獨立性檢驗的詮釋與備考

甘大旺(特級教師)

在各個版本最新的高中數學教材中,統計內容的份量均再一次增加,但相應的學法研究、復習輔導并沒有隨之“升溫”．因此，本文就高中概率統計的一個知識點“獨立性檢驗”進行詮釋,例談其在高考備考中的應用．

1 知識詮釋

獨立性檢驗是統計學中兩種卡方檢驗之一,高中數學中獨立性檢驗的第一步是依題意完善或作出2×2列聯表，如表1所示.

表1

其中,x1，x2是一類變量X的兩個互斥狀態,y1，y2是另一類變量Y的兩個互斥狀態,a，b，c，d是分別具有狀態x1與y1，x1與y2，x2與y1，x2與y2的樣本頻數,且都要求頻數均不小于5．

詮釋2改變列聯表中第2行與第3行的位置、第2列與第3列的位置,都不會改變隨機變量K2值的大小,如下列3種變換(如圖1),也分別滿足

圖1

(cb-da)2=(ad-bc)2,
(bc-ad)2=(ad-bc)2,
(da-cb)2=(ad-bc)2．

高中獨立性檢驗的第三步是根據下列統計學上的概率臨界值表,間接判定兩類變量“X與Y有關系”的可信程度(如表2)．

表2

詮釋3因為獨立性檢驗的基本思想類似于反證法,所以直接用所算K2值對比表2中臨界值k就可查找兩類變量“X與Y有關系”出錯的至多概率,從而“X與Y有關系”判斷正確的至少概率(把握性)是1-P(K2>k)．

詮釋4借助概率臨界值表,可以逆向延伸和理解K2

2 備考舉例

例1為了考察某種藥物預防疾病的效果,進行動物試驗,得到如表3所示的藥物效果與動物試驗的列聯表.

表3

由以上數據給出以下結論:① 能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為藥物有效;② 不能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為藥物有效;③ 能在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為藥物有效;④ 不能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為藥物有效．

其中,正確結論的個數是________．

解析 根據列聯表,計算得

查概率臨界值表知,結論①成立的充分條件是K2≥3.841,所以結論①正確;結論②成立的充分條件是K2<5.024,所以結論②錯誤；結論③成立的充分條件是K2≥6.635,所以結論③錯誤；結論④成立的充分條件是K2<7.879,所以結論④正確．

綜上所述,正確結論的個數是2．

點評 查閱獨立性檢驗的概率臨界值表時,要貼近實際問題,看準、看懂、用準“有關”或“無關”“出錯誤”或“有把握”“至少”或“至多”等關鍵詞．

例2某共享單車經營企業欲向某市投放單車,為制定經營策略,該企業在已經投放單車的乙市分兩組進行隨機調研,針對15至45歲的人群,按比例隨機抽取300份問卷,統計結果見表4．

表4

(1)從統計數據可直接得出“是否經常使用共享單車與年齡界限(記作m歲)有關”的結論,在用獨立性檢驗的方法說明該結論正確時,為使犯錯誤的概率盡量小,年齡m應該取25還是35?請說明理由．

(2)對于(1)中所取的年齡界限m的值,大約有多少把握認為“經常使用共享單車與年齡達到m歲有關”?

解析 (1)取m=25,整理數據繪制列聯表(如表5所示).

表5

再取m=35,整理數據繪制列聯表(如表6所示).

表6

點評 對于兩類分類變量X與Y的2×2列聯表,相應算出的K2越大(小),判定“X與Y有關”的出錯概率就越小(大),即認為“X與Y有關”的把握性就越大(小)．

3 備考練習

練習1如果兩個分類變量X與Y的2×2列聯表如表7所示.

表7

對于同一樣本,以下數據說明X與Y有關系的可能性最大的一組是( )；可能性最小的一組是( )．

A.a=45,b=15 B.a=40,c=20

C.a=35,c=25 D.a=30,c=30

練習2某工廠兩個車間的工人在一次技術比賽中的成績,可以繪制成列聯表(如表8).

表8

于是,推斷“比賽成績與車間有關系”錯誤的概率屬于區間( ).

A. (0.3, 0.4) B. (0.4, 0.5)

C. (0.5, 0.6) D. (0.6, 0.7)

練習4某制造企業有25周歲以上(含25周歲)職工300名,25周歲以下職工200名．為調查職工的日平均生產量是否與年齡有關,現從中分層抽取了100名職工,先統計了他們某月的日平均生產件數,然后按員工年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組職工的日平均生產件數分成5組分別進行統計,得到如圖2所示的頻率分布直方圖．企業授予日平均生產件數至少80件的職工為“生產能手”．

圖2

(1)繪制職工類別(“生產能手”與“非生產能手”)與年齡的2×2列聯表;

(2)試問:有多大的把握認為“生產能手與所在的年齡組有關”?

提示:(1)“25周歲以上”年齡組有60人,“25周歲以下”年齡組有40人,再對照兩個頻率分布直方圖,繪制2×2列聯表，如表9所示．

表9