被積函數含有絕對值的定積分研究

高 磊 馬奎奎

(山東農業大學信息科學與工程學院 山東泰安 271018)

當計算被積函數含有絕對值的定積分時，自然的想法是把被積函數中絕對值去掉后，再進行積分。絕對值號在一定程度上加大了積分計算的難度。實際上，也恰是絕對值這個“麻煩”使得此時的被積函數擁有了一定的對稱性，當這一點與定積分的幾何意義、性質等結合起來使用時，往往會凸顯出獨特的計算優勢。故本文將該類題型常用的處理方法和技巧進行歸納總結，旨在引導學生靈活地進行計算。

一、數形結合去掉絕對值

去掉被積函數中絕對值號再積分，一般是轉化成分段函數的定積分來求解。在該過程中，學生雖然已知道要“逐/按段積分”，但卻往往苦于不會找或者漏找積分區間的分界點而導致錯誤。因此，以下題為例，我們采用數形結合的方法幫助確定積分限。

解(法一)：用數軸代替直角坐標系，尋找積分區間的分界點。如圖1，首先在數軸上標出積分區間兩端點0，4。繼而，被積函數可看作分段函數，故在數軸上標出其分段點x=2。于是，各小積分區間和對應的被積函數在圖1中一目了然。[1]即刻可得：

二、利用定積分的幾何意義

我們知道，定積分有著非常明確的幾何意義。故當被積函數比較復雜且又很明顯是一個容易求面積的常見圖形時，考慮轉化成求面積計算定積分，會大大提高做題效率和正確率。仍考察上述例1。

三、巧用對稱性

絕對值函數自帶一定對稱性，自然地，我們會考慮使用對稱原理來簡化被積函數含有絕對值的定積分的計算。當積分區間對稱時，函數定積分有如下一個重要性質：

定理1[2]：設函數在對稱區間上連續，則

為方便記憶，我們將(1)(2)式的結果簡記為“偶倍奇零”。

(一)直接應用“偶倍奇零”型

(二)被積函數不是奇偶函數，但可以拆分成奇偶函數型

(三)積分區間不是對稱區間，但可以拆分出對稱區間型

(四)對稱區間上非奇非偶函數的定積分

(五)非對稱區間上的定積分

當積分區間不對稱時，我們可利用如下定理簡化非對稱區間上定積分的計算：

此處再次考察上述例1。

解：由定理2，取

為奇函數，即刻得到

四、結束語

對于被積函數帶有絕對值符號的積分問題，學生往往無從下手。本文巧用數形結合、幾何意義、對稱性等方法和技巧求定積分，使這一類定積分的計算更為明朗，更系統化。我們把這些方法和技巧介紹給學生，不但可以完善他們的知識框架，而且可以激發他們的學習興趣，引導他們積極思考，進而增強他們分析問題和解決問題的能力。