基于非中心分布三個結論的證明

鐘韻寧

(廣西師范大學數學與統計學院，廣西桂林 541000)

0 引言

正態分布是自然界中最常見的一種分布，在正態樣本下去構造統計量得到各種統計推斷是很有意義的.同時，非中心分布族是常用分布族，在多元分析理論與應用研究中得到廣泛重視，很多學者作出了重要研究，例如推導了非中心分布和雙非中心分布諸統計量的概率分布密度函數公式[1]，借助超幾何函數得到非中心卡方分布的特征函數和非中心F分布的高階矩[2]，推導廣義非中心卡方分布的精確表達式[3].本文基于非中心分布的三個重要結論給出了詳細的證明過程.

引理1[4](非中心Gamma分布的可加性)：若X1～Ga(α1,λ,γ1)，X2～Ga(α2,λ,γ2)，且X1和X2相互獨立，則X1+X2～Ga(α1+α2,λ,γ1+γ2).

1 結論1

證明：

FY(y)=Pr(Yy)

等式兩邊同時求導，得到的密度函數為

則

由引理1的非中心Gamma分布的可加性，且X1，X2，……，Xn相互獨立，所以有

得證.

引理2[4]：設X1，X2，……，Xn是來自N(0,σ2)的一個樣本，則

2 結論2

設X1，X2，……，Xn1是來自N(μ,σ2)的一個樣本，Y1，Y2，……，Yn2是來自N(0,σ2)的一個樣本，且Xi與Yj相互獨立，則

證明：

則對(U,V)的聯合密度函數關于V積分得到U的密度函數為

所以

3 結論3

設X0～N(μ,σ2)，X1，X2，……，Xn是來自N(0,σ2)的一個樣本，且X0與Xi相互獨立，則

證明：由X0～N(μ,σ2)，有X0/σ～N(μ/σ,1)，記X=X0/σ，且

則

由

則二重積分

其中

所以

所以U的密度函數與t(n,γ)，γ=μ/σ的密度函數相同，得證.

4 結束語

本文中的三個結論對數理統計的基礎學習很重要，通過對三個結論的證明過程詳細推導，對理解這三個結論和對以后構造統計量得到其他分布有一定的借鑒意義.