬化指數n的變化曲線如圖3所示，可見其合理性。

圖3 屈強比隨應變硬化指數n的變化曲線

這些結果表明，應變硬化指數n是Hollomon型材料在變形過程中強度或硬度增加的速率。它揭示了強度與塑性之間的內在聯系。較高的σs/σb對應較低的n。 已有研究[22]表明，Hollomon型材料管線鋼的應變硬化指數n與屈強比σs/σb之間的變化如圖4所示。

圖4 典型管線鋼應變硬化指數n與屈強比的關系

從圖3和圖4可以看出，較高的屈強比對應于較低的臨界屈曲應變εc。

4.2 改進的屈曲應變表達式

Murata等[23]采用試驗和有限元法 （FEM）研究了硬化指數對管道彎曲的影響。在他們的FEM研究中，管道是軸對稱的，因此分析了管道的1/4部分，管材的加工硬化行為是Hollomon型。硬化指數n=0.1、0.3、0.5和1.0。他們采用商業有限元程序ELFEN對圓形管壓彎過程進行了三維分析。ELFEN是一種由Rockfield Software Limited（Swansea）開發的廣泛使用于分析金屬成形的程序[23]。結果表明，由于變形均勻性的作用，管道在彎曲過程中管子橫截面扁平化隨著硬化指數的增加而顯著下降。

Yang[24]曾研究過矩形硬化梁的彎矩應變，以考慮材料的應變硬化效應。材料的應變硬化行為是Hollomon型的。他的結果表明，矩形應變硬化梁的彎矩可表示為

式中：M0——屈服強度為σs的理想塑性材料梁的彎矩，M0=bh2σs/4；

b——梁的寬度；

h——梁的高度。

公式 （11）表明，在梁彎曲過程中，與無變形硬化梁相比，如果考慮應變硬化效應，則需要引入一個因子 β=[1+0.904σb/σs（1-σs/σb）]， 來反映應變硬化的作用。公式 （8）是管道彎曲屈曲狀態下外纖維線的表觀應變，它是基于剛性-完全塑性材料模型和截面橢圓化方法得到結果，并未考慮材料的應變硬化作用。

而在前一節中已經指出，應變硬化的作用是在頸縮之前使變形均勻化。因此，對于Hollomon型應變硬化材料的彎矩問題，我們可以將因子β引入其表達式中，以反映應變硬化效應對臨界屈曲應變的影響，用以考慮其變形的均勻性作用，即

借助于公式 （10），公式 （12）可化為

公式 （13）是管道屈曲臨界應變公式的推廣，它包括了應變硬化指數，可用于預測應變硬化管道塑性彎曲時的屈曲應變。圖5顯示了公式 （13）的預測結果與試驗結果的對比情況，其中包含了幾組不同D/t的管道數據，試驗數據引自文獻[20]。對比結果表明，公式 （13）是合理的。

圖5 具有Hollomon型硬化行為管道εc隨n的變化曲線

5 結束語

以上分析和討論表明，考慮到管材的應變硬化效應，對于Hollomon型應變硬化材料，通過對基于能量和截面橢圓化模型建立的管道彎曲塑性屈曲的表達式進行改進，可以得到相應的改進型表達式。其預測結果與現有數據的比較表明，所提出的表達式合理地反映了應變硬化效應對管道塑性彎曲的臨界屈曲應變的影響。