σ-半素擬環Lie理想上的導子的研究

鐘佩伶

(吉林師范大學數學學院, 吉林長春 130000)

0 引言

Bell和Kappe[1]證明了，若d為R上的導子，在R的非零右理想上作為同態或反同態，則d=0.在2003年，Asma和Shakir[2]將Bell和Kappe的結果推廣到2-扭自由素環的Lie理想上，證明了：如果2-扭自由素環R上的導子d在R的非零平方封閉Lie理想U上作為同態或反同態，則有d=0或U?Z(R).在2007年Oukhtite[3]等人將Asma和 Shakir[2]的結果推廣到σ-素環上，證明了：如果2-扭自由σ-素環R上的導子d(d與σ是可交換的)在R的非零σ-Lie理想U上作為同態或反同態，則有d=0或U?Z(R). 由于半素環比素環更具一般性，本文將Asma和 Shakir[2]的部分結果推廣到半素擬環上，得到如下研究結果.

1 預備知識

設R為結合環.對任意的a，b∈R，若由aRb=0，必有a=0或b=0， 則稱R為素環.如果環R為2-扭自由的，則對任意的a∈R，若2a=0，則必有a=0.設R是環，d:R→R是加性映射.若對任意的x，y∈R，滿足：d(xy)=d(x)y+xd(y)，則稱d是R上的導子.若映射σ:R→R滿足：(1)σ(x)?R，x∈R;(2)σ(x+y)=σ(x)+σ(y)，x，y∈R;(3)σ(xy)=σ(x)σ(y)，x，y∈R，則稱σ為R的自同構．設R是結合環，g:R→R是加性映射，θ，φ是R上的自同構. 若對任意的x，y∈R， 滿足g(xy)=g(x)θ(y)+φ(x)g(y) ， 則稱g為R上的(θ，φ)-導子. 設R是環，I?R是R的可加子群，若對任意的r∈R，a∈I均有ra∈I，ar∈I，則稱I為R的理想.?x，y，z∈R，有[x，y]=xy-yx； [xy，z]=x[y，z]+[x，z]y； [x，yz]=y[x，z]+[x，y]z.設N是非空集合，若滿足:(i)(N，+)是一個群;(ii)(N，?)是一個子群;(iii)(n1+n2)?n3=n1?n3+n2?n3，?n1，n2，n3∈N，則稱N為擬環.設N是擬環.若xNy=0，x，y∈N，則稱N為素擬環. 設N是擬環.若xNx=0，x∈N，則稱N為半素擬環.設N是帶有對合*的擬環.若xNx=xNσ(x)=0，x∈N，則稱N為σ-半素擬環.設R為結合環，f:x→x*是R上的變換.若對任意的x∈R，(x*)*=x，(xy)*=y*x*，則稱f為R上的對合.設R是帶有對合*的環.對任意的a，b∈R，若由aRb=aRb*=0，必有a=0或b=0，則稱R是*-素環，記為(R，*).設R是帶有對合*的環.對任意的a∈R，若由aRa=aRa*=0，必有a=0，則稱R是*-半素環.設R是環，U是R的可加子群.若對任意的u∈U，r∈R，均有[u，r]∈U，則稱U為R的Lie理想.設R是帶有對合*的環，U是R的Lie理想.若滿足U*=U，則稱R是φ:R→R的*-Lie理想.

2 主要結果

引理1[[3]引理1]: 設R是中心為Z(R)的2-扭自由σ-素環，U?Z(R)是R上的非零σ-Lie理想.若對任意的a，b∈R，滿足aUb=0，則a=0或b=0．

將引理1推廣到半素擬環上得到如下定理.

定理1:設R是中心為Z(R)的2-扭自由σ-半素擬環，U?Z(R)是R上的非零σ-Lie理想.若對任意的a∈R，滿足aUa=aUσ(a)=0，則a=0．

證明 由已知，可得aua=auσ(a)=o， ?a∈R，?u∈U.

(1)

在(1)中，用[u，r]替換u，可得a[u，r]a=a[u，r]σ(a)=o， ?a，r∈R，?u∈U.

又可得a(ur-ru)a=a(ur-ru)σ(a)=o， ?a，r∈R，?u∈U.

又可得aura-arua=aurσ(a)-aruσ(a)=o， ?a，r∈R，?u∈U.

用ra來替換r，可得

auraa-araua=auraσ(a)-arauσ(a)=o， ?a，r∈R，?u∈U.

(2)

由(1)和(2)可得auraa=auraσ(a)=o， ?a，r∈R，?u∈U.

用u-1ra-1來替換r，可得aRa=aRσ(a)=o， ?a∈R.

由R是σ-半素擬環，可得a=o.

證畢.

引理2[[3]引理2]:設R是中心為Z(R)的2-扭自由σ-素環，U?Z(R)是R上的非零σ-Lie理想.若d是R上的導子(d與σ是可交換的)，且d(U)=0，則d=0.

將引理2推廣到半素擬環上得到如下定理.

定理2：設R是中心為Z(R)的2-扭自由σ-半素擬環，U?Z(R)是R上的非零σ-Lie理想.若d是R上的導子(d與σ是可交換的)，且d(U)=0，則d=0.

證明：由已知可得d(u)=0 ，?u∈U.

(3)

用[u，r]來替換u，可得d([u，r])=0 ，?u∈U，?r∈R.

又可得d(ur-ru)=0，?u∈U，?r∈R.

又可得d(ur)-d(ru)=0，?u∈U，?r∈R.

又可得d(u)r+rd(u)-d(r)u-rd(u)=0，?u∈U，?r∈R.

由(3)可得ud(r)-d(r)u=0，?u∈U，?r∈R.

又可得 [u，d(r)]=0，?u∈U，?r∈R.

(4)

在(4)中用r2來替換r，可得[u，d(r)r+rd(r)]=0，?u∈U，?r∈R.

又可得 [u，d(r)r]+[u，rd(r)]=0，?u∈U，?r∈R.

又可得[u，d(r)]r+d(r)[u，r]+[u，r]d(r)+r[u，d(r)]=0，?u∈U，?r∈R.

由(4)可得d(r)[u，r]+[u，r]d(r)=0，?u∈U，?r∈R.

(5)

又由(4)可知[[u，r]，d(r)]=0，?u∈U，?r∈R.

又可得[u，r]d(r)-d(r)[u，r]=0，?u∈U，?r∈R.

又可得[u，r]d(r)=d(r)[u，r]，?u∈U，?r∈R.

(6)

又由(5)可得(6)可得 2[u，r]d(r)=0，?u∈U，?r∈R.

由R是2-扭自由的，可得[u，r]d(r)=0，?u∈U，?r∈R.

又可得Ud(r)=0，?r∈R.

(7)

將(7)右乘d(r)可得d(r)Ud(r)=0，?r∈R.

若r∈Sσ(R)，則有d(r)Uσ(d(r))

由定理1可得d(r)=0，?r∈Sσ(R).

(8)

對于任意的x∈R，可得x+σ(x)∈Sσ(R)

(9)

由(8)和(9)可得d(x+σ(x))=0，?x∈R.

又可得d(x)+d(σ(x))=0，?x∈R.

由d與σ是可交換的，可得d(x)+σ(d(x))=0，?x∈R.

又可得σ(d(x))=-d(x)，?x∈R.

(10)

由(10)可得d(x)∈Sσ(R)，?x∈R.

(11)

由(7)和(11)可得d(x)Uσ(d(x))=0，?x∈R.

(12)

由(7).(12)和定理1，可得d(x)=0，?x∈R.

所以d=0.證畢.

3 結語

本文研究了設R是中心為Z(R)的2-扭自由σ-半素擬環，U?Z(R)是R上的非零σ-Lie理想.若d是R上的導子(d與σ是可交換的)，且d(U)=0，則d=0.把σ-素環的相關結果推廣到了σ-半素擬環上，對進一步研究σ-半素擬環的其他性質是很有幫助的.