探析高考中概率統(tǒng)計系列試題及命題走向(上)

2020-02-29 02:58:48王慧興特級教師

高中數理化 2020年1期

王慧興(特級教師)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出數學教育要引導學生會用數學的眼光觀察世界,會用數學的思維思考世界,會用數學的語言表達世界. 其中數學的眼光,本質上是數學抽象,抽象使得數學具有一般性;數學的思維,本質上是數學推理,推理使得數學具有嚴謹性;數學的語言,本質上是數學建模,建模使得數學應用具有廣泛性. 數學抽象、數學推理、數學建模又可再細化為六個關鍵能力:數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析,從而構成數學學科核心素養(yǎng). 高中作為學生成長的關鍵階段,數學教育肩負著培育學生數學核心素養(yǎng)、發(fā)展關鍵能力的重任. 課程標準提出數學學科核心素養(yǎng)并非偶然,而是對改革開放以來教育實踐、研究的提煉,全國高考數學試題的偉大實踐也清晰表現(xiàn)出這一提煉過程.從20世紀70年代末恢復高考時比較單一地考知識,到20世紀90年代中期開始增加對應用題的考查,再到21世紀初教材改革,把概率、統(tǒng)計及其應用正式分層次編入中學教材,2000年以來的高考命題把數學應用集中表現(xiàn)為基于概率與統(tǒng)計應用的數據分析,2019年全國卷更是把組合計數、統(tǒng)計分析融入遞推方法，引向數學模型，雖然沒有要求考生建模,但要求學生理解模型,通過數學運算與數據分析評判模型.這種試題立意新變化既流露出未來數學建模在高考中怎么考,也流露出概率與統(tǒng)計系列內容在高考試題中的立意走向.

1 知識提要

排列與排列數、組合與組合數、基于兩個計數基本原理合理簡捷分類與分步是高考命題中組合計數試題的基本形式.組合計數是概率統(tǒng)計的基礎,概率貫穿在統(tǒng)計分析、相關性分析與統(tǒng)計案例各項內容中. 組合計數與概率構成高考數學試題的一個重要板塊. 2019年高考試題已經表明概率計算與統(tǒng)計分析將是高考新題型“數學建模”試題立意的亮點,是培育學生數學應用意識、發(fā)展模型素養(yǎng)、引領學生應用數學處理身邊實際問題的基本題材. 這一系列內容的相關知識與技能如表1所示.

表1

2 計數與概率

2.1 組合計數

組合計數是概率計算的基礎,在高考試題中也會出現(xiàn)立意單一的組合計數問題,通常表現(xiàn)為基于分類加法原理與分步乘法原理的合理簡捷分類與分步,綜合應用排列與組合概念,檢測學生應用排列數與組合數完成組合計數的基本技能,其難點表現(xiàn)為合理簡捷進行分類與分步(如表2).

表2

在高考命題中,即使是選擇題和填空題,也都表現(xiàn)出不同程度的綜合性,幾乎不會出現(xiàn)單一考查某個知識點的考題,強調知識的綜合運用.

例14個不同的小球放入編號為1,2,3,4的4個盒中,則恰有1個空盒的放法共有________.

例2設集合I={1,2,3,4,5},選擇I的兩個非空子集A和B,要使B中最小的數大于A中最大的數,則不同的選擇方法共有( ).

A. 50種 B. 49種 C. 48種 D. 47種

解析按照A中最大數i分類:i=1,2,3,4,因此分為四類:

第一類,A中最大數i=1,A={1},?≠B?{2,3,4,5}共有24-1=15個,這一類子集組AB共有1×15=15個.

第二類,A中最大數i=2,A={2}∪X,其中X?{1},A共有2個;?≠B?{3,4,5}共有23-1=7個,這一類子集組AB共有2×7=14個.

第三類,A中最大數i=3,A={3}∪X,其中X?{1,2},A共有22=4個;?≠B?{4,5}共有22-1=3個,這一類子集組AB共有4×3=12個.

第四類,A中最大數i=4,A={4}∪X,其中X?{1,2,3},A共有23=8個;?≠B?{5}共有21-1=1個,這一類子集組AB共有8×1=8個.

由分類加法原理,符合題意的子集組的個數是15+14+12+8=49,故選B.

本例的一般形式是:給定正整數n≥2,集合I={1,2,…,n}的非空子集組AB,滿足B中最小數大于A中最大數,這樣的子集組AB個數是

(n-1)2n-1-(2n-1-1)=

(n-2)·2n-1+1.

組合數與排列數能直接用于不同元且不重元的排列計數與組合計數,但我們經常會遇到“同元”與“重元”的組合或排列問題,其基本模式可概括為例3.

例3不定方程x1+x2+…+xn=m(m，n∈N*，m≥n),求證：

解析題目本質上是“同元分配”問題的抽象,即把m個相同的東西分配給n個人的不同分配數,由分步乘法原理得到非負整數解的個數是mn嗎?當然不是,這里主要是“同元”所致.我們介紹“映射轉移”求解方法:把計數對象映射到結構清晰、便于計數的另一組對象完成組合計數.

(1) 因為m≥n,故任取方程的一個正整數解(x1,x2,…,xn),則

1≤x11≤x1

上述“映射轉移”本質上是“轉化化歸”,我們也可以把求非負整數解的個數轉化為求正整數解的個數.

例4(更列問題)給定n∈N*,把(1,2,3,…,n)重排為(a1,a2,a3,…,an),當所有ai≠i(1≤i≤n)時,稱(a1,a2,a3,…,an)為(1,2,3,…,n)的一個更列.求(1,2,3,…,n)的更列個數.

解析 (1,2,3,…,n)的更列個數與n有關,記更列個數為an,則a1=0,a2=1,a3=2.

下面建立遞推關系式:當n≥4時,第一步，把n排在第i(i≠n)位,共有n-1種方法.第二步,排i，有兩種辦法,其一,把i排在第n位,得到an-2個更列;其二,不把i排在第n位,i排在第j位(j≠n,i),共有an-1個更列(相當于把已排入n的第i位蓋住，視元素i為元素n，再做n-1個數列的更列).因此，綜合應用分類加法原理與分步乘法原理，得到遞推關系an=(n-1)(an-2+an-1)(對n=3也成立).

因為an-nan-1=-(an-1-(n-1)an-2),所以

an-nan-1=(-1)n-2(a2-2a1)=(-1)n,

故

遞推方法是求解很多問題的常用方法. 當我們要求解一個“多元”問題時,常常由于求解難度較大,所以將其數據“元數”化為n,形成一批子問題. 這些子問題之間在結論數據上存在關聯(lián),就是說其數據之間存在遞推關系,起到傳遞結論數據的作用,這樣就把問題轉化為計算“少元”問題,元數很少的問題很容易求解. 因此,遞推方法本質上是基于數據關聯(lián)性化難為易、化繁為簡的有效方法. 高考全國卷過去也考過更列問題，例如將數字1,2,3,4填入標號為1,2,3,4的四個方格里,每格填一個數字,求每個方格的標號與所填的數字均不相同的填法種數？