厘清數學本質，走出“可能性”教學誤區

○楊志宇 路 杰

“可能性”是“統計與概率”領域的重要教學內容。《義務教育數學課程標準（2011 年版）》對其在小學階段的教學要求如下：通過實例感受簡單的隨機現象，并能列出簡單的隨機現象中所有可能發生的結果；通過試驗、游戲等活動，感受隨機現象結果發生的可能性是有大小的。有些教師由于對“隨機現象”“隨機試驗”“隨機事件”等相關知識的數學本質缺乏必要的認知，在課堂教學中暴露出了很多問題，值得引起我們的重視和思考。

【教學回放】

教學內容：人教版五年級上冊《可能性》

課件呈現班級舉辦聯歡會的圖片。

師：咱們班要舉辦聯歡會了，老師提前給大家準備了一個節目。同學們猜猜是唱歌、跳舞還是朗誦？

生：可能是唱歌。

生：可能是朗誦。

生：可能是跳舞。

師：有幾種可能呢？

生：有3種可能。

【診斷分析】

教學片段中，看似“可能”一詞學生可以脫口而出，但此“可能”并非本節課要研究的“可能性”。本節課是用“可能”描述隨機現象，隨機現象是指在個別試驗中其結果呈現出不確定性，在大量重復試驗中其結果又具有統計規律性的現象。這位教師提前準備了節目，說明教師表演哪種節目是確定的，不是隨機的，只不過學生不知道而已。

【教學重構】

師：咱們班要舉辦聯歡會了，為了增加聯歡會的趣味性，老師決定用抽簽的辦法決定誰表演唱歌，誰表演朗誦，誰表演跳舞。

（教師將事先準備好的3 張有磁性的節目簽反扣在黑板上。）

師：老師想先來抽簽，你猜猜我會抽到哪張節目簽？（可能是唱歌，可能是朗誦，可能是跳舞。）

（教師翻開一張節目簽，是跳舞。）

師：從剩下的兩張節目簽中再抽一張，會抽到哪種節目呢？（可能是唱歌，可能是朗誦。）

師：剛才有3 種可能，現在怎么變成2 種了？（因為跳舞已經被翻開了，不可能是跳舞了。）

（一名學生翻開一張節目簽，結果是朗誦。）

師：再抽一張，結果會是什么？（一定是唱歌。）

師（小結）：不確定（隨機）的事件用“可能”描述，確定的事件用“一定”或“不可能”描述。

教材中的情境是學生從3 張節目簽中任意抽取一張。這樣抽簽活動的結果一共有3 種可能，但每次抽簽前抽到哪種節目是不確定的，在大量重復試驗中其結果又具有統計規律性，即每種節目簽被抽到的可能性都是在“教學回放”中，教師本意是想創造性地使用教材，創設有趣生動的教學情境，但由于教師對隨機現象、隨機事件等概念的本質不了解，制造了人為的偽隨機事件。

【教學回放】

教學內容：冀教版五年級上冊《可能性》

全班分8 組，4 人一組，教師組織學生拋硬幣試驗，每人拋10次，小組內一共拋40次。

學生拋硬幣試驗，并記錄，再全班匯總。

教師呈現其中一個小組的記錄結果。

師：隨著試驗次數的增加，正面朝上的可能性越來越接近總次數的一半。

（教師話音剛落，坐在前排的一名男生高高舉起手來。）

生：我拋的10 次試驗，正面朝上是5 次，正好是總次數的一半。但為什么拋的次數多了，反而不是一半了呢？

師：只能說明你今天的運氣太好了。拋硬幣試驗中，只有隨著次數不斷增加，我們才能發現正面朝上的次數接近總次數的一半。

（該學生疑惑地坐下。）

【診斷分析】

判斷硬幣正面朝上的可能性的大小是典型的古典概型。從概率的本質看，古典概型的結論不是試驗出來的，是計算出來的。史寧中教授曾指出：“一個硬幣，先假定它正面或反面朝上的可能性是這是數學（或者稱為概率），這個是通過概率定義得到的，不是依靠擲硬幣驗證出來的。實際上，學生做了很多次試驗也得不到反而更加糊涂了。”

古典概型假定所有試驗條件完全相同，這就是說每次試驗條件都要一致。而在課堂試驗時，學生拋硬幣試驗的條件極難保證一致。另外，課堂上學生拋出硬幣后，硬幣常從桌面上彈起，滾落到地面上，造成學生活動秩序的混亂。那么教材中創設了拋硬幣的活動，我們又該如何設計教學呢？

【教學重構】

師：我們知道硬幣有兩個面，正反兩個面朝上的可能性大小怎么樣？（相等。）

師：拋硬幣的時候會彈起來而且有時會掉到地上，操作起來不方便，我們能不能用摸兩種不同花色的撲克牌代替拋硬幣？（可以。）

師：每個小組（4 個人）拿出一張黑桃、一張紅桃，分工合作，每人摸5次，這20次的結果會是什么？

生1：可能紅桃和黑桃各10次。

生2：也可能紅桃會比10次多。

生3：還可能20次都是紅桃。

……

師：剛才不是說摸到兩種花色的可能性相等嗎？現在怎么會有這么多種情況？（摸到每種花色的可能性是相等的，但摸起牌來還要看運氣。）

師：摸到哪種花色的牌的可能性相等是摸牌前的判斷，真正摸牌的時候有偶然性，在數學上也叫隨機性。

（學生小組試驗。）

師：有沒有哪個小組紅桃和黑桃各摸到10次。

（沒有一個小組舉手。）

師：每個小組都摸到幾次紅桃呢？（最多的摸到16次，最少的摸到7次。）

師：看起來，可能性相等的情況下還會有很多隨機情況發生。

師：咱們把8 個小組的結果加在一起，兩種花色被摸出的次數會不會差不多呢？（也有可能差距會比較大，可以再多試驗幾次。）

師：在歷史上，有幾位數學家做過大量重復拋硬幣試驗，我們來看一看。（課件呈現浦豐、費勒、皮爾遜拋硬幣試驗的結果。）

師：通過觀察這些試驗的數據，同學們發現了什么？（大量重復的試驗，正面朝上次數非常接近總次數的一半。）

將拋硬幣換成摸撲克牌，更易于操作，降低了操作的要求，更容易保證每次試驗條件的一致性。像這樣，將只動手試驗改為先通過頭腦思考，再進行操作試驗，會使學生對隨機事件的偶然性及其背后的統計規律性有更深刻的認識。

【教學回放】

教學內容：游戲公平性

師：有3 張撲克牌，分別是紅桃2、紅桃3 和紅桃4，李明和王亮兩人各摸一次。李明先摸，摸出一張牌，記下點數，放回后，王亮再摸。誰摸出的點數大誰贏。游戲公平嗎？

生：摸到每張牌的機會都是均等的，而且李明摸完還放回去，所以是公平的。

師：是啊，因為摸到每張牌的可能性一樣，摸出牌需要放回，每人都從3 張牌中摸一張比大小，所以是公平的。

【診斷分析】

兩人摸牌比點數大小一共有9 種可能，簡要解析如下：假設李明摸到的牌點數是2，王亮摸到牌的點數是3，記作（2，3）。那么兩人摸牌比較點數大小的9 種可能分別表示為（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，2）、（4，3）、（4，4）。其中摸到（3，2）、（4，2）、（4，3）為李明贏，摸到（2，3）、（2，4）、（3，4）為王亮贏，也就是說李明和王亮贏的可能性是即所以游戲規則公平。

【教學重構】

師：老師有3 張撲克牌，分別是紅桃2、紅桃3和紅桃4，現在請兩位同學上臺摸牌，兩人各摸一次。一人先摸，摸出一張牌，記下點數，放回后，另一人再摸。誰摸出的點數大誰贏。游戲公平嗎？

生：摸到每張牌的機會都是均等的，而且一人摸完放回后另一人再摸牌，所以是公平的。

師：我們的游戲規則不是摸到哪張點數的牌贏，而是兩個人摸牌的點數比大小，誰的點數大，誰贏。我們現在請兩位同學上臺來摸牌，誰想來？

（教師挑選甲、乙兩人上臺摸牌，甲摸到3。）

師：你可能摸到幾呢？（乙：可能是2，可能是3，也可能是4。）

師：你摸到幾會贏呢？（乙：我摸到4會贏。）

師：摸到3 或2 呢？（乙：摸到3 是平局，摸到2我就輸了。）

師：甲同學摸到3，兩人牌的點數比大小有3種情況，他摸到2 或4 呢？你有什么辦法能清晰地表示出所有的可能。（可以用列表法。）

師：我們約定用一種記號表示每次兩人摸到牌的點數的情況，假設甲摸到的牌點數是2，乙摸到牌的點數是3，記作（2，3）。

（2，2）（3，2）（4，2）（2，3）（3，3）（4，3）（2，4）（3，4）（4，4）

師：觀察表格，一共有幾種可能？（9種。）

師：甲同學有幾種可能會贏呢？（3種。）

師：乙同學呢？（3種。）

師：因為每人都有3 種可能會贏，所以游戲是公平的。

“教學回放”中存在的問題，歸根結底是教師對游戲中的隨機事件理解不清。如果游戲規則是摸到哪個點數的牌贏，那么對應的隨機事件是牌的點數，但游戲的規則是比較兩張牌點數的大小，所以對應的隨機事件應該是上面9種情況。