對一道高考概率壓軸題的思考與拓展

汪 樂 張啟兆

近年來，高考數學試題正從能力立意到素養導向發展,同時，壓軸題不再拘泥于傳統的數列、導數等問題,2019年高考全國卷Ⅰ理科數學的壓軸題就是一道概率題，本文就對這道概率壓軸題進行分析與拓展．

1 原題呈現

例1(2019年全國卷Ⅰ) 為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠,隨機選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后,再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認為治愈只數多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1) 求X的分布列;

(2) 若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設α=0.5,β=0.8.

(ⅰ) 證明: {pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數列;

(ⅱ) 求p4,并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

2 思維障礙

許多同學一見到此題,就被“嚇住”了:文字信息多,數據多,做題的信心也就不那么足了!筆者分析主要會在如下5個方面存在問題.

1) 審題時不會抓關鍵詞．如“若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分”,有部分學生將“若都治愈”忽略掉了,從而在計算P(X=0)時出現了錯誤.

3) 數據分析的能力有待提高．如第(2)問中給出了一些數據,但部分同學不會分析,想不到利用第(1)問的結論把a，b，c先求出來,然后代入pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),從而得到0.5pi=0.4pi-1+0.1pi+1．

4) 缺乏解題經驗的積累．這種綜合題,通常“沒有白做的前一問”,即前一問常常為后一問“鋪路搭橋”．由于缺乏這種意識,第(2)問(ⅱ)沒想到利用前一問得到的pi+1-pi=p1·4i-1(i=0,1,2,…,7),從而無法聯想到“等差數列”和“累加法”,進而不知道利用方程思想解決問題．

5) 不會分析試驗方案的合理性，特別是有些學生對概率的意義不理解． 在本題中，若不了解假設檢驗的統計思想和基本概念，就不會根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性．

3 解法剖析

1) 閱讀理解, 尋求突破.

在閱讀過程中要學會抓關鍵詞．本題的關鍵信息有如下4點.

a)當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認為治愈只數多的藥更有效;

b)對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分;

c)甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X;

d)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設α=0.5,β=0.8.

第(1)問的目標是求X的分布列,因此先要明確:X表示一輪試驗中甲藥的得分,X的取值有3種情況，即1，-1，0.得1分是施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈,則P(X=1)=α(1-β);得-1分是施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈,則P(X=-1)=(1-α)β;得0分是都治愈或都未治愈,則P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β)．

第(2)問(ⅰ)要證明: {pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數列;第(2)問(ⅱ)求p4,并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性.由于第(2)問直接給了數列的遞推式,因此順著題目要求,利用題目中所給的“腳手架”,問題就容易突破了．

2) 化歸整合, 提煉題目.

在閱讀過程中學會“翻譯”,把文字語言“翻譯”成對應的數學語言．如:隨機分配一只小白鼠試驗甲藥,隨機分配一只小白鼠試驗乙藥(隱含的條件就是試驗是獨立的),一輪試驗共有4個可能出現的結果(每一個結果即為一個樣本點)，如表1所示.

表1

(這里符號√,×分別表示治愈和未治愈)

又如:一輪試驗會反復進行,即獨立重復試驗,什么時候結束呢?如何將已知條件“當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗”翻譯為數學語言?

當問題比較抽象的時候,可以運用特殊化法和枚舉法幫助我們理解題目，如表2所示．

表2

從表2中,我們不難發現，因為Xi=-Yi,所以 ∑Xi=-∑Yi;當且僅當∑Xi=4 或-4時試驗結束．這樣就把“當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗”翻譯為數學語言了．即當∑Xi=4時，認為甲藥更有效,當∑Xi=-4時，認為乙藥更有效．

3) 追本溯源, 梳理知識.

通過聯想,找到與問題信息相關的知識、解題技巧以及對相關數學符號、概念、命題等的理解,識別出問題類型.如本題在分析已知條件后，需要聯想到隨機試驗、獨立重復試驗、離散型隨機變量的分布列及其概念,同時，要掌握證明等比數列的基本方法、數列的遞推關系等．

本題中試驗的思路和各類比賽記分方法相似，以乒乓球比賽為例,甲、乙進行乒乓球比賽,三局兩勝制.每局比賽中,如果甲至少得到11分且至少領先乙2分才能獲勝,也就是說甲以11∶9，12∶10，13∶11，14∶12…比分領先才算獲勝．這里看的是凈勝球,不是得分比例．這道題題干中相當于把甲至少得到11分且至少領先乙2分換成了甲至少得到4分且至少領先乙4分．有了這個模型,第(1)問的解題思路就有了．

由第(2)問(ⅰ)要聯想到數列的遞推關系和“差數列”模型,從而聯想到“累加法”,p4的值就容易求出了．

4) 水到渠成, 得出結論.

解析 (1)X的所有可能取值為1，-1，0.

得1分是施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈,則P(X=1)=α(1-β);

得-1分是施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈,則P(X=-1)=(1-α)β;

得0分是施以甲藥和施以乙藥的白鼠都治愈或都未治愈,則P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β).

綜上，X的分布列如表3所示.

表3

(2) (ⅰ)因為α=0.5,β=0.8,則

a=P(X=-1)=0.4,b=P(X=0)=0.5,
c=P(X=1)=0.1.

故可得pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,則

0.4(pi-pi-1)=0.1(pi+1-pi),

①

(ⅱ) 由(ⅰ)知,等比數列 {pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)的首項為p1,那么

p8-p7=p1×47,
p7-p6=p1×46,
…
p2-p1=p1×4.

以上式子兩邊同時相加,得p8-p1=p1×(47+46+…+4),則

p4-p1=p1×(4+42+43),

p4表示“甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多4只,且甲藥的累計得分為4”，即最終認為甲藥更有效的概率.

4 變式拓展

例2有人玩擲骰子移動棋子的游戲,棋盤分為A,B兩方,開始時棋子放在A方,根據下列規定移動棋子:① 骰子出現1點時,不能移動棋子;② 出現2,3,4,5點時,把棋子移向對方;③ 出現6點時,如果棋子在A方,則不動,如果棋子在B方,則移至A方,將骰子擲了n次后,棋子仍在A方的概率記為Pn．

(1)求P1,P2;

(3)求Pn．

解析 (1)P1為將骰子擲了1次后,棋子仍在A方的概率;P2為將骰子擲了2次后,棋子在A方的概率.

這兩道概率問題將概率知識與數列知識有機結合,并且問題貼近生活,體現出數學知識在解決實際問題中的價值和作用.例1對高考復習具有導向作用,能看出高考數學壓軸題不再拘泥于傳統的數列、導數等問題,凸顯出試題正從能力立意到素養導向轉變．因此,在今后的學習中,同學們不僅要重視“四基”(基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗),還要重視數學知識和方法在解決問題中的應用,重視數學閱讀能力的培養,提高解答實際數學問題的能力.同時，要學會冷靜思考,順著問題的要求進行思考,思路中斷時不妨問自己:“前一問對后一問有輔助作用嗎?”要學會利用題目本身為我們搭好的“腳手架”,學會拾級而上,就能以不變應萬變,在高考中取得理想成績．